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新的教学理念在撞击传统教学的教与学的方式,给传统的初中数学教学注入了新的活力。探究作为新课程理念下的学习方式,需要教师的有意引导,进而慢慢地内化为学生的自主行为,变被动接纳为主动获取。因此,我们在平时教学时要努力捕捉有利时机,诱使学生探究,让学生通过探究去领略成功的喜悦,感受失败的惨痛,获取真实的情感体验,逐步提高自己的综合素养。正是在这种理念的指导下,笔者在一道中考试题探究中,导演了一幕似有“意外之喜”的数学活动剧,使师生获得了双赢。
一、教学实录
(一)原始问题的提出以及解法探究
例(2008·武汉)如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,-1)做EF⊥x轴,垂足为F,将△AEF绕平面里的某点旋转180°后得△MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,求M、N的坐标。
■
生1:∵抛物线过A(-1,0),C(3,2)两点,代入原函数关系式,解得:y=-■x2+■x+2。
紧接请思考第2道小题,笔者给了学生五分钟的尝试和简单讨论,学生获得问题的解答如下。
生2:∵不难得到B(4,0)和D(0,2),直线y=kx-1经过(0,-1),设直线y=kx-1与x轴和直线y=2分别交于G(■,0)和H(■,2),则四边形BCHG的面积为■×2=■×2×■=4,∴k=■。
此解法在班级中引起了一阵骚动,有的同学表示惊奇,有的同学表示由衷的佩服……笔者认真关注着每一个学生的表情,惟独生3好象有那么一点点不屑,好象他有更好的办法解决这道题。笔者因势利导,自然提出:还有没有其他更好的方法呢?
(二)一题多解,抽象本质
我诚恳地看着生3,请他用另一种方法来解决这道问题。顿时,全体的学生把目光都转向他,期待着他的解答。
生3:二次函数y=-■x2+■x+2中,令x=0,得y=2,∴D(0,2);
令y=0,得-■x2+■x+2=0,∴x1=4,x2=-1,∴A(-1,0),B(4,0),又∵C(3,2),∴四边形ABCD为等腰梯形。
又∵直线y=kx-1将等腰梯形分成面积二等份的两个部分,
∴直线y=kx-1必过梯形中位线的中点(■,1),
∴■k-1=1,k=■。
生4:为什么一定要过中位线的中点,才能把等腰梯形分成面积相等的两个部分呢?
师:“是啊,为什么是这样的呢?”
生3:老师,各位同学,梯形面积=■×高=梯形的中位线×高,若直线y=kx-1把等腰梯形平分成面积相等两个部分,因为这两个部分都还是梯形,故只需要直线经过中位线的中点就可以平分了。
(三)顺势而发,探究升华
看到同学们沉浸在胜利的喜悦中,笔者深受感染,顺势提出问题:请同学继续思考一下,有没有其他更好的方法来证明过等腰梯形的中位线的中点的直线把它面积平分?在大家通过充分的讨论后,我再请同学汇报讨论的结果。
在讨论过程中,笔者不断在学生之间巡视、解疑,并提出一些建议。建议如下:同学们,我们学过平行四边形,它是一个中心对称图形,过它的对称中心的任何一条直线都可以把平行四边形平分成面积相等的两个部分。那我们能不能把等腰梯形的某一部分通过拆或补的方式转化成一个平行四边形呢?学生进入如火如荼的讨论之中。笔者认真观察每一组谈论的进展程度,之后请几位学生汇报他们的想法。
生5:如图3所示,把左边的阴影△AOD拼到右边来,这样就可以解释为什么过梯形的中位线的中点的直线把它平分了。
笔者看到很多同学提出了异议,但是我还是给予他一定的鼓励。
师:生5勇气可嘉,值得我们学习。不过,能说对,那就更好了。
生6:老师,各位同学,你看这样处理行不行?这样割补,把△AKM与△BTN按图4所示拼成一个矩形,由平行四边形的性质就能得到了上面的结论。
顿时,全班响起了热烈的掌声,同学们对生6投出了羡慕的眼神。笔者提出如下的问题?生6确实不错,他敢于动脑,问题也解决得非常好。正在这个时候,平时一向沉默的生7站了起来,提出了不同的证明方法。
生7:如图5,过腰BC的中点N作EF∥AD,与AB和DC的延长线分别交于F和E点。不难得到△CEN≌△BFN,四边形AFED为平行四边形,根据平行四边形的性质也能得到上面的结论。
■
(四)继续探究,分享成果
就在笔者准备探究第3小题时,生6提出了新的问题。
生6:老师,过等腰梯形的中位线的中点的任何直线不是都能把它的面积平分的,也就是说这样去分梯形,并且分成面积相等的两个部分应该是一个随机事件。如图6所示,被直线HB分割梯形上面部分的面积小于△BCH的面积=2×■MN=■,下面部分面积大些,因此这个结论有点局限性。
听后,笔者脸上露出会心的笑容。生6能这样探究出来,说明他真正开动了脑筋。本堂课也体现教师为主导,学生为主体,构建自主、探究和合作的学习方式。最后笔者还是让同学说说,怎样的一条过等腰梯形中位线的直线能把它平分呢?同学们很快沉寂下来,仔细思考如何组织语言,来描绘这条直线。
生8:过等腰梯形的中位线的中点且与上底相交的直线能把它面积平分。
同伴简单、精练的语言赢来了一片赞叹声,笔者的教学目标已经达到,这也让笔者体会到自主探究对学生的思维培养是多么的重要。
二、教学反思
(一)学生自主探究是课堂的生命线
《新课标》指出,数学教学活动应是教师组织下的师生、生生的多边活动。这堂课结束后,笔者感到很兴奋,很成功,主要师生之间在信息交流的过程中真正地实现了情感的交融,在情绪相互感染,思维火花相互碰撞中,师生共同完成的探究活动。在此过程中,始终体现了“教师为主导,学生为主体”的新课程教学理念。的确,从问题的提出,一题多解的思考空间是教师在课前所预设的,只等待着学生在自主探究中得到一个圆满的生成。果然,在笔者层层诱导下,学生的割补和拼凑既完成对问题的证明,也很好完成教师课前的预设。学生的质疑,更是锦上添花,它将问题引向深入,得出了问题的本质。
(二)改进教学方式,力促能力、思维的和谐发展
以人的发展为本,突出学生的发展是《新课标》的基本理念之一,而改进教学方式则是促进学生发展的关键。在课堂中,笔者用一题多解让学生自主探究,领悟本质特征;在归纳过程中,教师给予他们探究的空间,鼓励学生讨论;所有这些都是为学生的长远发展考虑。事实证明,这堂课中这种做法是成功的,它使枯燥的复习课变成生动活泼的探究课,学生通过自主探究和广泛的讨论,找到了问题的本质,加深了对一题多解的理解。而学生在此过程中,又同时体验到成功后的喜悦,发现了自己的潜力,增强了学习数学的信心,提高了学习数学的兴趣。
因此,我们要更新观念,用新课标的理念指导教学,变“填鸭式”地讲授为学生自主探究,使学生在教师精心预设下自主探究,让学生思维火花在学生探究中绽放,让学生的综合素养在体验成功中和谐发展。
一、教学实录
(一)原始问题的提出以及解法探究
例(2008·武汉)如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,-1)做EF⊥x轴,垂足为F,将△AEF绕平面里的某点旋转180°后得△MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,求M、N的坐标。
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生1:∵抛物线过A(-1,0),C(3,2)两点,代入原函数关系式,解得:y=-■x2+■x+2。
紧接请思考第2道小题,笔者给了学生五分钟的尝试和简单讨论,学生获得问题的解答如下。
生2:∵不难得到B(4,0)和D(0,2),直线y=kx-1经过(0,-1),设直线y=kx-1与x轴和直线y=2分别交于G(■,0)和H(■,2),则四边形BCHG的面积为■×2=■×2×■=4,∴k=■。
此解法在班级中引起了一阵骚动,有的同学表示惊奇,有的同学表示由衷的佩服……笔者认真关注着每一个学生的表情,惟独生3好象有那么一点点不屑,好象他有更好的办法解决这道题。笔者因势利导,自然提出:还有没有其他更好的方法呢?
(二)一题多解,抽象本质
我诚恳地看着生3,请他用另一种方法来解决这道问题。顿时,全体的学生把目光都转向他,期待着他的解答。
生3:二次函数y=-■x2+■x+2中,令x=0,得y=2,∴D(0,2);
令y=0,得-■x2+■x+2=0,∴x1=4,x2=-1,∴A(-1,0),B(4,0),又∵C(3,2),∴四边形ABCD为等腰梯形。
又∵直线y=kx-1将等腰梯形分成面积二等份的两个部分,
∴直线y=kx-1必过梯形中位线的中点(■,1),
∴■k-1=1,k=■。
生4:为什么一定要过中位线的中点,才能把等腰梯形分成面积相等的两个部分呢?
师:“是啊,为什么是这样的呢?”
生3:老师,各位同学,梯形面积=■×高=梯形的中位线×高,若直线y=kx-1把等腰梯形平分成面积相等两个部分,因为这两个部分都还是梯形,故只需要直线经过中位线的中点就可以平分了。
(三)顺势而发,探究升华
看到同学们沉浸在胜利的喜悦中,笔者深受感染,顺势提出问题:请同学继续思考一下,有没有其他更好的方法来证明过等腰梯形的中位线的中点的直线把它面积平分?在大家通过充分的讨论后,我再请同学汇报讨论的结果。
在讨论过程中,笔者不断在学生之间巡视、解疑,并提出一些建议。建议如下:同学们,我们学过平行四边形,它是一个中心对称图形,过它的对称中心的任何一条直线都可以把平行四边形平分成面积相等的两个部分。那我们能不能把等腰梯形的某一部分通过拆或补的方式转化成一个平行四边形呢?学生进入如火如荼的讨论之中。笔者认真观察每一组谈论的进展程度,之后请几位学生汇报他们的想法。
生5:如图3所示,把左边的阴影△AOD拼到右边来,这样就可以解释为什么过梯形的中位线的中点的直线把它平分了。
笔者看到很多同学提出了异议,但是我还是给予他一定的鼓励。
师:生5勇气可嘉,值得我们学习。不过,能说对,那就更好了。
生6:老师,各位同学,你看这样处理行不行?这样割补,把△AKM与△BTN按图4所示拼成一个矩形,由平行四边形的性质就能得到了上面的结论。
顿时,全班响起了热烈的掌声,同学们对生6投出了羡慕的眼神。笔者提出如下的问题?生6确实不错,他敢于动脑,问题也解决得非常好。正在这个时候,平时一向沉默的生7站了起来,提出了不同的证明方法。
生7:如图5,过腰BC的中点N作EF∥AD,与AB和DC的延长线分别交于F和E点。不难得到△CEN≌△BFN,四边形AFED为平行四边形,根据平行四边形的性质也能得到上面的结论。
■
(四)继续探究,分享成果
就在笔者准备探究第3小题时,生6提出了新的问题。
生6:老师,过等腰梯形的中位线的中点的任何直线不是都能把它的面积平分的,也就是说这样去分梯形,并且分成面积相等的两个部分应该是一个随机事件。如图6所示,被直线HB分割梯形上面部分的面积小于△BCH的面积=2×■MN=■,下面部分面积大些,因此这个结论有点局限性。
听后,笔者脸上露出会心的笑容。生6能这样探究出来,说明他真正开动了脑筋。本堂课也体现教师为主导,学生为主体,构建自主、探究和合作的学习方式。最后笔者还是让同学说说,怎样的一条过等腰梯形中位线的直线能把它平分呢?同学们很快沉寂下来,仔细思考如何组织语言,来描绘这条直线。
生8:过等腰梯形的中位线的中点且与上底相交的直线能把它面积平分。
同伴简单、精练的语言赢来了一片赞叹声,笔者的教学目标已经达到,这也让笔者体会到自主探究对学生的思维培养是多么的重要。
二、教学反思
(一)学生自主探究是课堂的生命线
《新课标》指出,数学教学活动应是教师组织下的师生、生生的多边活动。这堂课结束后,笔者感到很兴奋,很成功,主要师生之间在信息交流的过程中真正地实现了情感的交融,在情绪相互感染,思维火花相互碰撞中,师生共同完成的探究活动。在此过程中,始终体现了“教师为主导,学生为主体”的新课程教学理念。的确,从问题的提出,一题多解的思考空间是教师在课前所预设的,只等待着学生在自主探究中得到一个圆满的生成。果然,在笔者层层诱导下,学生的割补和拼凑既完成对问题的证明,也很好完成教师课前的预设。学生的质疑,更是锦上添花,它将问题引向深入,得出了问题的本质。
(二)改进教学方式,力促能力、思维的和谐发展
以人的发展为本,突出学生的发展是《新课标》的基本理念之一,而改进教学方式则是促进学生发展的关键。在课堂中,笔者用一题多解让学生自主探究,领悟本质特征;在归纳过程中,教师给予他们探究的空间,鼓励学生讨论;所有这些都是为学生的长远发展考虑。事实证明,这堂课中这种做法是成功的,它使枯燥的复习课变成生动活泼的探究课,学生通过自主探究和广泛的讨论,找到了问题的本质,加深了对一题多解的理解。而学生在此过程中,又同时体验到成功后的喜悦,发现了自己的潜力,增强了学习数学的信心,提高了学习数学的兴趣。
因此,我们要更新观念,用新课标的理念指导教学,变“填鸭式”地讲授为学生自主探究,使学生在教师精心预设下自主探究,让学生思维火花在学生探究中绽放,让学生的综合素养在体验成功中和谐发展。