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在初三毕业班数学复习课中,如何真正做到精讲精练,提高复习效率,是每位数学教师都要面对的现实问题。从典型的课本例题、习题入手,通过一题多解、触类旁通;或是一题多变,举一反三,进行有效的变式教学,既是我国数学教学的一个优良传统,也是新课程背景下引发学生自主、合作、探究的重要途径,更是实施“有效教学”的重要途径。
下面以“浙教版八年级上册第9页例2”的的实践为例,谈谈个人有一些粗浅做法:
如图1所示,∠A+∠C=∠AEC,判断AB与CD是否平行,并说明理由。
1、分析问题:
本题是已知三个角的关系,要判断两条直线是否平行。那么平行线的判定方法有哪些方法呢?
方法1:同位角相等,两直线平行;
方法2:内错角相等,两直线平行;
方法3:同旁内角互补,两直线平行;
方法4:在同一平面内,垂直于同一直
线的两直线平行;
方法5:平行于同一直线的两直线平行。
基于以上方法,只要构造出符合上述判定方法条件,即可证明,于是得到如下解法:
2、解决问题:
解:(课本解法)AB∥CD。其理由如下:
如图2,延长CE,交AB于点F,则∠AEC=∠A+∠AFC。
∵∠C+∠A=∠AEC
∴∠C+∠A=∠A+∠AFC
∴∠C=∠AFC
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
除了以上解法,还有其它解法吗?
3、探究问题:
3.1解法探究:
解法二:连结AC,则∠1+∠2+∠AEC=180°(如图3)
∵∠AEC=∠DCE+∠BAE
∴∠1+∠2+∠DCE+∠BAE=180°
即∠DCA+∠BAC=180°
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
解法三:过点E作EF∥AB(如图4),则∠1=∠A,
∵∠A+∠C=∠AEC=∠1+∠2
∴∠2=∠C
∴EF∥CD
∴AB∥CD(平行于同一直线的两直线平行)
解法四:过E点作EF⊥AB于F点,并延长FE
交CD于G点(如图5)。
∵EF⊥AB ∴∠EFA=90°=∠A+∠1
∵∠1+∠AEC+∠2=180°,且∠AEC=∠A+∠C
∴∠1+∠A+∠C+∠2=180°
∴∠C+∠2=90°=∠CGE ∴EG⊥CD
∵FG⊥AB
∴AB∥CD(在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行)
解法五:过点C作CF∥EA交BA的延长线于F点(如图6)。
则有∠F=∠EAB,∠FCE+∠AEC=180°
∵∠AEC=∠EAB+∠ECD
∴∠FCE+∠ECD+∠EAB=180°
∴∠FCD+∠EAB=180°
∵∠EAB=∠F ∴∠F+∠FCD=180°
∴CD∥AB(同旁内角互补,两直线平行)
3.2条件探究:
若把例题中的条件与结论互换,命题还成立吗?
如图(1),若AB∥CD,求证:∠AEC=∠A+∠C。
命题仍然成立,仿上任何一种解法皆可证明。
3.3结论探究(1):
若把例题中的条件改变(改变点E的位置),命题还成立吗?如果不成立,又可得到什么结论?
如图7,直线AB∥CD,连结AC,直线AB、CD及AC把平面分成①②③④⑤⑥六部分,规定:线上各点不属于任何部分,当动点E落在某个部分时,连结AE、CE,构成∠BAE,∠AEC,∠ECD三个角(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角),则这三个角有什么关系呢?
结论1:当动点E在第①部分时,有:∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°;
简证:如图8,过点E作EF∥AB,则EF∥CD,于是有∠1+∠A=180°,∠2+∠C=180°,因此∠A+∠1+∠2+∠C=360°,即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°。
结论2:当动点E在第②部分时,有:∠AEC=∠BAE+∠DCE;(即课本例题的结论)
结论3:当动点E在第③部分时,有:∠AEC=∠EAB-∠ECD;
简证:如图9,令EA与CD的交点为F点,则∠AEC=∠EFD-∠ECD,又根据AB∥CD可得∠EFD=∠EAB,故∠AEC=∠EAB-∠ECD。
结论4:当动点E在第④部分时,有:∠AEC=∠ECD-∠EAB;
(仿上可证)
结论5:当动点E在第⑤部分时,有:∠AEC=∠EAB-∠ECD;
(仿上可证)
结论6:当动点E在第⑥部分时,有:∠AEC=∠ECD-∠EAB;
(仿上可证)
这样动点E的无数个位置就转化为有限个位置,为以后对圆周角定理的证明做了很好的铺垫。
3.4结论探究:(2)
如图10,当直线AB∥CD时有∠1+∠2=∠DFB-∠DEB;
如图11,当直线AB∥CD时有∠1+∠3=∠2+∠4;
……
4.几点启示
本文从一道课本例题入手,探究其多种解法,体现了源于课本而又不拘泥于课本的考纲精神,使学生在创新探究中享受快乐,这样学生的兴趣更大、热情更高。教师要立善于捕捉学生思维的闪光点,鼓励更多的学生动脑、动手、动口,大胆提问,积极参与讨论,这是开展课堂探究性学习成功的关键。
要重视探究的过程,掌握一些探究的方法,培养学生的创新思维能力。在开展课堂探究性学习的过程中,一题多解、一题多变是数学创新教学的重要途径,剖析思路、探讨解法是初三教学的主体内容;在平时的教学中,如果我们能选择一些入口较宽的课本例(习)题,深究教材,有针对性地引导学生通过观察、变更、类比、联想等方式,进行一题多解的训练,在解题中求简,在修正中优化,则可使学生在锤炼解题思想的同时,使能力的提高落到实处。
课本的例题和习题是教材的重要组成部分,是数学知识的主要载体。吃透课本上的例题、习题,才能有利于全面、系统地掌握数学基础知识,熟练掌握数学基本方法,以不变应万变。新教材中不少构思新颖,方法灵活的例(习)题,且这些例(习)题本身还具备易推广、易变形,可引申易发散的特点,对这类堪称“精品”的例(习)题的认识与使用,如果只停留在学生会做这一层上未免有些遗憾,如果能与学生一起进行探究性学习,对开拓学生的解题思路,培养学生的发散性思维,倡导探究性学习的精神都不无裨益。因此在复习时我们教师要舍得花大力气研究教材中的这一类典型的例(习)题,使教材的功能得到充分的挖掘:要学会多方位、多角度审视这些例题习题,从中进一步清晰地掌握基础知识,重温思维过程,巩固各类解法,感悟数学思想方法。
教师角色的转变。探究性学习从知识学习向体验学习、发现学习转变,学生在探究过程中所产生的疑惑或发现的问题可能教师在课前从未预及,这就要求我们教师要有扎实的数学专业知识,及时发现其中有价值的问题,转变角色,有针对性地提供给学生一些解决问题的思路和建议,真正成为学生学习上的良师益友。
提高数学教学质量不能靠增加课时,要靠提高每堂课的效益,减少无效劳动造成的时间浪费。要想提高课堂效益,必须认真钻研新课程标准、教学要求、教材内容,对必学内容、选学内容、基本要求、较高要求、每年的变化都要心中有数,都必须钻研清楚,才能制定适当的标高,括所有的知识点,才能把握好分寸,不至太浅或太深,才能纵横联系,前呼后应。只有这样才能减轻学生负担,提高了教学的效率。
下面以“浙教版八年级上册第9页例2”的的实践为例,谈谈个人有一些粗浅做法:
如图1所示,∠A+∠C=∠AEC,判断AB与CD是否平行,并说明理由。
1、分析问题:
本题是已知三个角的关系,要判断两条直线是否平行。那么平行线的判定方法有哪些方法呢?
方法1:同位角相等,两直线平行;
方法2:内错角相等,两直线平行;
方法3:同旁内角互补,两直线平行;
方法4:在同一平面内,垂直于同一直
线的两直线平行;
方法5:平行于同一直线的两直线平行。
基于以上方法,只要构造出符合上述判定方法条件,即可证明,于是得到如下解法:
2、解决问题:
解:(课本解法)AB∥CD。其理由如下:
如图2,延长CE,交AB于点F,则∠AEC=∠A+∠AFC。
∵∠C+∠A=∠AEC
∴∠C+∠A=∠A+∠AFC
∴∠C=∠AFC
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
除了以上解法,还有其它解法吗?
3、探究问题:
3.1解法探究:
解法二:连结AC,则∠1+∠2+∠AEC=180°(如图3)
∵∠AEC=∠DCE+∠BAE
∴∠1+∠2+∠DCE+∠BAE=180°
即∠DCA+∠BAC=180°
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
解法三:过点E作EF∥AB(如图4),则∠1=∠A,
∵∠A+∠C=∠AEC=∠1+∠2
∴∠2=∠C
∴EF∥CD
∴AB∥CD(平行于同一直线的两直线平行)
解法四:过E点作EF⊥AB于F点,并延长FE
交CD于G点(如图5)。
∵EF⊥AB ∴∠EFA=90°=∠A+∠1
∵∠1+∠AEC+∠2=180°,且∠AEC=∠A+∠C
∴∠1+∠A+∠C+∠2=180°
∴∠C+∠2=90°=∠CGE ∴EG⊥CD
∵FG⊥AB
∴AB∥CD(在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行)
解法五:过点C作CF∥EA交BA的延长线于F点(如图6)。
则有∠F=∠EAB,∠FCE+∠AEC=180°
∵∠AEC=∠EAB+∠ECD
∴∠FCE+∠ECD+∠EAB=180°
∴∠FCD+∠EAB=180°
∵∠EAB=∠F ∴∠F+∠FCD=180°
∴CD∥AB(同旁内角互补,两直线平行)
3.2条件探究:
若把例题中的条件与结论互换,命题还成立吗?
如图(1),若AB∥CD,求证:∠AEC=∠A+∠C。
命题仍然成立,仿上任何一种解法皆可证明。
3.3结论探究(1):
若把例题中的条件改变(改变点E的位置),命题还成立吗?如果不成立,又可得到什么结论?
如图7,直线AB∥CD,连结AC,直线AB、CD及AC把平面分成①②③④⑤⑥六部分,规定:线上各点不属于任何部分,当动点E落在某个部分时,连结AE、CE,构成∠BAE,∠AEC,∠ECD三个角(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角),则这三个角有什么关系呢?
结论1:当动点E在第①部分时,有:∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°;
简证:如图8,过点E作EF∥AB,则EF∥CD,于是有∠1+∠A=180°,∠2+∠C=180°,因此∠A+∠1+∠2+∠C=360°,即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°。
结论2:当动点E在第②部分时,有:∠AEC=∠BAE+∠DCE;(即课本例题的结论)
结论3:当动点E在第③部分时,有:∠AEC=∠EAB-∠ECD;
简证:如图9,令EA与CD的交点为F点,则∠AEC=∠EFD-∠ECD,又根据AB∥CD可得∠EFD=∠EAB,故∠AEC=∠EAB-∠ECD。
结论4:当动点E在第④部分时,有:∠AEC=∠ECD-∠EAB;
(仿上可证)
结论5:当动点E在第⑤部分时,有:∠AEC=∠EAB-∠ECD;
(仿上可证)
结论6:当动点E在第⑥部分时,有:∠AEC=∠ECD-∠EAB;
(仿上可证)
这样动点E的无数个位置就转化为有限个位置,为以后对圆周角定理的证明做了很好的铺垫。
3.4结论探究:(2)
如图10,当直线AB∥CD时有∠1+∠2=∠DFB-∠DEB;
如图11,当直线AB∥CD时有∠1+∠3=∠2+∠4;
……
4.几点启示
本文从一道课本例题入手,探究其多种解法,体现了源于课本而又不拘泥于课本的考纲精神,使学生在创新探究中享受快乐,这样学生的兴趣更大、热情更高。教师要立善于捕捉学生思维的闪光点,鼓励更多的学生动脑、动手、动口,大胆提问,积极参与讨论,这是开展课堂探究性学习成功的关键。
要重视探究的过程,掌握一些探究的方法,培养学生的创新思维能力。在开展课堂探究性学习的过程中,一题多解、一题多变是数学创新教学的重要途径,剖析思路、探讨解法是初三教学的主体内容;在平时的教学中,如果我们能选择一些入口较宽的课本例(习)题,深究教材,有针对性地引导学生通过观察、变更、类比、联想等方式,进行一题多解的训练,在解题中求简,在修正中优化,则可使学生在锤炼解题思想的同时,使能力的提高落到实处。
课本的例题和习题是教材的重要组成部分,是数学知识的主要载体。吃透课本上的例题、习题,才能有利于全面、系统地掌握数学基础知识,熟练掌握数学基本方法,以不变应万变。新教材中不少构思新颖,方法灵活的例(习)题,且这些例(习)题本身还具备易推广、易变形,可引申易发散的特点,对这类堪称“精品”的例(习)题的认识与使用,如果只停留在学生会做这一层上未免有些遗憾,如果能与学生一起进行探究性学习,对开拓学生的解题思路,培养学生的发散性思维,倡导探究性学习的精神都不无裨益。因此在复习时我们教师要舍得花大力气研究教材中的这一类典型的例(习)题,使教材的功能得到充分的挖掘:要学会多方位、多角度审视这些例题习题,从中进一步清晰地掌握基础知识,重温思维过程,巩固各类解法,感悟数学思想方法。
教师角色的转变。探究性学习从知识学习向体验学习、发现学习转变,学生在探究过程中所产生的疑惑或发现的问题可能教师在课前从未预及,这就要求我们教师要有扎实的数学专业知识,及时发现其中有价值的问题,转变角色,有针对性地提供给学生一些解决问题的思路和建议,真正成为学生学习上的良师益友。
提高数学教学质量不能靠增加课时,要靠提高每堂课的效益,减少无效劳动造成的时间浪费。要想提高课堂效益,必须认真钻研新课程标准、教学要求、教材内容,对必学内容、选学内容、基本要求、较高要求、每年的变化都要心中有数,都必须钻研清楚,才能制定适当的标高,括所有的知识点,才能把握好分寸,不至太浅或太深,才能纵横联系,前呼后应。只有这样才能减轻学生负担,提高了教学的效率。