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【摘要】教材比较是一线教师读懂教材的重要方式，有助于教师多维度地理解把握知识内容，从而做出更有针对性的教学设计。教材比较一般包括显性学习材料和隐性知识内涵的比较。结合“平均数”一课的教学研究实践，揭示有深度的教材比较，有助于教师从知识本源出发，设计出引导学生经历知识发生发展全过程的教学活动。
【关键词】教材比较 教学设计 “平均数” 知识内涵
一、教材比较的意义：因为比较，所以深刻
从教学实践来理解，所谓读懂教材是指教师对教材呈现的知识内容的编排逻辑、素材选择、重难点定位以及练习习题特点等有比较充分的理解与把握。它是教师备课的基本要求，也是设计好教学活动的基础。对于一线教师来说，读教材的过程除了基于本套教材对知识内容进行深入解读之外，还包括结合不同版本教材的比较阅读。事实上，如今教材比较已经成了许多优秀教师研读教材的重要方式。通过不同版本教材中同一知识内容的比较解读，深入理解教学内容，把握知识内涵，这对一线教师的教学有着两个层面的重要意义。
教材比较有助于教师多维度地理解把握相关知识内容的本质。我们说，有比较才有鉴别。对于一套教材来说，本身有其编排的知识逻辑，而由于课时容量的限制与教材编写者自身对相关知识的理解，会使得编者在处理某个知识点时，有所取舍，这客观上造成了教材与教材之间，就某个知识点的编写存在着差异。通过教材的比较阅读，这些差异往往是引导教师从更完整的角度来理解相应知识内容的突破口和思辨点。
教材比较还有助于教师对本套教材中相关知识内容的教学重难点的确立，教学策略路径设计亦更有针对性。因为教材之间存在着差异，这能引发教师去思考差异背后的原因，重新审视自己所使用教材的内容体系、知识逻辑、例题素材与呈现过程等学习要素，分析所使用教材在此知识点的重难点定位，从而设计出适合引导学生学习的教学活动。因为有比较，才能更深刻。
二、教材比较的维度：从显性学习材料到隐性内涵本质
那么，对一线教师来说，又该从哪些维度进行教材比较呢？以下我们结合“平均数”一节内容，以人教版、北师大版、苏教版、浙教版、西师版和青岛版六套教材为比较对象，从显性和隐性两个维度展开具体说明。
（一）显性维度：比较教材内容编排的时段与例题素材
教材比较最为直观的是教学内容在学习时段和例题素材上作对比。比如“平均数”这节内容，以上六套教材是这样编排的（见表1）：
通过解读发现，这些教材对“平均数”一节内容编排的不同之处有：
1.该内容在学习时段上存在差异。
“平均数”这节内容，人教版、北师大版、西师版、青岛版都安排在四年级下册；而苏教版则早于其他版本，安排在四年级上册；浙教版则安排在五年级上册。关于浙教版把“平均数”安排在五年级上册的问题，我们咨询了浙教版教材的编者，得到的回复是：到了五年级，学生对于统计方面的知识已积累了较丰富的经验，可以把平均数知识编写的范围更广、难度更深。确实，翻阅浙教版教材，它是这几套教材中思维要求最高，知识难度也是最大的，这也符合其整套教材的編写特点。
2.该内容选用的学习素材量不尽相同。
对于“平均数”学习素材的选择，北师大版和苏教版只选用了一个素材，人教版、青岛版选用了两个素材，浙教版、西师版则选用了三个素材。不同教材在这节内容的学习素材选择上同样存在着比较大的差异。
通过显性维度的比较，我们可以感觉到，教学内容的编排时段和学习素材的设计，与编写者对该教学内容的目标定位和学习要求有着一定的关系。
（二）隐性维度：比较知识的内涵特质与学习重难点的定位
概念的内涵特质属于知识本身逻辑的重要组成部分。教学实践时，一般体现在引导学生理解核心知识与重难点探究、突破的数学活动之中，对知识重难点的确定往往影响到数学活动设计的方向。在“平均数”一课的编写中，六套不同版本的教材对重难点的定位还是颇有不同的。（见表2）
由上表可知，不同之处在于：
1.对“平均数”的获取过程的设计有所不同。
除了西师版，其他教材都渗透“移多补少”的获取过程。我们知道，获取“平均数”可以有两种方式：一是通过“总数÷份数=平均数”获得，即借助原有除法“平均分”的知识基础；另一种是通过“移多补少”获取，经历“将一组原本有多有少的数据变成同样多”的过程，直观、形象地理解“平均数”代表一组数据的“整体水平”的统计意义。
2.对“平均数”的统计属性的表现有所不同。
除苏教版和浙教版外，其他教材都直接呈现了“平均数”虚拟性的探讨。通过设计问题情境，让学生理解“平均数”不一定在这组数据中，它只是描述一组数据“集中趋势”的状态值。
3.对求“平均数”方法的结构化定位有所不同。
西师版和浙教版，在教材上呈现了“平均数”计算方法的文字或公式。如西师版，对于“求平均数”有文字的描述“用一组的总成绩除以这个组的人数，得到平均数”。其他版本对于计算方法没有用文字或公式呈现，只让学生在计算中领悟即可。
通过比较，六套教材虽然在编排时段、素材选择和核心要素上有所不同，各有各的侧重，但在“平均数”意义的理解上是一致的，都关注了“平均数”概念的两个要点：（1）它代表一组数据的整体水平（一般水平）；（2）“平均数”是一个描述一组数据状态的值。这些内涵特征的把握，正是教学活动设计的重要出发点。
三、基于教材比较优化教学设计：把握本质，经历过程
有了以上教材的比较，我们对“平均数”的内涵有了较为深刻的把握，这对于我们的教学活动设计起到了重要的指导作用。实践中，我们在设计“平均数”一课时，重点把握两个方面：
一是学习材料的选择努力体现统计味。史宁中教授在他的《数学思想概论》中说：统计学的本质是数据分析，现代的方法则更强调数据的随机性，建立总体产生数据的模型，利用某个数据来推测总体的情况。因此，对于“平均数”教学，人教版中收集矿泉水瓶的素材，情境是学生所熟悉的，但是否每个学生都有收集的经历，感受性值得思考。其他版本的投篮比赛或套圈比赛，可以取得随机的数据，但受班级人数的影响，可行性值得思考。况且，教材所呈现的都是人数（或场数）不一样的情况下进行比赛，而在生活中的比赛，往往是在人数（或场数）相等的情况下进行比赛，这样的情境人为编造数据的痕迹比较明显。我们在设计中，选取了“口算比赛”这一学生相对熟悉的情境，意在避免这些问题。 二是概念特征的理解努力凸显描述性。“平均数”不一定是给出数据集合中的某个数据，尽管给出的数据都是整数，但“平均数”可能是一个没有现实意义的小数。比如“平均每人每天使用手机的时间为1.5小时”和“平均每个家庭有2.5个人”，在这两个情境中，显然1.5小时是存在的，而2.5个人却是不存在的。因此，引导学生体会“平均数”的虚拟性和统计量的描述性，同样需要思考与精心设计。
现结合我们在“平均数”一课中设计的四个层次的学习活动，展开具体说明。
[活动一] 收集数据
情境：上周，四（1）班的数学老师组织了一次全班的口算训练，一共80道口算题。其中小明同学做对了68道，你觉得小明的口算成绩在班级中处于怎样的水平？
学生思考后，呈现三个选项让学生选择：非常高，一般般，比较差。学生选择后，说说自己的想法。
师：要想准确判断他的水平，单靠上面的两个数据行吗？你准备收集哪些数据呢？
学生思考后交流，引出全班成绩。教师呈现全班36位同学做对的题数。
此活动中，教师创设了学生比较熟悉的现实情境，引导学生感悟：在“仅仅看到两个数据的情况下，判断小明的口算成绩处于班中怎样的水平”有困难，引发认知冲突，触发学生产生收集数据的需求，体会收集数据在分析判断中的重要性。
[活动二] 分析数据
师：看到这么多的数据后，你能判断他的口算水平吗？你有什么好办法？
师生共同整理数据，课件动态呈现下面的点子图。
实际的课堂上，当呈现全班学生的口算成绩后，学生面对些零乱的数据，因为难以做出准确的分析判断，会再次产生争议与讨论，促使学生想到对数据进行整理。课上，教师便可以顺着学生的思路或将这些数据按从小到大进行排序，或用点子图的方式加以呈现。
根据点子图，再次判断小明的口算水平在班级中的情况。
引导思考：还有没有其他的数据分析方法（引出平均数）。再结合点子图，估计平均数所在的位置。说说平均数的计算方法，教师板书，计算机算出结果。
板书：（75 67 80 75…… 78）÷36=72（题）。
结合点子图，找到平均数的位置。
此教学过程，引导学生猜测、计算、分析，充分经历了感知、体味“平均数”这一统计量的特征。
[活动三] 讨论交流
追问：平均数是72，可做对72道的同学一个也没有，可以吗？
让学生四人小组先讨论，再全班交流。随后顺势小结：平均数不一定是这组数据中的某个数，它是一组数据平均水平的代表。
通过学生讨论和交流，帮助学生理解“平均数”的描述数据状态的意义：“平均数”只刻画整体水平，而不是真正的其中某一个同学的数据。
[活动四] 应用内化
师：和其他同学的成绩比较，大家肯定觉得小明学习不够努力。真的是这样吗？我们来看看小明最近四次口算训练做对题数情况（呈现下表）。
师：每次都是80道题，每次的难度也差不多。做对68道是小明第四次训练的成绩，你觉得这个68道怎么样？
学生发表自己的看法。
师：请你们先估一估这四次成绩的平均数，再算一算。
学生独立完成，教师巡视，寻找两种答案：列式计算和移多补少的方法。
师：小明第四次做对的68道，比他四次的平均数高了5道，说明小明有进步啊。看来，同样一个数据，放在不同的数据群体中，我们会对它做出不同的分析判断。
“68”這个数据放在班级中是属于低的，但换个角度，放在小明个人最近四次测试的数据中，却已经是最高了。这样教学，能使学生全面、辩证地看问题，也进一步体验到数据分析的统计意义。
综观整节课，我们并非单纯以某套教材为重点，而是结合了六套教材中相关内容的比较，对“平均数”这个统计量的内涵有了深刻理解与把握之后设计的。从实践效果来看，正是因为有了不同教材的比较与思考，我们的教学才会有“基于教材，高于教材”的数学活动设计，有引导学生从知识的本源上理解概念内涵、把握概念特征的过程，在帮助学生获取知识技能的同时，也有数学课程标准所提出的“经历、体验、探索”等“过程目标”的达成。
【关键词】教材比较 教学设计 “平均数” 知识内涵
一、教材比较的意义：因为比较，所以深刻
从教学实践来理解，所谓读懂教材是指教师对教材呈现的知识内容的编排逻辑、素材选择、重难点定位以及练习习题特点等有比较充分的理解与把握。它是教师备课的基本要求，也是设计好教学活动的基础。对于一线教师来说，读教材的过程除了基于本套教材对知识内容进行深入解读之外，还包括结合不同版本教材的比较阅读。事实上，如今教材比较已经成了许多优秀教师研读教材的重要方式。通过不同版本教材中同一知识内容的比较解读，深入理解教学内容，把握知识内涵，这对一线教师的教学有着两个层面的重要意义。
教材比较有助于教师多维度地理解把握相关知识内容的本质。我们说，有比较才有鉴别。对于一套教材来说，本身有其编排的知识逻辑，而由于课时容量的限制与教材编写者自身对相关知识的理解，会使得编者在处理某个知识点时，有所取舍，这客观上造成了教材与教材之间，就某个知识点的编写存在着差异。通过教材的比较阅读，这些差异往往是引导教师从更完整的角度来理解相应知识内容的突破口和思辨点。
教材比较还有助于教师对本套教材中相关知识内容的教学重难点的确立，教学策略路径设计亦更有针对性。因为教材之间存在着差异，这能引发教师去思考差异背后的原因，重新审视自己所使用教材的内容体系、知识逻辑、例题素材与呈现过程等学习要素，分析所使用教材在此知识点的重难点定位，从而设计出适合引导学生学习的教学活动。因为有比较，才能更深刻。
二、教材比较的维度：从显性学习材料到隐性内涵本质
那么，对一线教师来说，又该从哪些维度进行教材比较呢？以下我们结合“平均数”一节内容，以人教版、北师大版、苏教版、浙教版、西师版和青岛版六套教材为比较对象，从显性和隐性两个维度展开具体说明。
（一）显性维度：比较教材内容编排的时段与例题素材
教材比较最为直观的是教学内容在学习时段和例题素材上作对比。比如“平均数”这节内容，以上六套教材是这样编排的（见表1）：
通过解读发现，这些教材对“平均数”一节内容编排的不同之处有：
1.该内容在学习时段上存在差异。
“平均数”这节内容，人教版、北师大版、西师版、青岛版都安排在四年级下册；而苏教版则早于其他版本，安排在四年级上册；浙教版则安排在五年级上册。关于浙教版把“平均数”安排在五年级上册的问题，我们咨询了浙教版教材的编者，得到的回复是：到了五年级，学生对于统计方面的知识已积累了较丰富的经验，可以把平均数知识编写的范围更广、难度更深。确实，翻阅浙教版教材，它是这几套教材中思维要求最高，知识难度也是最大的，这也符合其整套教材的編写特点。
2.该内容选用的学习素材量不尽相同。
对于“平均数”学习素材的选择，北师大版和苏教版只选用了一个素材，人教版、青岛版选用了两个素材，浙教版、西师版则选用了三个素材。不同教材在这节内容的学习素材选择上同样存在着比较大的差异。
通过显性维度的比较，我们可以感觉到，教学内容的编排时段和学习素材的设计，与编写者对该教学内容的目标定位和学习要求有着一定的关系。
（二）隐性维度：比较知识的内涵特质与学习重难点的定位
概念的内涵特质属于知识本身逻辑的重要组成部分。教学实践时，一般体现在引导学生理解核心知识与重难点探究、突破的数学活动之中，对知识重难点的确定往往影响到数学活动设计的方向。在“平均数”一课的编写中，六套不同版本的教材对重难点的定位还是颇有不同的。（见表2）
由上表可知，不同之处在于：
1.对“平均数”的获取过程的设计有所不同。
除了西师版，其他教材都渗透“移多补少”的获取过程。我们知道，获取“平均数”可以有两种方式：一是通过“总数÷份数=平均数”获得，即借助原有除法“平均分”的知识基础；另一种是通过“移多补少”获取，经历“将一组原本有多有少的数据变成同样多”的过程，直观、形象地理解“平均数”代表一组数据的“整体水平”的统计意义。
2.对“平均数”的统计属性的表现有所不同。
除苏教版和浙教版外，其他教材都直接呈现了“平均数”虚拟性的探讨。通过设计问题情境，让学生理解“平均数”不一定在这组数据中，它只是描述一组数据“集中趋势”的状态值。
3.对求“平均数”方法的结构化定位有所不同。
西师版和浙教版，在教材上呈现了“平均数”计算方法的文字或公式。如西师版，对于“求平均数”有文字的描述“用一组的总成绩除以这个组的人数，得到平均数”。其他版本对于计算方法没有用文字或公式呈现，只让学生在计算中领悟即可。
通过比较，六套教材虽然在编排时段、素材选择和核心要素上有所不同，各有各的侧重，但在“平均数”意义的理解上是一致的，都关注了“平均数”概念的两个要点：（1）它代表一组数据的整体水平（一般水平）；（2）“平均数”是一个描述一组数据状态的值。这些内涵特征的把握，正是教学活动设计的重要出发点。
三、基于教材比较优化教学设计：把握本质，经历过程
有了以上教材的比较，我们对“平均数”的内涵有了较为深刻的把握，这对于我们的教学活动设计起到了重要的指导作用。实践中，我们在设计“平均数”一课时，重点把握两个方面：
一是学习材料的选择努力体现统计味。史宁中教授在他的《数学思想概论》中说：统计学的本质是数据分析，现代的方法则更强调数据的随机性，建立总体产生数据的模型，利用某个数据来推测总体的情况。因此，对于“平均数”教学，人教版中收集矿泉水瓶的素材，情境是学生所熟悉的，但是否每个学生都有收集的经历，感受性值得思考。其他版本的投篮比赛或套圈比赛，可以取得随机的数据，但受班级人数的影响，可行性值得思考。况且，教材所呈现的都是人数（或场数）不一样的情况下进行比赛，而在生活中的比赛，往往是在人数（或场数）相等的情况下进行比赛，这样的情境人为编造数据的痕迹比较明显。我们在设计中，选取了“口算比赛”这一学生相对熟悉的情境，意在避免这些问题。 二是概念特征的理解努力凸显描述性。“平均数”不一定是给出数据集合中的某个数据，尽管给出的数据都是整数，但“平均数”可能是一个没有现实意义的小数。比如“平均每人每天使用手机的时间为1.5小时”和“平均每个家庭有2.5个人”，在这两个情境中，显然1.5小时是存在的，而2.5个人却是不存在的。因此，引导学生体会“平均数”的虚拟性和统计量的描述性，同样需要思考与精心设计。
现结合我们在“平均数”一课中设计的四个层次的学习活动，展开具体说明。
[活动一] 收集数据
情境：上周，四（1）班的数学老师组织了一次全班的口算训练，一共80道口算题。其中小明同学做对了68道，你觉得小明的口算成绩在班级中处于怎样的水平？
学生思考后，呈现三个选项让学生选择：非常高，一般般，比较差。学生选择后，说说自己的想法。
师：要想准确判断他的水平，单靠上面的两个数据行吗？你准备收集哪些数据呢？
学生思考后交流，引出全班成绩。教师呈现全班36位同学做对的题数。
此活动中，教师创设了学生比较熟悉的现实情境，引导学生感悟：在“仅仅看到两个数据的情况下，判断小明的口算成绩处于班中怎样的水平”有困难，引发认知冲突，触发学生产生收集数据的需求，体会收集数据在分析判断中的重要性。
[活动二] 分析数据
师：看到这么多的数据后，你能判断他的口算水平吗？你有什么好办法？
师生共同整理数据，课件动态呈现下面的点子图。
实际的课堂上，当呈现全班学生的口算成绩后，学生面对些零乱的数据，因为难以做出准确的分析判断，会再次产生争议与讨论，促使学生想到对数据进行整理。课上，教师便可以顺着学生的思路或将这些数据按从小到大进行排序，或用点子图的方式加以呈现。
根据点子图，再次判断小明的口算水平在班级中的情况。
引导思考：还有没有其他的数据分析方法（引出平均数）。再结合点子图，估计平均数所在的位置。说说平均数的计算方法，教师板书，计算机算出结果。
板书：（75 67 80 75…… 78）÷36=72（题）。
结合点子图，找到平均数的位置。
此教学过程，引导学生猜测、计算、分析，充分经历了感知、体味“平均数”这一统计量的特征。
[活动三] 讨论交流
追问：平均数是72，可做对72道的同学一个也没有，可以吗？
让学生四人小组先讨论，再全班交流。随后顺势小结：平均数不一定是这组数据中的某个数，它是一组数据平均水平的代表。
通过学生讨论和交流，帮助学生理解“平均数”的描述数据状态的意义：“平均数”只刻画整体水平，而不是真正的其中某一个同学的数据。
[活动四] 应用内化
师：和其他同学的成绩比较，大家肯定觉得小明学习不够努力。真的是这样吗？我们来看看小明最近四次口算训练做对题数情况（呈现下表）。
师：每次都是80道题，每次的难度也差不多。做对68道是小明第四次训练的成绩，你觉得这个68道怎么样？
学生发表自己的看法。
师：请你们先估一估这四次成绩的平均数，再算一算。
学生独立完成，教师巡视，寻找两种答案：列式计算和移多补少的方法。
师：小明第四次做对的68道，比他四次的平均数高了5道，说明小明有进步啊。看来，同样一个数据，放在不同的数据群体中，我们会对它做出不同的分析判断。
“68”這个数据放在班级中是属于低的，但换个角度，放在小明个人最近四次测试的数据中，却已经是最高了。这样教学，能使学生全面、辩证地看问题，也进一步体验到数据分析的统计意义。
综观整节课，我们并非单纯以某套教材为重点，而是结合了六套教材中相关内容的比较，对“平均数”这个统计量的内涵有了深刻理解与把握之后设计的。从实践效果来看，正是因为有了不同教材的比较与思考，我们的教学才会有“基于教材，高于教材”的数学活动设计，有引导学生从知识的本源上理解概念内涵、把握概念特征的过程，在帮助学生获取知识技能的同时，也有数学课程标准所提出的“经历、体验、探索”等“过程目标”的达成。