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“不愤不启，不悱不发”——《论语·述而》，意思是“不到他努力想弄明白而不得的程度不要去开导他；不到他心里明白却不能完善表达出来的程度不要去启发他”.用教师的语言说，“愤”就是学生对某一问题正在积极思考，急于解决而又尚未搞通时的矛盾心理状态.这时教师应对学生思考问题的方法适时给予指导，以帮助学生开启思路，这就是“启”.“悱”是学生对某一问题已经有一段时间的思考，但尚未考虑成熟，处于想说又难以表达的另一种矛盾心理状态.这时教师应帮助学生明确思路，弄清事物的本质属性，然后用比较准确的语言表达出来，这就是“发”.因为教学过程就是在学生求知的“需要—满足—再需要—再满足”的循环往复过程中得到发展的，由此引发出启发教学的基本特征是教师主导、学生主动的辩证关系.启发教学目的在于提高学生的主动性.而“愤悱”作为一种心理状态，又是学生学习需要和“求知欲”的体现.
当学生进入“愤悱”状态，教师要有意识地挖掘学生的认识需要与已有水平之间的矛盾，不断地培养和激发学生的求知欲望，创设一个又一个的“愤悱”状态.在“愤悱”状态下，“心求通而未得”，当个体对问题的探索已经初露端倪，而又尚未明朗之时，思维便处在一种蓄势待发的临界状态.各种思想被潜抑在头脑中，不断奔腾、冲撞、融合、激荡，就像长期蓄积的洪水，一旦打开一道闸门，就会喷涌而出，一泻千里.阻遏思维喷薄而出的瓶颈，可能是对问题的建构尚缺最后一个细节，或许是内部语言向外部语言转化的过程中还差某一个环节，只需稍稍添加一点外力，或只需稍稍给予一丝点拨，就可以突破这种思维的临界状态，犹如醍醐灌顶恍然大悟，就会拨云见日、柳暗花明、豁然开朗，就会达到一种思维的澄明境界.
反观当前数学课堂现状，学生经常出现上课似乎都听懂了，做作业时却又不会了.学生缺乏学习主动性，学习兴趣不高，效率相对低下，教师教得累，学生学得怨.原因到底在哪？最近学校组织了同课异构的赛课，内容是正切函数的图像和性质，由两名教师分别上课，通过这两节课的听课，结果令人深思.
一、两节新授课的教学案例
（一）第一节课
复习引入：师：回顾正弦函数的图像与性质，思考其图像是如何作出的？
生：五点作图法.
师：知道正弦函数特征后用五点作图法，不知道之前呢？
在教师的一再提示下，学生断断续续地说出了借助于单位圆和正弦线作图.接着，在教师的引导下学生回忆先画出一个周期内的正弦函数图像，然后再利用周期性进行延伸得到在 R 上的图像.
新课：师：正切函数y=tanx是否在整个实数集上有意义？
生：x≠kπ π 2 （k∈ Z ）.
师：正切函数y=tanx是否为周期函数？
在教师的提示下学生得到y=tanx是周期函数，π是它的一个周期.
师：先作哪个周期上面的图像合适呢？
生： - π 2 ， π 2 .
学生在学案上作图，一段时间后，教师巡视发现学生作图并不理想，问题有弄不清哪条是正切线、如何平移正切线得到对应点等.教师不再等待，而是让大家一起看幻灯片，通过幻灯片演示作图的过程，再进行延展得到正切函数的图像.接下来对着正切图像和学生总结正切函数的相关性质，再利用性质解决相关的正切函数问题，教师示范讲解，学生模仿，反复练习.
（二）第二节课
复习引入：师：同学们回忆一下我们是怎么研究正弦函数的图像与性质的？
生：作图.
师：今天我们也通过作图来研究正切函数的图像与性质，大家对哪个局部最熟悉？
生： 0， π 2 .
师：准备用什么方法作图？
生：描点.
教师请了两名学生到黑板上作图，通过学生自己作图，学生发现问题：图像的走势是凸还是凹？取点不精确等.
师：同学们回忆正弦函数的图像是借助什么精确画出的？
生；正弦线.
师：正切函数的图像可以借助于……
生：正切线.
师：正切线在哪？
学生积极发言，指出角在 0， π 2 时，对应的正切线.师生共同合作，借助于正切线，作出了 0， π 2 的正切函数的图像，同时得出在此范围内随着角的增大，正切值也在增大.
师：角等于 π 2 呢？
生：正切值不存在.
教师引导学生得出正切函数的定义域.
师：要得到整个函数的图像？如何做？
生：继续利用正切线.
师：可以.有了 0， π 2 的图像，能不能快一些得到其他部分的图像呢？
学生进行了热烈的讨论，发现根据诱导公式，可以得到正切函数是奇函数，周期是π，通过图像的对称和平移可以完善正切函数的图像.师生一起逐步完善图像后，归纳函数的相关性质.
师：同学们，我们是通过什么方法研究正切函数的图像性质的？
生：作图.
师：如何作图的？
生：根据单位圆和正切线.
师：其他部分如何作出的呢？
生：利用函數的奇偶性和周期性.
师：借助于函数的一些性质可以作出函数图像，而由函数的图像我们又可以进一步研究函数的性质，图像和性质是相辅相成的.
接下来利用函数性质解决相关的正切函数问题，由于学生对于正切函数的图像有了较深刻的体会，在解决问题的时候比第一节课要顺畅很多.
二、两节新授课的对比反思
第一节课教师自我感觉讲得似乎很顺，先通过复习，为新课做好铺垫，新课部分通过两个问题，先解决正切函数的部分性质，为后续的作图做准备，然后让学生用正切线来作图.但是学生的反应并没有按照教师设计的那样走，在学生自己作图出现问题时，教师直接快速灌输了正确的正切函数图像，然后着重看图总结此函数的性质，最后就是反复的练习巩固.整个教学过程中，学生的积极主动性不高，学生在作图的过程中不知所措，思维受阻，教师并没有及时进行启发和点拨，因为时间已经用了近25分钟，教师比较急，直接就将正确的作图方法展示给学生，学生的新知识是通过接受学习来获得的，印象并不深刻，导致在练习部分，学生做得磕磕碰碰.
第二节课师生的互动较多，在最初的作图过程中，充分让学生“动”，由学生自己发现问题，激发学生的思维火花，在学生“愤”的时候，教师“启”学生建立新旧知识间的联系，打开思维的闸门.在接下来的教学中，教师通过问题的深入，进一步激发了学生学习动机，在学生“悱”的时候，教师“发”学生，使得学生“顺藤摸瓜”，对所学新知识有了深入的理解.虽然正切函数图像和性质的获得共花费了30分钟，但是在接下来的练习中，学生明显反应比上一节课学生要好，处理问题比较顺畅.
这种先让学生尝试解答，让学生在原有知识的基础上，通过自己努力寻求问题的解决之道，在尝试过程中，不仅可以暴露学生思维和潜在的问题，又可以使学生自主完成内化过程，而教师只是在适当的时候进行恰当的“点拨”，这正是教师“满堂灌”“一言堂”所无法实现的.
从“双基”到三维目标，再到当下的“核心素养”，尽管育人的“参照”在不断变化，但教育规律和学生的成长规律却是不变的.苏格拉底曾经说过，教育不是灌输，而是点燃火焰.教学的重点不在于教，而在于学.教是为了更好地学，教不能代替学.“还学于生”是课程改革的重要理念.学习过程就是学生不断发现问题、分析问题和解决问题的过程.教学要尊重学生的学习规律，为学生在学习中担任主动角色铺平道路，促进学生的发展.通过自主探究、组织讨论、问题导向、优化策略、解决问题等一系列活动，学生始终处于主动的地位.这种“能动性”的、“学生自己发现知识”的、“相互合作讨论”的学习，加深了学生对所学内容的理解，发展了学生的探索能力、问题解决能力、认知能力，促进了学生严谨的思维品质的养成.而教师在整个教学过程中，应该做到“不愤不启，不悱不发”，这样才能提升学生的各项能力，与此同时，学生自主探索知识，体会发现知识的乐趣，活跃思维，热情高涨，真正提高了课堂效率.
当学生进入“愤悱”状态，教师要有意识地挖掘学生的认识需要与已有水平之间的矛盾，不断地培养和激发学生的求知欲望，创设一个又一个的“愤悱”状态.在“愤悱”状态下，“心求通而未得”，当个体对问题的探索已经初露端倪，而又尚未明朗之时，思维便处在一种蓄势待发的临界状态.各种思想被潜抑在头脑中，不断奔腾、冲撞、融合、激荡，就像长期蓄积的洪水，一旦打开一道闸门，就会喷涌而出，一泻千里.阻遏思维喷薄而出的瓶颈，可能是对问题的建构尚缺最后一个细节，或许是内部语言向外部语言转化的过程中还差某一个环节，只需稍稍添加一点外力，或只需稍稍给予一丝点拨，就可以突破这种思维的临界状态，犹如醍醐灌顶恍然大悟，就会拨云见日、柳暗花明、豁然开朗，就会达到一种思维的澄明境界.
反观当前数学课堂现状，学生经常出现上课似乎都听懂了，做作业时却又不会了.学生缺乏学习主动性，学习兴趣不高，效率相对低下，教师教得累，学生学得怨.原因到底在哪？最近学校组织了同课异构的赛课，内容是正切函数的图像和性质，由两名教师分别上课，通过这两节课的听课，结果令人深思.
一、两节新授课的教学案例
（一）第一节课
复习引入：师：回顾正弦函数的图像与性质，思考其图像是如何作出的？
生：五点作图法.
师：知道正弦函数特征后用五点作图法，不知道之前呢？
在教师的一再提示下，学生断断续续地说出了借助于单位圆和正弦线作图.接着，在教师的引导下学生回忆先画出一个周期内的正弦函数图像，然后再利用周期性进行延伸得到在 R 上的图像.
新课：师：正切函数y=tanx是否在整个实数集上有意义？
生：x≠kπ π 2 （k∈ Z ）.
师：正切函数y=tanx是否为周期函数？
在教师的提示下学生得到y=tanx是周期函数，π是它的一个周期.
师：先作哪个周期上面的图像合适呢？
生： - π 2 ， π 2 .
学生在学案上作图，一段时间后，教师巡视发现学生作图并不理想，问题有弄不清哪条是正切线、如何平移正切线得到对应点等.教师不再等待，而是让大家一起看幻灯片，通过幻灯片演示作图的过程，再进行延展得到正切函数的图像.接下来对着正切图像和学生总结正切函数的相关性质，再利用性质解决相关的正切函数问题，教师示范讲解，学生模仿，反复练习.
（二）第二节课
复习引入：师：同学们回忆一下我们是怎么研究正弦函数的图像与性质的？
生：作图.
师：今天我们也通过作图来研究正切函数的图像与性质，大家对哪个局部最熟悉？
生： 0， π 2 .
师：准备用什么方法作图？
生：描点.
教师请了两名学生到黑板上作图，通过学生自己作图，学生发现问题：图像的走势是凸还是凹？取点不精确等.
师：同学们回忆正弦函数的图像是借助什么精确画出的？
生；正弦线.
师：正切函数的图像可以借助于……
生：正切线.
师：正切线在哪？
学生积极发言，指出角在 0， π 2 时，对应的正切线.师生共同合作，借助于正切线，作出了 0， π 2 的正切函数的图像，同时得出在此范围内随着角的增大，正切值也在增大.
师：角等于 π 2 呢？
生：正切值不存在.
教师引导学生得出正切函数的定义域.
师：要得到整个函数的图像？如何做？
生：继续利用正切线.
师：可以.有了 0， π 2 的图像，能不能快一些得到其他部分的图像呢？
学生进行了热烈的讨论，发现根据诱导公式，可以得到正切函数是奇函数，周期是π，通过图像的对称和平移可以完善正切函数的图像.师生一起逐步完善图像后，归纳函数的相关性质.
师：同学们，我们是通过什么方法研究正切函数的图像性质的？
生：作图.
师：如何作图的？
生：根据单位圆和正切线.
师：其他部分如何作出的呢？
生：利用函數的奇偶性和周期性.
师：借助于函数的一些性质可以作出函数图像，而由函数的图像我们又可以进一步研究函数的性质，图像和性质是相辅相成的.
接下来利用函数性质解决相关的正切函数问题，由于学生对于正切函数的图像有了较深刻的体会，在解决问题的时候比第一节课要顺畅很多.
二、两节新授课的对比反思
第一节课教师自我感觉讲得似乎很顺，先通过复习，为新课做好铺垫，新课部分通过两个问题，先解决正切函数的部分性质，为后续的作图做准备，然后让学生用正切线来作图.但是学生的反应并没有按照教师设计的那样走，在学生自己作图出现问题时，教师直接快速灌输了正确的正切函数图像，然后着重看图总结此函数的性质，最后就是反复的练习巩固.整个教学过程中，学生的积极主动性不高，学生在作图的过程中不知所措，思维受阻，教师并没有及时进行启发和点拨，因为时间已经用了近25分钟，教师比较急，直接就将正确的作图方法展示给学生，学生的新知识是通过接受学习来获得的，印象并不深刻，导致在练习部分，学生做得磕磕碰碰.
第二节课师生的互动较多，在最初的作图过程中，充分让学生“动”，由学生自己发现问题，激发学生的思维火花，在学生“愤”的时候，教师“启”学生建立新旧知识间的联系，打开思维的闸门.在接下来的教学中，教师通过问题的深入，进一步激发了学生学习动机，在学生“悱”的时候，教师“发”学生，使得学生“顺藤摸瓜”，对所学新知识有了深入的理解.虽然正切函数图像和性质的获得共花费了30分钟，但是在接下来的练习中，学生明显反应比上一节课学生要好，处理问题比较顺畅.
这种先让学生尝试解答，让学生在原有知识的基础上，通过自己努力寻求问题的解决之道，在尝试过程中，不仅可以暴露学生思维和潜在的问题，又可以使学生自主完成内化过程，而教师只是在适当的时候进行恰当的“点拨”，这正是教师“满堂灌”“一言堂”所无法实现的.
从“双基”到三维目标，再到当下的“核心素养”，尽管育人的“参照”在不断变化，但教育规律和学生的成长规律却是不变的.苏格拉底曾经说过，教育不是灌输，而是点燃火焰.教学的重点不在于教，而在于学.教是为了更好地学，教不能代替学.“还学于生”是课程改革的重要理念.学习过程就是学生不断发现问题、分析问题和解决问题的过程.教学要尊重学生的学习规律，为学生在学习中担任主动角色铺平道路，促进学生的发展.通过自主探究、组织讨论、问题导向、优化策略、解决问题等一系列活动，学生始终处于主动的地位.这种“能动性”的、“学生自己发现知识”的、“相互合作讨论”的学习，加深了学生对所学内容的理解，发展了学生的探索能力、问题解决能力、认知能力，促进了学生严谨的思维品质的养成.而教师在整个教学过程中，应该做到“不愤不启，不悱不发”，这样才能提升学生的各项能力，与此同时，学生自主探索知识，体会发现知识的乐趣，活跃思维，热情高涨，真正提高了课堂效率.