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[摘 要]结合苏教版小学数学教材三年级“认识分数”一课的教学，阐述了比较这一数学思想方法在教学中的重要作用，指出了小学数学概念教学中，采用“比较”的数学思想方法，要注意三个方面：找准“比较”前的点、把握“比较”时的度、关注“比较”后的思，对一线教师的数学课堂具有一定的借鉴意义和参考价值。
[关键词]比较 概念教学 路径 认识分数
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-015
著名教育家乌申斯基曾经说过：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切。”在苏教版小学数学教材中，有很多基础概念，例如在“数与代数”领域中，就有小数、分数、百分数等。概念教学是小学阶段非常重要的内容之一，除了在日常生活中应用广泛，还为深入地开展认识活动提供了必要的理论工具。在概念教学中，如果采用比较的数学思想，帮助学生举一反三，触类旁通，就能帮助学生抓住概念的内在本质，准确地理解概念，凸显概念的重要价值。现以三年级下册“分数的认识”一课为例，谈谈这方面的教学思考。
一、在比较中，让新旧知识自然对接
从苏教版小学数学教材编排体系看，分数这一内容被分成了三个阶段来进行教学。三年级上学期，学生已经初步学习了把一个物体、一个图形平均分成几份，用几分之一或几分之几表示其中的一份或几份。五年级下学期，学习把单位“1”平均分成若干份，其中的一份或者几份可以分数来表示。三年级下册的分数教学主要包括两方面的内容：一是把由若干个物体组成的一个整体平均分成几份，用几分之一或几分之几这样的分数表示这个整体里的一份或几份;二是应用对分数的理解，解决求一个整体的几分之一或几分之几是多少个物体的实际问题。因此，这部分内容的教学起到了一个承上启下的作用。新课学习时，我采用师生谈话交流的方式，先让学生回忆：“我们已经学过了分数，你能举例说出一个分数，并说说它表示什么意思吗？”学生有的说四分之一，有的说五分之二，通过对它们意义的确认与理解，我及时进行总结：“通过学习我们知道，把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一。今天这节课，我们继续来研究分数。”接着，出示教材例题 “猴妈妈把一盘桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？”……
从建构主义理论来看，任何学习都是在学习者已有的知识和认知结构的基础上进行的。原有的认知结构对于新的学习任务是一个关键的因素。因此，找到新知的认知起点很重要。学生通过回忆、分析，对一个物体的几分之一有了清晰的认识，在此基础上揭示课题，显得水到渠成。更重要的是让旧知与新知联结起来，让学生对分数意义的认识上升到一个新的高度。
二、在比较中，让核心概念动态呈现
所谓核心概念，指的是反映对象的本质属性的思维形式。针对本节课的教学内容来看，从一个物体的几分之一到一个整体的几分之一，是学生认识分数的一次发展。一方面要让学生理解“为什么要把许多个物体看作一个整体”，这是认识分数过程中的一个难点。另一方面就是让学生充分认识到，把一个整体平均分成几份，这是分数产生的重要因素，平均分成几份，每一份就是几份中的一份，也就是几分之一，这是教学的重点与关键所在。如何能突出这一重点，我精心设计了多个层次的比较。
1.通过例题的变式进行比较
第一层次，通过比较，深化对四分之一的理解。教材的例题是把一盘桃（4个桃子）平均分给4只猴子，要求每只小猴分得这盘桃的几分之几。教学时，我放大了例题的教学价值：把4个桃子依次变成8个桃子、12个桃子、无数个桃子，仍旧是平均分给4只猴子，每只猴子分得这盘桃的几分之几？让学生通过分一分、想一想、说一说，观察比较后得出“不管盘子里有多少个桃子（4个、8个、12个、很多很多个），桃子的总个数不同，都可以把它看作一个整体，只要把这盘桃平均分成4份，每只小猴都分得这盘桃的四分之一，都可以用分数1 / 4来表示。不同的是，每一份的个数不同”。（异中有同，同中有异）学会观察非常重要！
第二层次，通过比较，凸显二分之一与四分之一的异同。“同样是一盘桃，分给4只猴子、2只猴子后，同样是四个桃子，为什么每份有的用四分之一来表示，有的却用二分之一来表示呢？”这样的比较不仅符合学生的认知规律，更重要的是让学生充分意识到“平均分成的份数”决定着不同分数的产生。此处教学笔墨不多，但恰到好处，学生的思维一下子动起来了，真正给学生创造了一个生动活泼的动态学习过程。
2.通过习题的变式进行比较
（1）在比较中，深化对总数、总份数、每份数的认识。如根据教材“想想做做第2题（教材只提供了图1-1和图1-2），我还补充了图1-3、1-4。教学时，先让学生口答每个图可以用几分之几来表示，接着让学生依次对图1-1和图1-2、图1-1和图1-3、图1-和图1-4进行比较。
我出示比较1：同样是12个小正方体，其中的一份，为什么第一个是四分之一，第2个是三分之一？比较2：同样是每份3个，为什么图1-1用表示，图1-3用表示？让学生观察图1-2和图1-4后，提出问题来考考同学。通过对这3组分数的比较，深化了学生对于总数、总份数、每份数的认识，让学生进一步体会几分之一所表示的实际含义，及时沟通了“部分与整体”、“份数与分数”等相互之间的关系，凸显出分数的本质。
（2）在比较中，深化对平均分的理解。为了让学生对平均分有深刻的理解，我在三组分数比较之后，还出示了图2，问：“现在图中涂色部分还能用分数来表示吗？”
学生通过观察，一致认为图2中的3份不是平均分，第一排有5个，第二排也是5个，第三排是6个，所以不能用三分之一来表示。我及时总结：“说得好！看来，要想得到一个分数，必须要把这个整体平均分。”看来，对图1-1、图1-2、图1-3、图1-4、图2多种层次的比较，尤其是运用反例，让学生意识到分数的产生一定是要建立在平均分的基础上。也正是这样的比较活动，学生的思维始终处于活跃状态，在对比中辨析，在辨析中理解，真正做到“同中辨异，异中求同”，学生对分数的理解自然是全面而深刻的。 三、在比较中，让思想方法悄然浸润
史宁中教授在《数学思想概论》中指出：数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理和模型……通过抽象，在现实生活中得到数学概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后再通过模型建立数学与外部世界的联系。《义务教育数学新课程标准（2011年版）》也突出强调落实“四基”的要求，其中包括“培养学生基本的数学思想方法”。可见，在数学教学活动中，自觉渗透基本的数学思想方法十分重要。本课中，比较这一思想方法的渗透是悄然无声的，除了上面提及的核心概念的呈现中，采用比较的方法，从直观到抽象，深化对分数的认识外，练习设计中，我还注重了一一对应、数形结合等数学思想的渗透。
如在12根小棒的游戏练习中，我先提出：“（课件出示）一堆小棒有12根，你能表示出这堆小棒的吗？”学生自然想到每份是6根。“那么，除了，你能表示出这些小棒的几分之一呢？”学生通过交流，想到了还可以拿出它的、、、。
接着，我要求学生观察：“同样是12根小棒，为什么得到了不同的分数呢？随着分的份数增加，每份数怎样变化？分数怎样变化？”让学生通过比较，体会到变与不变的思想。
第二步，我把12根小棒变成了这样一条特殊的“线段”，追问：“现在能把它看作一个整体吗？说说这一份占线段全长的几分之一？”（如图3、图4）
在学生说出十二分之一和四分之一后，我把线段进行了“瘦身”，让学生继续观察，猜一猜：这一份是这个整体的几分之一？（如图5）
在此基础上，我引导学生得出：只要把这条线段看作一个整体，平均分成几份，每份就是它的几分之一（如图6）。这个练习的设计，基于教材，又创生教材，从小棒图到数轴图的巧妙变化，对小学阶段“分数的意义”做了较好的对接，既有趣味性，又让学生对分数的认识有了适当的拓展和延伸，而“一一对应”思想、变与不变的思想、数形结合思想等也悄然渗透其中。
基于上面的思考，我觉得在数学概念教学中，采用“比较”的数学思想方法，要注意以下几点。
其一，找准“比较”前的点。任何概念都有其内涵和外延，教师进行概念教学时，要认真解读教材，摸清教材的编写意图，熟悉概念的来龙去脉，了解核心概念在本册教材中乃至在整个小学阶段（可适量延伸至中学）中的重要地位，全面把握其内涵和外延，找准教材的逻辑起点、学生的认知起点和思维起点，确定适切的教学目标要求。备课时，找一找与学生已有知识、经验之间的联系，借助于具体情境的支撑，找准新旧知识的联结点，确定课堂上围绕该内容的具体训练点，通过学情分析，努力挖掘其生长点，使新概念的学习有“根”有“据”，帮助学生积累数学活动经验。
其二，把握“比较”时的度。为理解而教，这是概念教学中很重要的理念。小学生对任何概念的理解，绝不是一次完成的，都要经历一个比较复杂的认识过程。纵观一些概念教学，可以发现，在感性向理性的抽象思维活动中，教者可以及时变换材料的非本质属性，提供充分的学习素材，通过不断的变式、比较，丰富概念的内涵，让学生充分感知、观察、操作、比较，把操作活动与语言表达、观察比较与思维活动有机结合，学会“数学地思维”，从而深化概念本质的理解。
其三，关注“比较”后的思。英国哲学家洛克曾经指出：省思是人心对自身活动的注意和知觉，是知识的来源之一;人通过反省心灵的活动和活动方式，获得关于它们的观念，如知觉、思维、怀疑、信仰等。对于小学生来说，对一些数学基本概念的学习、把握，主要为以后高一层次的学习打基础。学习这些基本概念，不仅获得数学知识，更重要的是掌握一些数学思想方法，提高数学思维能力。因此，教师在课堂上要关注“比较”后的思，让学生通过看一看、比一比、说一说，自己来整理发现，自己来盘点收获，在学生独自汇报的过程中，引发其他学生卷入其中，相互激发，启迪思考，外化学生的思维过程。这样的由此及彼、举一反三，有助于学生对概念的认识从模糊到清晰、从浅表到深刻，不断丰富完善，从而获得对概念的深刻理解和整体把握，进而内化为数学思想方法，真正提升数学素养。
（责编 金 铃）
[关键词]比较 概念教学 路径 认识分数
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-015
著名教育家乌申斯基曾经说过：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切。”在苏教版小学数学教材中，有很多基础概念，例如在“数与代数”领域中，就有小数、分数、百分数等。概念教学是小学阶段非常重要的内容之一，除了在日常生活中应用广泛，还为深入地开展认识活动提供了必要的理论工具。在概念教学中，如果采用比较的数学思想，帮助学生举一反三，触类旁通，就能帮助学生抓住概念的内在本质，准确地理解概念，凸显概念的重要价值。现以三年级下册“分数的认识”一课为例，谈谈这方面的教学思考。
一、在比较中，让新旧知识自然对接
从苏教版小学数学教材编排体系看，分数这一内容被分成了三个阶段来进行教学。三年级上学期，学生已经初步学习了把一个物体、一个图形平均分成几份，用几分之一或几分之几表示其中的一份或几份。五年级下学期，学习把单位“1”平均分成若干份，其中的一份或者几份可以分数来表示。三年级下册的分数教学主要包括两方面的内容：一是把由若干个物体组成的一个整体平均分成几份，用几分之一或几分之几这样的分数表示这个整体里的一份或几份;二是应用对分数的理解，解决求一个整体的几分之一或几分之几是多少个物体的实际问题。因此，这部分内容的教学起到了一个承上启下的作用。新课学习时，我采用师生谈话交流的方式，先让学生回忆：“我们已经学过了分数，你能举例说出一个分数，并说说它表示什么意思吗？”学生有的说四分之一，有的说五分之二，通过对它们意义的确认与理解，我及时进行总结：“通过学习我们知道，把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一。今天这节课，我们继续来研究分数。”接着，出示教材例题 “猴妈妈把一盘桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？”……
从建构主义理论来看，任何学习都是在学习者已有的知识和认知结构的基础上进行的。原有的认知结构对于新的学习任务是一个关键的因素。因此，找到新知的认知起点很重要。学生通过回忆、分析，对一个物体的几分之一有了清晰的认识，在此基础上揭示课题，显得水到渠成。更重要的是让旧知与新知联结起来，让学生对分数意义的认识上升到一个新的高度。
二、在比较中，让核心概念动态呈现
所谓核心概念，指的是反映对象的本质属性的思维形式。针对本节课的教学内容来看，从一个物体的几分之一到一个整体的几分之一，是学生认识分数的一次发展。一方面要让学生理解“为什么要把许多个物体看作一个整体”，这是认识分数过程中的一个难点。另一方面就是让学生充分认识到，把一个整体平均分成几份，这是分数产生的重要因素，平均分成几份，每一份就是几份中的一份，也就是几分之一，这是教学的重点与关键所在。如何能突出这一重点，我精心设计了多个层次的比较。
1.通过例题的变式进行比较
第一层次，通过比较，深化对四分之一的理解。教材的例题是把一盘桃（4个桃子）平均分给4只猴子，要求每只小猴分得这盘桃的几分之几。教学时，我放大了例题的教学价值：把4个桃子依次变成8个桃子、12个桃子、无数个桃子，仍旧是平均分给4只猴子，每只猴子分得这盘桃的几分之几？让学生通过分一分、想一想、说一说，观察比较后得出“不管盘子里有多少个桃子（4个、8个、12个、很多很多个），桃子的总个数不同，都可以把它看作一个整体，只要把这盘桃平均分成4份，每只小猴都分得这盘桃的四分之一，都可以用分数1 / 4来表示。不同的是，每一份的个数不同”。（异中有同，同中有异）学会观察非常重要！
第二层次，通过比较，凸显二分之一与四分之一的异同。“同样是一盘桃，分给4只猴子、2只猴子后，同样是四个桃子，为什么每份有的用四分之一来表示，有的却用二分之一来表示呢？”这样的比较不仅符合学生的认知规律，更重要的是让学生充分意识到“平均分成的份数”决定着不同分数的产生。此处教学笔墨不多，但恰到好处，学生的思维一下子动起来了，真正给学生创造了一个生动活泼的动态学习过程。
2.通过习题的变式进行比较
（1）在比较中，深化对总数、总份数、每份数的认识。如根据教材“想想做做第2题（教材只提供了图1-1和图1-2），我还补充了图1-3、1-4。教学时，先让学生口答每个图可以用几分之几来表示，接着让学生依次对图1-1和图1-2、图1-1和图1-3、图1-和图1-4进行比较。
我出示比较1：同样是12个小正方体，其中的一份，为什么第一个是四分之一，第2个是三分之一？比较2：同样是每份3个，为什么图1-1用表示，图1-3用表示？让学生观察图1-2和图1-4后，提出问题来考考同学。通过对这3组分数的比较，深化了学生对于总数、总份数、每份数的认识，让学生进一步体会几分之一所表示的实际含义，及时沟通了“部分与整体”、“份数与分数”等相互之间的关系，凸显出分数的本质。
（2）在比较中，深化对平均分的理解。为了让学生对平均分有深刻的理解，我在三组分数比较之后，还出示了图2，问：“现在图中涂色部分还能用分数来表示吗？”
学生通过观察，一致认为图2中的3份不是平均分，第一排有5个，第二排也是5个，第三排是6个，所以不能用三分之一来表示。我及时总结：“说得好！看来，要想得到一个分数，必须要把这个整体平均分。”看来，对图1-1、图1-2、图1-3、图1-4、图2多种层次的比较，尤其是运用反例，让学生意识到分数的产生一定是要建立在平均分的基础上。也正是这样的比较活动，学生的思维始终处于活跃状态，在对比中辨析，在辨析中理解，真正做到“同中辨异，异中求同”，学生对分数的理解自然是全面而深刻的。 三、在比较中，让思想方法悄然浸润
史宁中教授在《数学思想概论》中指出：数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理和模型……通过抽象，在现实生活中得到数学概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后再通过模型建立数学与外部世界的联系。《义务教育数学新课程标准（2011年版）》也突出强调落实“四基”的要求，其中包括“培养学生基本的数学思想方法”。可见，在数学教学活动中，自觉渗透基本的数学思想方法十分重要。本课中，比较这一思想方法的渗透是悄然无声的，除了上面提及的核心概念的呈现中，采用比较的方法，从直观到抽象，深化对分数的认识外，练习设计中，我还注重了一一对应、数形结合等数学思想的渗透。
如在12根小棒的游戏练习中，我先提出：“（课件出示）一堆小棒有12根，你能表示出这堆小棒的吗？”学生自然想到每份是6根。“那么，除了，你能表示出这些小棒的几分之一呢？”学生通过交流，想到了还可以拿出它的、、、。
接着，我要求学生观察：“同样是12根小棒，为什么得到了不同的分数呢？随着分的份数增加，每份数怎样变化？分数怎样变化？”让学生通过比较，体会到变与不变的思想。
第二步，我把12根小棒变成了这样一条特殊的“线段”，追问：“现在能把它看作一个整体吗？说说这一份占线段全长的几分之一？”（如图3、图4）
在学生说出十二分之一和四分之一后，我把线段进行了“瘦身”，让学生继续观察，猜一猜：这一份是这个整体的几分之一？（如图5）
在此基础上，我引导学生得出：只要把这条线段看作一个整体，平均分成几份，每份就是它的几分之一（如图6）。这个练习的设计，基于教材，又创生教材，从小棒图到数轴图的巧妙变化，对小学阶段“分数的意义”做了较好的对接，既有趣味性，又让学生对分数的认识有了适当的拓展和延伸，而“一一对应”思想、变与不变的思想、数形结合思想等也悄然渗透其中。
基于上面的思考，我觉得在数学概念教学中，采用“比较”的数学思想方法，要注意以下几点。
其一，找准“比较”前的点。任何概念都有其内涵和外延，教师进行概念教学时，要认真解读教材，摸清教材的编写意图，熟悉概念的来龙去脉，了解核心概念在本册教材中乃至在整个小学阶段（可适量延伸至中学）中的重要地位，全面把握其内涵和外延，找准教材的逻辑起点、学生的认知起点和思维起点，确定适切的教学目标要求。备课时，找一找与学生已有知识、经验之间的联系，借助于具体情境的支撑，找准新旧知识的联结点，确定课堂上围绕该内容的具体训练点，通过学情分析，努力挖掘其生长点，使新概念的学习有“根”有“据”，帮助学生积累数学活动经验。
其二，把握“比较”时的度。为理解而教，这是概念教学中很重要的理念。小学生对任何概念的理解，绝不是一次完成的，都要经历一个比较复杂的认识过程。纵观一些概念教学，可以发现，在感性向理性的抽象思维活动中，教者可以及时变换材料的非本质属性，提供充分的学习素材，通过不断的变式、比较，丰富概念的内涵，让学生充分感知、观察、操作、比较，把操作活动与语言表达、观察比较与思维活动有机结合，学会“数学地思维”，从而深化概念本质的理解。
其三，关注“比较”后的思。英国哲学家洛克曾经指出：省思是人心对自身活动的注意和知觉，是知识的来源之一;人通过反省心灵的活动和活动方式，获得关于它们的观念，如知觉、思维、怀疑、信仰等。对于小学生来说，对一些数学基本概念的学习、把握，主要为以后高一层次的学习打基础。学习这些基本概念，不仅获得数学知识，更重要的是掌握一些数学思想方法，提高数学思维能力。因此，教师在课堂上要关注“比较”后的思，让学生通过看一看、比一比、说一说，自己来整理发现，自己来盘点收获，在学生独自汇报的过程中，引发其他学生卷入其中，相互激发，启迪思考，外化学生的思维过程。这样的由此及彼、举一反三，有助于学生对概念的认识从模糊到清晰、从浅表到深刻，不断丰富完善，从而获得对概念的深刻理解和整体把握，进而内化为数学思想方法，真正提升数学素养。
（责编 金 铃）