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如何设计问题情境，充分调动学生的积极性，使学生主动参与课堂教学活动，经历观察、分析、类比、猜想、归纳、抽象、概括推广等思维活动，探究规律，使学生轻松掌握所学的数学知识，提高学习数学的兴趣及应用数学知识解决实际问题的能力是值得探讨的课题。下面本人结合自己的教学实践谈谈创设问题情境加强数学教学的方法、途径。
一、 创设实验的问题情境
有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自试验或通过现代教育技术手段演示去领悟数学概念的形成，让学生在动手操作，通过观察发现得出概念探索发思中掌握数学概念。
案例1：椭圆概念的教学
1.学生动手实验，获得感性认识。要求学生事先准备两个小图钉和一条细线，先用图钉将细线的两端固定，让细线松弛，再用铅笔将细线拉紧，使铅笔在纸上慢慢移动，画得图形为椭圆。
2. 提出问题，思考讨论。先固定图钉再系细线是否一定能画出椭圆？试试看，椭圆上的点有何特征？当细线长大于图钉距离时，其轨迹是什么？当细线长等于图钉距离时，其轨迹是什么？当细线长小于图钉距离时，其轨迹是什么？你能给椭圆下一个定义吗？
3. 揭示本质，给出定义。学生经历了试验、讨论后，对椭圆的定义的实质会较易掌握，不易犯忽略椭圆定义中的定长应大于焦距的错误。
学生通过仔细观察并根据需要适当变换角度来抓住问题的特征，进一步抽象概括得出概念，从而学会观察，学会发现探索。
二、创设实际问题情境，体会概念产生的源头
教材在讲到分段函数概念时，先是提出画y=∣x∣以及“招手即停”的车票规则。可以创设生活实例，加深学生的印象。
出租车计价标准问题：
案例2： 某市出租车计价标准：4km以内10元（包含4km），超过4km且不超过10km的部分1.5元/km，超过10km的部分2元/km。
问：1.某人乘车行驶了8km，他要付多少车费？
2.试建立车费与行车里程的函数关系式。
3.如果某人付费35元，他乘车乘了多少km？
学生对这个例子会比较熟悉，问题 ①一般来说对学生都没问题，关键是问题②，怎么样建立这个函数关系式。自然，学生会想到，对于不同的行程，车费的表达式是不一样的。那么具体有三个关系式：
1.y=10，（x≤4）。
2.y=10+1.5（x-4），（4＜x≤10）。
3.y=10+1.5（10-4）+2（x-10），（x＞10）。
很自然用到了分段函数.既然函数表达式得出，问题③也迎刃而解。此案例不仅用到分段函数，又复习了函数的实际用途。
三、创设趣味性问题情境，激发学习兴趣
案例3：教师手中拿着一副新扑克牌（不含王牌），叫学生从老师手中任摸一张，并记牢自己的牌号.这样规定：A为1，J为11，Q为12，K为13，其余牌以数值为准.然后让叫学生按以下方法计算：所得的牌号乘2加3后再乘5，再减去25，把计算结果告诉老师，就可以知道学生手中拿的是什么牌（不考虑花色）。
设牌号为自变量x，根据对应法则，所得的值 y=5（2x+3）-25 即y=10x-10。
由题意，定义域为{1，2，3，……，13}，则值域为{0，10，20，……，120}，可得其反函数f （x）= x+1。由此，假如学生计算出来的值是120，则可轻易算出x=13，即K；如果是60，则x=7。其余同理可知。
此案例我们用到了一个对应法则的问题，同时也牵涉到定义域、值域、反函数有关问题。虽然新教材对反函数的要求大大降低，但是这里用到的反函数知识并没有超纲。
四、创设虚拟互动情境，加深知识的印象
案例4：如果老师每天给你10万元，而你需承担的任务是第一天给我1元，第二天给我2元，第三天给我4元，第四天给我8元，依次下去。
问：签几天的合同你会签？
我记得我在上《指数函数的图像及性质》的时候提出这个问题时，下面学生反响很强烈，马上有学生说签1天他签，又有学生提出签2天，或3天更赚。接下去有个学生上当了，说他愿意签一个月。接下去也没同学提出异议，很多学生都忙着按计算器。
通过这个案例，我们可以了解到学生对“指数爆炸”的理解并没有达到应有的认识。学生会认为指数函数的图像与一次函数的图像同是递增图像，那么递增速度也差不多，但是，通过这个案例的计算，可以清楚看到“指数爆炸”的意义。
S（一个月）=2 +2 +2 +…2 = =2 -1=1073741823，远远大于300万（10万×30）。提示公式（2 +2 +2 +…2 = ）。
五、创设生活实际情境，类比数学思想
案例5：竞猜价格游戏：教师给一个价格范围，比如说［0，1000］（单位：元），然后教师要有一个价格写在纸上，但不能给学生看，比如说688元，让学生来竞猜你纸上的价格。教师要做的只是告诉学生报的价格是高了还是低了，直到学生回答出正确答案。
这个游戏我是从QQ中拍拍网的夺宝游戏中得到启示，学生们对这种游戏有较大兴趣。一般学生都不会老老实实从1，2，3，……这样竞猜，而是先猜500，如果高了，那么价格应该在［0，500］；如果低了，那么应该在［500，1000］之间。教师告诉学生低了，那么学生会猜750，这样一直下去把价格所在的范围缩小，直到猜到这个价格。这种思想可以与数学中的二分法求近似解思想方法进行类比。学生们会从这个例子中得到启示，其实只要抓住思想的实质，二分法并不难。
同理，有个口答题：“今天是星期三，7k（k∈Z）天之后的那一天是星期几？”这个问题很简单，但是它蕴涵了周期的思想。之后学到的正弦、余弦、正切函数都是周期函数，可以用到这种思想。有这么一道题：“设函数f（x）（x∈R）是以2为最小正周期的周期函数，且x∈［0，2］时f（x）=（x-1） 。求f（3），f（ ）的值。”在这里就显得非常简单。f（1）=（1-1） =0，f（ ）=f（ ）=（ -1） =（ ）。
六、创设抽象数学环境，学会知识的运用
案例6：利用正弦函数性质及二分法求方程近似解，你能求出的近似值吗？（精确到0.01）。
由f（x）=Sinx的图像知道π是正弦函数在［3，4］的零点，因为f（3）•f（4）＜0，故可取［3，4］为初始区间，用二分法逐步计算。
创设此案例有助于复习正弦函数的图像以及二分法求近似解的过程，使学生的知识得到巩固的同时，提高对数学的兴趣。
由于数学概念规律具有一定的抽象性，因而应先呈现相关的背景材料，展示知识的形成过程，使数学概念、规律自然显现。创设情境的方法很多，但必须做到科学、适度。创设数学情境是教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。总之，要成功地创设问题情境，教师必须认真钻研教材，了解学生的实际情况，只有这样才能不断激发学生求知欲，使学生经常处于积极思考努力探索状态中的问题情境，提高学生的自主探索能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、 创设实验的问题情境
有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自试验或通过现代教育技术手段演示去领悟数学概念的形成，让学生在动手操作，通过观察发现得出概念探索发思中掌握数学概念。
案例1：椭圆概念的教学
1.学生动手实验，获得感性认识。要求学生事先准备两个小图钉和一条细线，先用图钉将细线的两端固定，让细线松弛，再用铅笔将细线拉紧，使铅笔在纸上慢慢移动，画得图形为椭圆。
2. 提出问题，思考讨论。先固定图钉再系细线是否一定能画出椭圆？试试看，椭圆上的点有何特征？当细线长大于图钉距离时，其轨迹是什么？当细线长等于图钉距离时，其轨迹是什么？当细线长小于图钉距离时，其轨迹是什么？你能给椭圆下一个定义吗？
3. 揭示本质，给出定义。学生经历了试验、讨论后，对椭圆的定义的实质会较易掌握，不易犯忽略椭圆定义中的定长应大于焦距的错误。
学生通过仔细观察并根据需要适当变换角度来抓住问题的特征，进一步抽象概括得出概念，从而学会观察，学会发现探索。
二、创设实际问题情境，体会概念产生的源头
教材在讲到分段函数概念时，先是提出画y=∣x∣以及“招手即停”的车票规则。可以创设生活实例，加深学生的印象。
出租车计价标准问题：
案例2： 某市出租车计价标准：4km以内10元（包含4km），超过4km且不超过10km的部分1.5元/km，超过10km的部分2元/km。
问：1.某人乘车行驶了8km，他要付多少车费？
2.试建立车费与行车里程的函数关系式。
3.如果某人付费35元，他乘车乘了多少km？
学生对这个例子会比较熟悉，问题 ①一般来说对学生都没问题，关键是问题②，怎么样建立这个函数关系式。自然，学生会想到，对于不同的行程，车费的表达式是不一样的。那么具体有三个关系式：
1.y=10，（x≤4）。
2.y=10+1.5（x-4），（4＜x≤10）。
3.y=10+1.5（10-4）+2（x-10），（x＞10）。
很自然用到了分段函数.既然函数表达式得出，问题③也迎刃而解。此案例不仅用到分段函数，又复习了函数的实际用途。
三、创设趣味性问题情境，激发学习兴趣
案例3：教师手中拿着一副新扑克牌（不含王牌），叫学生从老师手中任摸一张，并记牢自己的牌号.这样规定：A为1，J为11，Q为12，K为13，其余牌以数值为准.然后让叫学生按以下方法计算：所得的牌号乘2加3后再乘5，再减去25，把计算结果告诉老师，就可以知道学生手中拿的是什么牌（不考虑花色）。
设牌号为自变量x，根据对应法则，所得的值 y=5（2x+3）-25 即y=10x-10。
由题意，定义域为{1，2，3，……，13}，则值域为{0，10，20，……，120}，可得其反函数f （x）= x+1。由此，假如学生计算出来的值是120，则可轻易算出x=13，即K；如果是60，则x=7。其余同理可知。
此案例我们用到了一个对应法则的问题，同时也牵涉到定义域、值域、反函数有关问题。虽然新教材对反函数的要求大大降低，但是这里用到的反函数知识并没有超纲。
四、创设虚拟互动情境，加深知识的印象
案例4：如果老师每天给你10万元，而你需承担的任务是第一天给我1元，第二天给我2元，第三天给我4元，第四天给我8元，依次下去。
问：签几天的合同你会签？
我记得我在上《指数函数的图像及性质》的时候提出这个问题时，下面学生反响很强烈，马上有学生说签1天他签，又有学生提出签2天，或3天更赚。接下去有个学生上当了，说他愿意签一个月。接下去也没同学提出异议，很多学生都忙着按计算器。
通过这个案例，我们可以了解到学生对“指数爆炸”的理解并没有达到应有的认识。学生会认为指数函数的图像与一次函数的图像同是递增图像，那么递增速度也差不多，但是，通过这个案例的计算，可以清楚看到“指数爆炸”的意义。
S（一个月）=2 +2 +2 +…2 = =2 -1=1073741823，远远大于300万（10万×30）。提示公式（2 +2 +2 +…2 = ）。
五、创设生活实际情境，类比数学思想
案例5：竞猜价格游戏：教师给一个价格范围，比如说［0，1000］（单位：元），然后教师要有一个价格写在纸上，但不能给学生看，比如说688元，让学生来竞猜你纸上的价格。教师要做的只是告诉学生报的价格是高了还是低了，直到学生回答出正确答案。
这个游戏我是从QQ中拍拍网的夺宝游戏中得到启示，学生们对这种游戏有较大兴趣。一般学生都不会老老实实从1，2，3，……这样竞猜，而是先猜500，如果高了，那么价格应该在［0，500］；如果低了，那么应该在［500，1000］之间。教师告诉学生低了，那么学生会猜750，这样一直下去把价格所在的范围缩小，直到猜到这个价格。这种思想可以与数学中的二分法求近似解思想方法进行类比。学生们会从这个例子中得到启示，其实只要抓住思想的实质，二分法并不难。
同理，有个口答题：“今天是星期三，7k（k∈Z）天之后的那一天是星期几？”这个问题很简单，但是它蕴涵了周期的思想。之后学到的正弦、余弦、正切函数都是周期函数，可以用到这种思想。有这么一道题：“设函数f（x）（x∈R）是以2为最小正周期的周期函数，且x∈［0，2］时f（x）=（x-1） 。求f（3），f（ ）的值。”在这里就显得非常简单。f（1）=（1-1） =0，f（ ）=f（ ）=（ -1） =（ ）。
六、创设抽象数学环境，学会知识的运用
案例6：利用正弦函数性质及二分法求方程近似解，你能求出的近似值吗？（精确到0.01）。
由f（x）=Sinx的图像知道π是正弦函数在［3，4］的零点，因为f（3）•f（4）＜0，故可取［3，4］为初始区间，用二分法逐步计算。
创设此案例有助于复习正弦函数的图像以及二分法求近似解的过程，使学生的知识得到巩固的同时，提高对数学的兴趣。
由于数学概念规律具有一定的抽象性，因而应先呈现相关的背景材料，展示知识的形成过程，使数学概念、规律自然显现。创设情境的方法很多，但必须做到科学、适度。创设数学情境是教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。总之，要成功地创设问题情境，教师必须认真钻研教材，了解学生的实际情况，只有这样才能不断激发学生求知欲，使学生经常处于积极思考努力探索状态中的问题情境，提高学生的自主探索能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”