论文部分内容阅读
摘要：新课程强调关注核心素养的形成和发展，注重思维的培养与提升.针对数学问题的审题和分析是培养良好思维品质，提升思维能力和提升核心素养的必要过程和优良载体.本文结合具体数学问题，介绍八种常用的审题方向.
关键词：数学概念;公式;法则;性质;特点;原理
中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0068-05
审题是解题的基础，是解题的必备工作.审得清楚，才不会犯不必要的失误或误入歧途.审得深入，才能把握问题的实质，挖掘隐含的条件;才能理清条件与结论的关系，准确找到解决的切入点.审得认真，才能记忆深刻，形成以后解题的借鉴，形成能力.加强审题教学，有利于培养学生良好的学习习惯，提升思维品质，形成良好的数学素养，提高解题能力.下面介绍几种常用的审题方法与方向.
一、往概念上审
分析要解决球的问题，肯定是解决球心和球的半径.寻找球心，必须考虑球的概念：球心到球面上任一点的距离都等于球的半径.本题由已知条件易得ΔABP是以AB为斜边的直角三角形，AB中点D是ΔABP的外心，则过D作平面PAB的垂线l1，可得l1上任一点到P、A、B的距离相等，同理过正ΔABC的外心作平面ABC的垂线l2，可得l2上任一点到A、B、C的距离相等，则三棱锥P-ABC的外接球的球心是l1与l2的交点.
分析本题三棱锥P-ABC的外接球球心O不容易利用已知条件直接找出，可以考虑利用长方体和正方体的特性：它们的对角线的中点到各个顶多距离相等，对角线就是其外接球的直径.通过补形解决.
评注1. 概念是解决数学问题的基础，外接球问题首先要想到的是球心到球面上点的距离都等于半径.然后再考虑是直接找到球心，求出半径;还是补形求出半径，还是通过建立空间直角坐标系，算出球心坐标，求出半径.
二、往基本模型审
分析题中已知条件含有平面平行，线线垂直，线面角和线线角的大小，然后求异面直线角的大小.如果单纯作平面和直线图形，不容易理清线面和线线的位置关系，但如果利用已知条件，以熟悉的多面体或旋转体模型为载体帮助分析，问题将变得直观明了.
解答因为AB与α所成的角为π4，所以当点B固定时，点A在平面α的轨迹是圆图4锥的底面.作如图4，其中圆柱的高与底面半径相同，圆柱的两个底面分别在平面α，β上，点B，O1分别为圆柱的上下底面圆心，点A在下底面的圆上.由m⊥AB得：m⊥AO1，设点C在下底面的圆上，且CO1⊥AO1，则直线CO1与直线m平行或重合.连接CA，可得ΔABC是正三角形，所以AC与AB所成的角为π3，又由α∥β，n与AB所成的角为π3，得直线AC与直线n平行或重合.显然∠ACO1=π4，所以m与n所成的角为π4.
点评培养空间想像能力是立体几何的主要任务，把抽象知识或已知条件转变成具体图形，本身就是对空间想像能力的培养和体现，因此新课程强调运用几何体的模型理解、掌握和运用知识.教材中体现比较多的是多面体模型，平时的解题还需关注和重视旋转体模型的应用，提高想像和化归能力.
点评运用基本不等式和绝对值的三角形不等式求最值，或者证明不等式，是高考常见的命题模式.也是考查的热点知识.考试时不一定会那么直接，需要认真审题，大胆设想，准确变形，才能达到目的.
四、往基本原理审
分析 看到含两个参数的最小值问题，很容易想到运用基本不等式解决，但本题并不能够构造出符合一正二定三相等的条件，所以需要另辟蹊径，回归到最基本的原理，利用条件，化两个变量为单个变量去探寻.
点评关于含有两个正数的代数式最值问题，通常会想到运用基本不等式，但有些问题不容易变形出符合求最值的条件，或者不能运用这种方法，这时的解决策略需要回归到基本原理，利用条件化两变量为单变量，然后考虑运用函数性质解决.本题的解决还需要观察分析能力，运算与变形能力，换元思想，函数思想.
五、往条件和结论的特点审
点评本题是常见题型，条件中含有向量共线的表达形式，一定要认真审题，恰当引入参数和选择直线方程的形式，以便在方程联立消元时能使向量共线以简洁的坐标关系结合韦达定理.因为直线方程上横坐标与纵坐标是一一对应关系，选横坐标和选纵坐标体现是等价的.求解本题的易错点：①漏掉直线MN的斜率不存在的情况;②忽视直线与圆锥曲线相交，判别式大于零.
六、往基本法则审
分析本题第二问牵涉直线与圆锥曲线交点和斜率的差的比值，运算量肯定不小，如何减少运算量，除了考虑几何性质的挖掘利用外，还需要考虑利用条件和结论的特点，巧设参数，快速找到未知数量的关系.题中点C和点Q的横坐标相同，因此引进直线l的斜率作为参数，还是引进斜率的倒数作为参数，将对问题求解的复杂度有所影响.
七、往几何性质审
分析关于圆的弦中点的轨迹问题，如果按纯代数运算的方法，运算量不小;第（2）小问因为牵涉到三个变量，不仅运算量很大，而且会很复杂，不容易求出，但如果运用圆的几何性质，问题的解决可能会变得简单很多.
图7
点评数形结合是重要的数学思想和方法，它对问题的解决有极大的帮助，有时是捷径，有时是必需.几何性质的应用，是数形结合后解决几何问题的捷径.遇到有关圆的问题，一定要关注圆的相关性质：垂径分弦定理，弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等.
八、往题型特点审
分析本题函数式中含有绝对值和超越函数，运用分段去绝对号不容易求出正确结论.作为选择题，依据题型特点，可以运用选择题的结果验证和排除，从而得到正确选择.在验证排查时还要注意衡量，选哪些端点值会比较快.
点评不同的题型有不同的考查功能，相应地有不同的解题方法和解题策略.对一些高难度的选择题，应考虑它的题型特性，运用排除法、特殊值法、数形结合等非常规方法，避免小题大做，培养思维的灵活性和发散性，优化思维品质.
“万丈高楼平地起”.学生思维品质的优化与能力提升，核心素养的培養，不可一蹴而就，也不可拔苗助长，只能遵循教育规律，脚踏实地，循序渐进，充分挖掘每个知识点，每个例习题的培养价值.加强审题教学，是达成教育目标的有效途径.
参考文献：
[1]许银伙.峰回路转 天堑通途[J].数理化解题研究，2020（31）：25-26.
[2]许银伙.投石问路，巧解难题[J].福建中学数学，2011（12）：30-32.
[责任编辑：李璟]
作者简介：许银伙（1963.9-），男，福建省惠安人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.
关键词：数学概念;公式;法则;性质;特点;原理
中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0068-05
审题是解题的基础，是解题的必备工作.审得清楚，才不会犯不必要的失误或误入歧途.审得深入，才能把握问题的实质，挖掘隐含的条件;才能理清条件与结论的关系，准确找到解决的切入点.审得认真，才能记忆深刻，形成以后解题的借鉴，形成能力.加强审题教学，有利于培养学生良好的学习习惯，提升思维品质，形成良好的数学素养，提高解题能力.下面介绍几种常用的审题方法与方向.
一、往概念上审
分析要解决球的问题，肯定是解决球心和球的半径.寻找球心，必须考虑球的概念：球心到球面上任一点的距离都等于球的半径.本题由已知条件易得ΔABP是以AB为斜边的直角三角形，AB中点D是ΔABP的外心，则过D作平面PAB的垂线l1，可得l1上任一点到P、A、B的距离相等，同理过正ΔABC的外心作平面ABC的垂线l2，可得l2上任一点到A、B、C的距离相等，则三棱锥P-ABC的外接球的球心是l1与l2的交点.
分析本题三棱锥P-ABC的外接球球心O不容易利用已知条件直接找出，可以考虑利用长方体和正方体的特性：它们的对角线的中点到各个顶多距离相等，对角线就是其外接球的直径.通过补形解决.
评注1. 概念是解决数学问题的基础，外接球问题首先要想到的是球心到球面上点的距离都等于半径.然后再考虑是直接找到球心，求出半径;还是补形求出半径，还是通过建立空间直角坐标系，算出球心坐标，求出半径.
二、往基本模型审
分析题中已知条件含有平面平行，线线垂直，线面角和线线角的大小，然后求异面直线角的大小.如果单纯作平面和直线图形，不容易理清线面和线线的位置关系，但如果利用已知条件，以熟悉的多面体或旋转体模型为载体帮助分析，问题将变得直观明了.
解答因为AB与α所成的角为π4，所以当点B固定时，点A在平面α的轨迹是圆图4锥的底面.作如图4，其中圆柱的高与底面半径相同，圆柱的两个底面分别在平面α，β上，点B，O1分别为圆柱的上下底面圆心，点A在下底面的圆上.由m⊥AB得：m⊥AO1，设点C在下底面的圆上，且CO1⊥AO1，则直线CO1与直线m平行或重合.连接CA，可得ΔABC是正三角形，所以AC与AB所成的角为π3，又由α∥β，n与AB所成的角为π3，得直线AC与直线n平行或重合.显然∠ACO1=π4，所以m与n所成的角为π4.
点评培养空间想像能力是立体几何的主要任务，把抽象知识或已知条件转变成具体图形，本身就是对空间想像能力的培养和体现，因此新课程强调运用几何体的模型理解、掌握和运用知识.教材中体现比较多的是多面体模型，平时的解题还需关注和重视旋转体模型的应用，提高想像和化归能力.
点评运用基本不等式和绝对值的三角形不等式求最值，或者证明不等式，是高考常见的命题模式.也是考查的热点知识.考试时不一定会那么直接，需要认真审题，大胆设想，准确变形，才能达到目的.
四、往基本原理审
分析 看到含两个参数的最小值问题，很容易想到运用基本不等式解决，但本题并不能够构造出符合一正二定三相等的条件，所以需要另辟蹊径，回归到最基本的原理，利用条件，化两个变量为单个变量去探寻.
点评关于含有两个正数的代数式最值问题，通常会想到运用基本不等式，但有些问题不容易变形出符合求最值的条件，或者不能运用这种方法，这时的解决策略需要回归到基本原理，利用条件化两变量为单变量，然后考虑运用函数性质解决.本题的解决还需要观察分析能力，运算与变形能力，换元思想，函数思想.
五、往条件和结论的特点审
点评本题是常见题型，条件中含有向量共线的表达形式，一定要认真审题，恰当引入参数和选择直线方程的形式，以便在方程联立消元时能使向量共线以简洁的坐标关系结合韦达定理.因为直线方程上横坐标与纵坐标是一一对应关系，选横坐标和选纵坐标体现是等价的.求解本题的易错点：①漏掉直线MN的斜率不存在的情况;②忽视直线与圆锥曲线相交，判别式大于零.
六、往基本法则审
分析本题第二问牵涉直线与圆锥曲线交点和斜率的差的比值，运算量肯定不小，如何减少运算量，除了考虑几何性质的挖掘利用外，还需要考虑利用条件和结论的特点，巧设参数，快速找到未知数量的关系.题中点C和点Q的横坐标相同，因此引进直线l的斜率作为参数，还是引进斜率的倒数作为参数，将对问题求解的复杂度有所影响.
七、往几何性质审
分析关于圆的弦中点的轨迹问题，如果按纯代数运算的方法，运算量不小;第（2）小问因为牵涉到三个变量，不仅运算量很大，而且会很复杂，不容易求出，但如果运用圆的几何性质，问题的解决可能会变得简单很多.
图7
点评数形结合是重要的数学思想和方法，它对问题的解决有极大的帮助，有时是捷径，有时是必需.几何性质的应用，是数形结合后解决几何问题的捷径.遇到有关圆的问题，一定要关注圆的相关性质：垂径分弦定理，弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等.
八、往题型特点审
分析本题函数式中含有绝对值和超越函数，运用分段去绝对号不容易求出正确结论.作为选择题，依据题型特点，可以运用选择题的结果验证和排除，从而得到正确选择.在验证排查时还要注意衡量，选哪些端点值会比较快.
点评不同的题型有不同的考查功能，相应地有不同的解题方法和解题策略.对一些高难度的选择题，应考虑它的题型特性，运用排除法、特殊值法、数形结合等非常规方法，避免小题大做，培养思维的灵活性和发散性，优化思维品质.
“万丈高楼平地起”.学生思维品质的优化与能力提升，核心素养的培養，不可一蹴而就，也不可拔苗助长，只能遵循教育规律，脚踏实地，循序渐进，充分挖掘每个知识点，每个例习题的培养价值.加强审题教学，是达成教育目标的有效途径.
参考文献：
[1]许银伙.峰回路转 天堑通途[J].数理化解题研究，2020（31）：25-26.
[2]许银伙.投石问路，巧解难题[J].福建中学数学，2011（12）：30-32.
[责任编辑：李璟]
作者简介：许银伙（1963.9-），男，福建省惠安人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.