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摘 要： 本文通过对构造思想的论述，阐明了用构造思想解决数学问题的模式，针对不同的问题如何选择不同的构造方法，说明了构造法在解决竞赛问题中具体应用，从而建立起一种“构造”的数学思想.
关键词：构造；结论；媒介
数学题目中，总会有些题目我们往往不能通过直接对问题一步步的逻辑推理，来得出最终所需要的结论.如果我们拘泥于前路，墨守成规，就会走进死胡同浪费了大量的时间和精力.所以我们必须另辟蹊跷，跳出原来的思维模式.这时我们就很有必要创新、总结出一种新的方法来帮助我们解决所出现的陈出不穷的新问题. 构造思想的核心是“构造”，从构造的方式上来说构造媒介（函数、数列、图形、、模型等）是一种比较常见的方法，即对问题建立起一种条件与结论的一种内在的、有机的联系。
一、构造函数
我们时常在竞赛中会遇到这样的一些问题：已知几个变量 x， y， z……的取值范围，求它们代数关系运算的极值情况；或是知道变量之间代数关系式求变量间代数运算的取值范围.往往找不到头绪，我们可以用“构造函数”的方法，建立起函数与已知条件之间的联系，间接地获得我们要求的结论。
例1 设[x，y，z∈（0，1）]，求证：[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1]
分析：观察结论关系式左边的式子，发现[x（1-y）]，[y（1-z）]，[z（1-x）]这三个式子都有一种相似的结构我们考虑能不能构造一个函数建立起三个代数式之间的联系.
解：令[f（k）=（k-a）（k-b）（k-c）]，[a=x，b=y，c=z，k=1 ]
[∵x，y，z∈（0，1） ∴1-x，1-y，1-z>0 ∴f（1）>0，f（1）=（1-x）（1-y）（1-z）=1-（x+y+z）+（xy+yz+zx）>0（x+y+z）-（xy+yz+zx）<1∴ x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1]
二、构造递推关系
所谓构造递推关系，就是通过构造式子之间层层相关联的推导关系，建立一种有机的，内在的数学联系，我们可以同过以下的几个例子来说明构造递推关系在解决竞赛题中的重要作用。
例2 设实数a，b，x，y满足[ax+by=3]，[ax2+by2=7，ax3+by3][=16，ax4+by4=12.] 求[ax5+by5]的值。
分析：观察已知的四个条件.发现每一个等式两边都是两个未知量前面系数a，b保持不变，而未知变量x， y的次数在不断的增加，且依次增加1.所以我们考虑建立一个递推关系来解决这个问题。
证明：记[sn=axn+byn]则由已知条件我们可有[s1=ax+by=3，s2=ax2+by2=7]
[s3=ax3+by3=16，s4=ax5+by5=42].即有下列方程组
[s1（x+y）=s2+xy（a+b）s2（x+y）=s3+s1xys3（x+y）=s4+s2xys4（x+y）=s5+s3xy]即有[s3s2=s4+s2xys3+s1xy]， 即[167=42+7xy16+3xy] 。
所以 [xy=-38]， 即有[x+y=-14]。
可由式子[xy=-38x+y=-14]求出[x，y]的值后代[ax+by=3ax2+by2=7]求出[a，b]的值即可。
三、构造数学模型
构造数学模型就是根据某种需要，把题设条件或求解结论设想在某个模型上，通过对问题设想模型的研究推出求证结论的解题思维方法.在数学解题中碰到由常规，定向思考方法不能解决的问题，只要改变思维方向，换一个角度去思考，往往会找到一条绕过障碍的新的方法——构造数学模型。
例3 求函数[f（x）=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1]的最大值。
分析：用代数求此函数的最大显然难以入手，而且变量是四次的，所以和我们考虑用来解决这类问题.而[x4-3x2-6x+13=（x2-2）2+（x-3）2]，[x4-x2+1=（x2-1）2+（x-0）2]，原函数可看成动点[（x，x2）]到B[（3，2）]，C[（0，1）]之间距离的差，从图上可知，当动[x]点在A时取到最大值.
解：
[f（x）=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1][=（x2-2）2+（x-3）2-（x2-1）2-（x-0）2]
[≤（3-0）2+（2-1）2]
[=9+1][=10]
例4 能否用如下五种形式的小块（图中每一正方形代表一个单位立方体）构造一个平行六面体，各边都是大于1的整数，体积为1990.（伊朗）
答案：不可能。
证明：假设我们构造了一个符号要求的平行六面体P，因为[1990=2×5×199]所以P的边长分别为2，5和199.它有一个面的大小量[5×199]，将这个按国际象棋盘的方法，把小方格黑白相间地染色（如图）.因为这面的边长都是奇数，不妨设黑方格个数比白方格的个数多1，每一个型如①③④的小方块中黑白方格的数目是相等的，而每一个型如⑤方块出现4个黑方格和一个白方格（或反过来），同样，每一个型如②的小方块出现5个黑方格2个白方格（或反过来）。
令[d]=（黑方格）[-]（白方格）=1
在这个表达式中，型如①③④所提供的黑方格的方格互相抵消.设[x1]表示出现4个黑方格的型如⑤小方块的数目；[x2]表示出现4个白方格的型如⑤小方块的数目；[y1]表示出现5个黑方格的型号②的小方块的数目；[y2]表示出现5个白方格的型如②的小方块的数目。
则[d=（4x1+x2）-（x1+4x2）+（5y1+2y2）-（5y2+2y1）]
[=3x1-3x2+3y1-3y2]
导出3整除1，矛盾！
四、构造对应关系
“对应”是一个极基本的概念，数的表示法量对应，各种数学符号也是对应，数学模型.变换等等都是对应，绝又部分都是单位值对应，即大部分都为一一对应。
数学竞赛中题目，往往需要把存在已知的一个问题集转化为另一个问题集，使问题化繁为简，化难为易，这样的处理问题的方法就叫“对应原理”。
对应原理：如果存在集合[s]到[s′]的一一对应，那么[s=s′]这里[A]代表集合[A]的元素有 个。
例5 设有集合[M=1，2，……2000]，X为 M中任意一个非空子集，记[ax]为X中最大和最小数的和，求所有这样的[ax]的算术平均数.
分析：如果俩组对象之间（也可以是同一对象中）通过建立适当的对应关系能一对一的配对，而每一对数值之间有一定的关系或可以计算，那么问题就解决了。
解：对M 中 的任一非空子集：[F=a1，a2……at]，不妨设[（a1 参考文献：
[1] 单墫.数学奥林匹克（高中竞赛篇）.北京农学出版社， 2009.11
[2] 胡大同，陶晓永.数学奥林匹克（第13届国际数学竞赛预选题）.北京大学出版社
[3] 陈传理，张同君.数学竞赛教程.高等教育出版社，2005.4
[4] 卢晓光、赵小云.数学通讯. 2006.10
[5] 梁新潮，石美英.构建新数列巧解递推数列竞赛题.高等教育出版社，1993.5
关键词：构造；结论；媒介
数学题目中，总会有些题目我们往往不能通过直接对问题一步步的逻辑推理，来得出最终所需要的结论.如果我们拘泥于前路，墨守成规，就会走进死胡同浪费了大量的时间和精力.所以我们必须另辟蹊跷，跳出原来的思维模式.这时我们就很有必要创新、总结出一种新的方法来帮助我们解决所出现的陈出不穷的新问题. 构造思想的核心是“构造”，从构造的方式上来说构造媒介（函数、数列、图形、、模型等）是一种比较常见的方法，即对问题建立起一种条件与结论的一种内在的、有机的联系。
一、构造函数
我们时常在竞赛中会遇到这样的一些问题：已知几个变量 x， y， z……的取值范围，求它们代数关系运算的极值情况；或是知道变量之间代数关系式求变量间代数运算的取值范围.往往找不到头绪，我们可以用“构造函数”的方法，建立起函数与已知条件之间的联系，间接地获得我们要求的结论。
例1 设[x，y，z∈（0，1）]，求证：[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1]
分析：观察结论关系式左边的式子，发现[x（1-y）]，[y（1-z）]，[z（1-x）]这三个式子都有一种相似的结构我们考虑能不能构造一个函数建立起三个代数式之间的联系.
解：令[f（k）=（k-a）（k-b）（k-c）]，[a=x，b=y，c=z，k=1 ]
[∵x，y，z∈（0，1） ∴1-x，1-y，1-z>0 ∴f（1）>0，f（1）=（1-x）（1-y）（1-z）=1-（x+y+z）+（xy+yz+zx）>0（x+y+z）-（xy+yz+zx）<1∴ x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1]
二、构造递推关系
所谓构造递推关系，就是通过构造式子之间层层相关联的推导关系，建立一种有机的，内在的数学联系，我们可以同过以下的几个例子来说明构造递推关系在解决竞赛题中的重要作用。
例2 设实数a，b，x，y满足[ax+by=3]，[ax2+by2=7，ax3+by3][=16，ax4+by4=12.] 求[ax5+by5]的值。
分析：观察已知的四个条件.发现每一个等式两边都是两个未知量前面系数a，b保持不变，而未知变量x， y的次数在不断的增加，且依次增加1.所以我们考虑建立一个递推关系来解决这个问题。
证明：记[sn=axn+byn]则由已知条件我们可有[s1=ax+by=3，s2=ax2+by2=7]
[s3=ax3+by3=16，s4=ax5+by5=42].即有下列方程组
[s1（x+y）=s2+xy（a+b）s2（x+y）=s3+s1xys3（x+y）=s4+s2xys4（x+y）=s5+s3xy]即有[s3s2=s4+s2xys3+s1xy]， 即[167=42+7xy16+3xy] 。
所以 [xy=-38]， 即有[x+y=-14]。
可由式子[xy=-38x+y=-14]求出[x，y]的值后代[ax+by=3ax2+by2=7]求出[a，b]的值即可。
三、构造数学模型
构造数学模型就是根据某种需要，把题设条件或求解结论设想在某个模型上，通过对问题设想模型的研究推出求证结论的解题思维方法.在数学解题中碰到由常规，定向思考方法不能解决的问题，只要改变思维方向，换一个角度去思考，往往会找到一条绕过障碍的新的方法——构造数学模型。
例3 求函数[f（x）=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1]的最大值。
分析：用代数求此函数的最大显然难以入手，而且变量是四次的，所以和我们考虑用来解决这类问题.而[x4-3x2-6x+13=（x2-2）2+（x-3）2]，[x4-x2+1=（x2-1）2+（x-0）2]，原函数可看成动点[（x，x2）]到B[（3，2）]，C[（0，1）]之间距离的差，从图上可知，当动[x]点在A时取到最大值.
解：
[f（x）=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1][=（x2-2）2+（x-3）2-（x2-1）2-（x-0）2]
[≤（3-0）2+（2-1）2]
[=9+1][=10]
例4 能否用如下五种形式的小块（图中每一正方形代表一个单位立方体）构造一个平行六面体，各边都是大于1的整数，体积为1990.（伊朗）
答案：不可能。
证明：假设我们构造了一个符号要求的平行六面体P，因为[1990=2×5×199]所以P的边长分别为2，5和199.它有一个面的大小量[5×199]，将这个按国际象棋盘的方法，把小方格黑白相间地染色（如图）.因为这面的边长都是奇数，不妨设黑方格个数比白方格的个数多1，每一个型如①③④的小方块中黑白方格的数目是相等的，而每一个型如⑤方块出现4个黑方格和一个白方格（或反过来），同样，每一个型如②的小方块出现5个黑方格2个白方格（或反过来）。
令[d]=（黑方格）[-]（白方格）=1
在这个表达式中，型如①③④所提供的黑方格的方格互相抵消.设[x1]表示出现4个黑方格的型如⑤小方块的数目；[x2]表示出现4个白方格的型如⑤小方块的数目；[y1]表示出现5个黑方格的型号②的小方块的数目；[y2]表示出现5个白方格的型如②的小方块的数目。
则[d=（4x1+x2）-（x1+4x2）+（5y1+2y2）-（5y2+2y1）]
[=3x1-3x2+3y1-3y2]
导出3整除1，矛盾！
四、构造对应关系
“对应”是一个极基本的概念，数的表示法量对应，各种数学符号也是对应，数学模型.变换等等都是对应，绝又部分都是单位值对应，即大部分都为一一对应。
数学竞赛中题目，往往需要把存在已知的一个问题集转化为另一个问题集，使问题化繁为简，化难为易，这样的处理问题的方法就叫“对应原理”。
对应原理：如果存在集合[s]到[s′]的一一对应，那么[s=s′]这里[A]代表集合[A]的元素有 个。
例5 设有集合[M=1，2，……2000]，X为 M中任意一个非空子集，记[ax]为X中最大和最小数的和，求所有这样的[ax]的算术平均数.
分析：如果俩组对象之间（也可以是同一对象中）通过建立适当的对应关系能一对一的配对，而每一对数值之间有一定的关系或可以计算，那么问题就解决了。
解：对M 中 的任一非空子集：[F=a1，a2……at]，不妨设[（a1
[1] 单墫.数学奥林匹克（高中竞赛篇）.北京农学出版社， 2009.11
[2] 胡大同，陶晓永.数学奥林匹克（第13届国际数学竞赛预选题）.北京大学出版社
[3] 陈传理，张同君.数学竞赛教程.高等教育出版社，2005.4
[4] 卢晓光、赵小云.数学通讯. 2006.10
[5] 梁新潮，石美英.构建新数列巧解递推数列竞赛题.高等教育出版社，1993.5