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[摘 要]周长和面积是平面封闭图形的重要量度。就求阴影部分的周长错误率居高不下这一现象进行了学生访谈、错因分析，发现是“错”不是“误”，从而制定了“反宾为主，记号化，横向联系，触摸分解”等教学策略，努力促进学生知识的正向迁移，更有效和充分地培养学生的数学思维。
[关键词]周长和面积 碰撞 思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-014
周长和面积是平面几何中的两个基本概念，如果线指的是图形的周长，面指的是图形的面积，那线与面之间不但有和谐的音符，也有无数多的激情碰撞，而线和面的碰撞则是学生几何作业错误中永恒的主题。
一、碰撞追溯
在三年级长方形和正方形的面积的知识点出现后，线和面发生第一次碰撞：一是面积单位和周长单位之间的碰撞，究其原因，是学生思维的惰性和思维的单线性造成的，随着年龄的增长，这种错误将慢慢消失；二是正方形的面积计算公式和周长计算公式之间的碰撞，学生会经常用正方形的计算周长公式来计算正方形的面积，究其原因，就是正方形的周长公式比面积公式更简单，信息量少，更容易在记忆里保持和提取。在四年级平行四边形、三角形、梯形这些规则图形的面积的知识点出现后，周长和面积的计算公式、单位又发生了更激烈的碰撞。
二、碰撞延续
在六年级上学期，学生学习了圆的周长和圆的面积后，在计算阴影部分的面积和周长时，线和面的碰撞又让错误率居高不下。于是我把学生在练习中的错误进行了整理。
学生练习（求阴影部分周长）错误示例整理表
以上是求阴影部分周长的学生错误摘录（全班45名学生）。在统计以上这些错误时发现，求阴影部分的面积除了计算上的错误，没出现方法上的错误，而计算阴影部分的周长，错误一直在延续，而且错误率居高不下。曾经认为是“误”不是“错”，这时才认清学生是“错”不是“误”。
三、碰撞分析
既然是“错”不是“误”，于是我决定仔细地询问学生，研究学生的错因。通过询问、调查和归类，发现学生的“错”有下列三种“因”。
1.思维的定式
思维定式是人们按照一种固定的思路和习惯性方法来考虑、分析和解决问题的一种心理现象。思维定式既有积极的一面，也有消极的一面。积极的一面是它可以帮助学生消化所学的知识和积累的经验，从而正确有效地解决同一类问题。消极的一面是学生往往受其影响，过分依赖过去的经验，只注意知识的记忆，而忽视对问题中各种量之间相互关系的分析和研究，在解决问题时，思路单一，极大地妨碍了发散思维的发展。
在求解图4的周长时，有学生列出了算式：
师：请说说什么是周长？
生：封闭图形一周的长度。
师：请摸出这个阴影部分的周长。
（学生正确地摸出这个阴影部分的周长）
师：这里周长应该怎么求？
生：3.14×8× 3.14×4× 3.14×4× 16。
师：为什么这么求，你不是摸过了吗？
生：我是用“两个小的半圆的周长 一个大的半圆的周长=阴影部分的周长”来求的。
因为重视这次的“错”，我听懂了这个学生的解释。在求图1的周长时，曾经列出算式“50×4 3.14×50”，因此我一直认为学生是因为看错题目才解答错误的，以教师的思维代替学生的思维，才会造成一错再错。
我们曾经强调过如图5的图形的周长：一个半圆的周长=圆周长的一半 一条直径。
于是，学生就把阴影部分的周长看成是三个半圆的周长，而每个半圆的周长都是用圆周长的一半加上一条直径，那么三个半圆的周长就是。这种先入为主的思维，使学生在分析问题时只相信自己的感觉和经验，把量与量之间的关系看成是一成不变的，致使解题时思维僵化。
2.思维的单线性
思维的单线性是指直线的、单向的、单维的和缺乏变化的思维方式。
在求解图4的周长时，有6个学生说大脑一片空白，经过谈话发现，学生出现这种情况有两种可能：
（1）场依存性
当代美国心理学家赫尔曼.威金特（HermanWitkin）曾对空军飞行员靠什么线索来确定自己是否坐直的问题设计了一个实验，结果得出：有些人知觉时较多地受他所看到的环境信息的影响；有些人则较多地受来自身体内部的线索的影响。他把受环境因素影响大者称之为场依存性，把不受或很少受环境因素影响者称之为场独立性。图6左边是个简单的几何图形，要被试者从右边这个复杂图形中辨认出左边这一简单图形。有些人几乎立即就能指出这个图形，不会被周围的线条分散精力，而有些人则需要花费较长的时间才能分辨出来。这说明，人们在知觉过程中确实具有场依存性和场独立性的差异。
（2）数学语言互相转化的能力弱
数学语言是一种有别于自然语言的学科专业化语言，是人类数学思维长期发展过程中形成的特殊表达形式。它是以文字（包括数字与字母）、符号及图形为词汇，数学法则、定理、公式为语法法则的一种语言，一般有三种形式：表述（文字）语言、符号语言、图形语言。所以学习数学语言必须具备一种语言形式转化到另一种语言形式的能力：文字语言符号化和图示化，图形语言文字化。
求阴影部分的周长和面积是用图形语言来表述问题，形象、直观、一目了然，但一部分学生不善于将图形语言描述的问题用符号和文字表达出来，不能从复杂的图形中抽象出阴影部分的周长，既然找不到阴影部分的周长，完成题目也就无从下手，只能是空白。
3.思维的相似性 求阴影部分的面积和周长计算方法之间的碰撞，其实就是思维的相似性碰撞。数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映，表现为几何相似、关系相似、结构相似与实质相似，还有静态相似与动态相似等。对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提高思维的深刻性，发展思维的创造性。
下面是对解答图2发生错误（1）的学生的访谈。
师：阴影部分的周长在哪，能摸一摸吗？
（学生演示正确）
师：阴影部分的周长由几段组成，其中一段怎么求？
生：3.14×6×。
师：那么这样的4段怎样求？
生：噢，我明白了。
师：能说说你为什么会犯这样的错误吗？
生：我用求阴影部分面积的方法来求周长了。
（1）概念模糊
我在询问这部分学生错因的时候，他们的目光总是躲躲闪闪，回答问题也是犹犹豫豫，因为他们需要同学的提醒。原因是教师教学时的某些习惯做法，比如，有意无意地突出封闭图形的面（经常贴出彩色纸剪的图形），忽略封闭图形的边（很少有教师勾勒彩色图形的边），也会对学生头脑中的图形概念产生影响。以图7这个典型的题目为例。
学生在摸这个阴影部分的周长时非常紧张，无从下手，需要老师和同学们的提醒，至于怎么求解更是摸不着头脑。
（2）概念“同化”
在做题时，学生总是会用一个概念去“同化”另一个概念，而不是自觉地去“分化”。这类学生的解题都有一个共同的特点，都是先计算阴影部分的面积，再计算阴影部分的周长，在计算阴影部分的周长时习惯性用求面积的方法。阴影部分的面积和周长放在一起求时，相似因素造成的强刺激，也给相关概念的“分化”带来困难。
这类学生只要再让他读两遍题目，他就知道错在哪里了。
四、碰撞感悟
对学生的错因进行了访谈、分析、归类，得出这些错不是“误”造成的，而是“错”造成的。“误”是指失误而造成的错，而“错”是指学习者构造了自己特有的概念与程式造成的错。是因为“错”造成的，所以一直错绝非偶然，而是必然。针对此现象，我和其他老师一起制定了以下教学策略。
1.回到教学起点，掌握知识本质
这些经常发生周长和面积“碰撞”的学生都有着共同的特点：周长和面积的意义不能区分清楚，至少是没能转化为图式表征来加以区分周长和面积的意义。
（1）激活辨析
首先，激活原有概念的内涵，让错误的学生通过回忆说出周长和面积的概念：周长是封闭图形一周的长度，拉开是一条线段；面积是物体的表面和平面图形的大小，是一个面。其次，感受概念的外延，让学生在纸上画出一个正方形，并用红笔描出这个正方形的周长，把这个用红笔涂的线拉开也就是一条线段，同样也画在纸上，并标出四段；用黑笔涂出这个正方形的面积。激活是对概念知识的重新感知，是让学生把周长和面积的文字概念转化为图式表征来加以区分。最后通过比较和辨析的练习让学生对信息进行加工和内化，这样就顺应了儿童认知发展由外部动作到内部思维的规律。
曹培英老师用以下的操作对图形的周长和面积进行比较和辨析：
（1）周长相等面积不等的图形
（2）周长不等面积相等的图形
如此，不妨指导学生在计算组合图形的周长与面积时，采取画图与列式相结合的方式，“画一条，算一条”（周长），“涂一块，算一块”（面积），以此正确区分周长与面积。
（2）记号化
图形语言虽然形象，但识图和画图是学生的难点。为此，有必要将图形语言转化为文字语言和符号语言，以加强学生对平面几何问题的理解。日本福井大学柳本成一教授在中学几何演绎推理证明教学方面有一些新的尝试，他主要研究在课堂教学中，培养学生运用图形记号、数学符号语言和逻辑推理方法表达几何中的演绎推理过程。他的基本思想是改变学生纯粹模仿教科书上解题方法的情况，带学生进入几何思维的世界。他的做法是在原几何图形中标出线段相等、角度相等等记号，这些带有记号的几何图形就是“信息图形”，即“记号化”的几何图形，然后将信息图形转化为“符号语言”，即“符号化”的数学表达。柳本教授的这一数学思想同样也适合于小学阶段的解决几何图形问题的教学。例如：
让学生先从原来复杂的图形中抽象出简单的周长图形，用红笔描出阴影部分的周长，即把图形的周长“记号化”。如果还是觉得模糊，再用“文字语言”来表达，最后列出正确的算式。这样就完成了把图形语言正确地转化成符号语言的过程，自然不会受面积的干扰。
2.回到思维原点，激活主体思维
解题错误的学生都有一个共同点，那就是思维停滞或思维受阻，学过的东西不能灵活运用，需要旁人的提醒。即使暂时会了，那也是思维的模仿，或者是暂时的记忆。
（1））反宾为主
对一个问题能根据情况的变化而变化，也就是说，能根据所发现的事实，及时修正原来的想法，这就是思维的灵活性。求阴影部分的周长，学生只要看到半圆的周长就想到用“圆周长的一半 一条直径”，这样的思维定式阻碍了学生解题的思路，这时，教师应鼓励学生把阴影部分的周长抽象为图11，并画下来。这样就让学生注意了量的相对性，打破了量的绝对性界限。这种反宾为主的思想，既消除了“先入为主”带来的负迁移，又可以化繁为简，降低解题的难度。
（2）横向联系
具有场依存性的学生受环境因素影响较大，不能将一个模式（或图式）分解成许多部分，思想单一。经常给具有场依存性的学生进行辨认镶嵌图形的游戏，也有一定的教学效果。例如：从图12中找出图中右上角这个简单图形。
“他山之石，可以攻玉”。利用思维的发散，教师可以经常给学生玩这样的游戏，借助知识间的横向联系，培养学生的发散性思维。学数学知识，解数学题目，不仅要用到数学的专业知识，有时还要借助于语文、音乐、美术等方面的知识、方法、技巧，这就是知识的“横向联系”。
（3）触摸分解
“摸”，字典中的解释：用手接触或轻轻抚摸。在知觉学习中，应提倡发挥多种知觉功能的作用。有实验表明，智力落后的儿童难以辨别较复杂的物品，但是把这些物品的某些部分切割下来，让他触摸以后，该儿童便能掌握较复杂的辨别方法。
触摸也是读懂图形的一种有效手段，在完成图形的练习中，“摸一摸”可以让学生对图形有一定的感知，对所要解决的问题有一定的认识，同时能促进思维的联动。教师可以提醒学生“能用手摸出这个阴影部分的周长吗？”当学生用手摸出这个阴影部分的周长之后，可提示“这个阴影部分的周长由几部分组成，将一个复杂图形进行分解，例如图4可以分解成一个大圆周长的一半和两个小圆周长的一半。每一段分别怎么求……”
解题难免会出错，但不要把学生的错误总认为是偶然，其实学生发生的每一个错误都是必然。教学中教师应及时地发现并捕捉学生的这些错误，开展深入、细致的研究，让学生认错、知错、改错，因为教师知错是改错的前提，学生知错是重新拥有正确认识的开始，是一个内容丰富的认知过程。
（责编 童 夏）
[关键词]周长和面积 碰撞 思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-014
周长和面积是平面几何中的两个基本概念，如果线指的是图形的周长，面指的是图形的面积，那线与面之间不但有和谐的音符，也有无数多的激情碰撞，而线和面的碰撞则是学生几何作业错误中永恒的主题。
一、碰撞追溯
在三年级长方形和正方形的面积的知识点出现后，线和面发生第一次碰撞：一是面积单位和周长单位之间的碰撞，究其原因，是学生思维的惰性和思维的单线性造成的，随着年龄的增长，这种错误将慢慢消失；二是正方形的面积计算公式和周长计算公式之间的碰撞，学生会经常用正方形的计算周长公式来计算正方形的面积，究其原因，就是正方形的周长公式比面积公式更简单，信息量少，更容易在记忆里保持和提取。在四年级平行四边形、三角形、梯形这些规则图形的面积的知识点出现后，周长和面积的计算公式、单位又发生了更激烈的碰撞。
二、碰撞延续
在六年级上学期，学生学习了圆的周长和圆的面积后，在计算阴影部分的面积和周长时，线和面的碰撞又让错误率居高不下。于是我把学生在练习中的错误进行了整理。
学生练习（求阴影部分周长）错误示例整理表
以上是求阴影部分周长的学生错误摘录（全班45名学生）。在统计以上这些错误时发现，求阴影部分的面积除了计算上的错误，没出现方法上的错误，而计算阴影部分的周长，错误一直在延续，而且错误率居高不下。曾经认为是“误”不是“错”，这时才认清学生是“错”不是“误”。
三、碰撞分析
既然是“错”不是“误”，于是我决定仔细地询问学生，研究学生的错因。通过询问、调查和归类，发现学生的“错”有下列三种“因”。
1.思维的定式
思维定式是人们按照一种固定的思路和习惯性方法来考虑、分析和解决问题的一种心理现象。思维定式既有积极的一面，也有消极的一面。积极的一面是它可以帮助学生消化所学的知识和积累的经验，从而正确有效地解决同一类问题。消极的一面是学生往往受其影响，过分依赖过去的经验，只注意知识的记忆，而忽视对问题中各种量之间相互关系的分析和研究，在解决问题时，思路单一，极大地妨碍了发散思维的发展。
在求解图4的周长时，有学生列出了算式：
师：请说说什么是周长？
生：封闭图形一周的长度。
师：请摸出这个阴影部分的周长。
（学生正确地摸出这个阴影部分的周长）
师：这里周长应该怎么求？
生：3.14×8× 3.14×4× 3.14×4× 16。
师：为什么这么求，你不是摸过了吗？
生：我是用“两个小的半圆的周长 一个大的半圆的周长=阴影部分的周长”来求的。
因为重视这次的“错”，我听懂了这个学生的解释。在求图1的周长时，曾经列出算式“50×4 3.14×50”，因此我一直认为学生是因为看错题目才解答错误的，以教师的思维代替学生的思维，才会造成一错再错。
我们曾经强调过如图5的图形的周长：一个半圆的周长=圆周长的一半 一条直径。
于是，学生就把阴影部分的周长看成是三个半圆的周长，而每个半圆的周长都是用圆周长的一半加上一条直径，那么三个半圆的周长就是。这种先入为主的思维，使学生在分析问题时只相信自己的感觉和经验，把量与量之间的关系看成是一成不变的，致使解题时思维僵化。
2.思维的单线性
思维的单线性是指直线的、单向的、单维的和缺乏变化的思维方式。
在求解图4的周长时，有6个学生说大脑一片空白，经过谈话发现，学生出现这种情况有两种可能：
（1）场依存性
当代美国心理学家赫尔曼.威金特（HermanWitkin）曾对空军飞行员靠什么线索来确定自己是否坐直的问题设计了一个实验，结果得出：有些人知觉时较多地受他所看到的环境信息的影响；有些人则较多地受来自身体内部的线索的影响。他把受环境因素影响大者称之为场依存性，把不受或很少受环境因素影响者称之为场独立性。图6左边是个简单的几何图形，要被试者从右边这个复杂图形中辨认出左边这一简单图形。有些人几乎立即就能指出这个图形，不会被周围的线条分散精力，而有些人则需要花费较长的时间才能分辨出来。这说明，人们在知觉过程中确实具有场依存性和场独立性的差异。
（2）数学语言互相转化的能力弱
数学语言是一种有别于自然语言的学科专业化语言，是人类数学思维长期发展过程中形成的特殊表达形式。它是以文字（包括数字与字母）、符号及图形为词汇，数学法则、定理、公式为语法法则的一种语言，一般有三种形式：表述（文字）语言、符号语言、图形语言。所以学习数学语言必须具备一种语言形式转化到另一种语言形式的能力：文字语言符号化和图示化，图形语言文字化。
求阴影部分的周长和面积是用图形语言来表述问题，形象、直观、一目了然，但一部分学生不善于将图形语言描述的问题用符号和文字表达出来，不能从复杂的图形中抽象出阴影部分的周长，既然找不到阴影部分的周长，完成题目也就无从下手，只能是空白。
3.思维的相似性 求阴影部分的面积和周长计算方法之间的碰撞，其实就是思维的相似性碰撞。数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映，表现为几何相似、关系相似、结构相似与实质相似，还有静态相似与动态相似等。对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提高思维的深刻性，发展思维的创造性。
下面是对解答图2发生错误（1）的学生的访谈。
师：阴影部分的周长在哪，能摸一摸吗？
（学生演示正确）
师：阴影部分的周长由几段组成，其中一段怎么求？
生：3.14×6×。
师：那么这样的4段怎样求？
生：噢，我明白了。
师：能说说你为什么会犯这样的错误吗？
生：我用求阴影部分面积的方法来求周长了。
（1）概念模糊
我在询问这部分学生错因的时候，他们的目光总是躲躲闪闪，回答问题也是犹犹豫豫，因为他们需要同学的提醒。原因是教师教学时的某些习惯做法，比如，有意无意地突出封闭图形的面（经常贴出彩色纸剪的图形），忽略封闭图形的边（很少有教师勾勒彩色图形的边），也会对学生头脑中的图形概念产生影响。以图7这个典型的题目为例。
学生在摸这个阴影部分的周长时非常紧张，无从下手，需要老师和同学们的提醒，至于怎么求解更是摸不着头脑。
（2）概念“同化”
在做题时，学生总是会用一个概念去“同化”另一个概念，而不是自觉地去“分化”。这类学生的解题都有一个共同的特点，都是先计算阴影部分的面积，再计算阴影部分的周长，在计算阴影部分的周长时习惯性用求面积的方法。阴影部分的面积和周长放在一起求时，相似因素造成的强刺激，也给相关概念的“分化”带来困难。
这类学生只要再让他读两遍题目，他就知道错在哪里了。
四、碰撞感悟
对学生的错因进行了访谈、分析、归类，得出这些错不是“误”造成的，而是“错”造成的。“误”是指失误而造成的错，而“错”是指学习者构造了自己特有的概念与程式造成的错。是因为“错”造成的，所以一直错绝非偶然，而是必然。针对此现象，我和其他老师一起制定了以下教学策略。
1.回到教学起点，掌握知识本质
这些经常发生周长和面积“碰撞”的学生都有着共同的特点：周长和面积的意义不能区分清楚，至少是没能转化为图式表征来加以区分周长和面积的意义。
（1）激活辨析
首先，激活原有概念的内涵，让错误的学生通过回忆说出周长和面积的概念：周长是封闭图形一周的长度，拉开是一条线段；面积是物体的表面和平面图形的大小，是一个面。其次，感受概念的外延，让学生在纸上画出一个正方形，并用红笔描出这个正方形的周长，把这个用红笔涂的线拉开也就是一条线段，同样也画在纸上，并标出四段；用黑笔涂出这个正方形的面积。激活是对概念知识的重新感知，是让学生把周长和面积的文字概念转化为图式表征来加以区分。最后通过比较和辨析的练习让学生对信息进行加工和内化，这样就顺应了儿童认知发展由外部动作到内部思维的规律。
曹培英老师用以下的操作对图形的周长和面积进行比较和辨析：
（1）周长相等面积不等的图形
（2）周长不等面积相等的图形
如此，不妨指导学生在计算组合图形的周长与面积时，采取画图与列式相结合的方式，“画一条，算一条”（周长），“涂一块，算一块”（面积），以此正确区分周长与面积。
（2）记号化
图形语言虽然形象，但识图和画图是学生的难点。为此，有必要将图形语言转化为文字语言和符号语言，以加强学生对平面几何问题的理解。日本福井大学柳本成一教授在中学几何演绎推理证明教学方面有一些新的尝试，他主要研究在课堂教学中，培养学生运用图形记号、数学符号语言和逻辑推理方法表达几何中的演绎推理过程。他的基本思想是改变学生纯粹模仿教科书上解题方法的情况，带学生进入几何思维的世界。他的做法是在原几何图形中标出线段相等、角度相等等记号，这些带有记号的几何图形就是“信息图形”，即“记号化”的几何图形，然后将信息图形转化为“符号语言”，即“符号化”的数学表达。柳本教授的这一数学思想同样也适合于小学阶段的解决几何图形问题的教学。例如：
让学生先从原来复杂的图形中抽象出简单的周长图形，用红笔描出阴影部分的周长，即把图形的周长“记号化”。如果还是觉得模糊，再用“文字语言”来表达，最后列出正确的算式。这样就完成了把图形语言正确地转化成符号语言的过程，自然不会受面积的干扰。
2.回到思维原点，激活主体思维
解题错误的学生都有一个共同点，那就是思维停滞或思维受阻，学过的东西不能灵活运用，需要旁人的提醒。即使暂时会了，那也是思维的模仿，或者是暂时的记忆。
（1））反宾为主
对一个问题能根据情况的变化而变化，也就是说，能根据所发现的事实，及时修正原来的想法，这就是思维的灵活性。求阴影部分的周长，学生只要看到半圆的周长就想到用“圆周长的一半 一条直径”，这样的思维定式阻碍了学生解题的思路，这时，教师应鼓励学生把阴影部分的周长抽象为图11，并画下来。这样就让学生注意了量的相对性，打破了量的绝对性界限。这种反宾为主的思想，既消除了“先入为主”带来的负迁移，又可以化繁为简，降低解题的难度。
（2）横向联系
具有场依存性的学生受环境因素影响较大，不能将一个模式（或图式）分解成许多部分，思想单一。经常给具有场依存性的学生进行辨认镶嵌图形的游戏，也有一定的教学效果。例如：从图12中找出图中右上角这个简单图形。
“他山之石，可以攻玉”。利用思维的发散，教师可以经常给学生玩这样的游戏，借助知识间的横向联系，培养学生的发散性思维。学数学知识，解数学题目，不仅要用到数学的专业知识，有时还要借助于语文、音乐、美术等方面的知识、方法、技巧，这就是知识的“横向联系”。
（3）触摸分解
“摸”，字典中的解释：用手接触或轻轻抚摸。在知觉学习中，应提倡发挥多种知觉功能的作用。有实验表明，智力落后的儿童难以辨别较复杂的物品，但是把这些物品的某些部分切割下来，让他触摸以后，该儿童便能掌握较复杂的辨别方法。
触摸也是读懂图形的一种有效手段，在完成图形的练习中，“摸一摸”可以让学生对图形有一定的感知，对所要解决的问题有一定的认识，同时能促进思维的联动。教师可以提醒学生“能用手摸出这个阴影部分的周长吗？”当学生用手摸出这个阴影部分的周长之后，可提示“这个阴影部分的周长由几部分组成，将一个复杂图形进行分解，例如图4可以分解成一个大圆周长的一半和两个小圆周长的一半。每一段分别怎么求……”
解题难免会出错，但不要把学生的错误总认为是偶然，其实学生发生的每一个错误都是必然。教学中教师应及时地发现并捕捉学生的这些错误，开展深入、细致的研究，让学生认错、知错、改错，因为教师知错是改错的前提，学生知错是重新拥有正确认识的开始，是一个内容丰富的认知过程。
（责编 童 夏）