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【摘要】文章论述了有效建模的意义及与结构化教学之间的联系，并以“因数和倍数”教学为例，提出有效建模的过程：在具体实例中抽象提取模型;在图示和辨析中解读理解模型;在探究和交流中运用模型;在拓展性问题中深化模型。
【关键词】有效建模 结构化教学 因数和倍数
一、有效建模的意义与价值
（一）建模的含义
建模就是建构数学模型，“即把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学概括地或近似地表述出来的一种数学结构。”
建模是学生学习数学的一种方式，学生脑中一旦建立了模型，就能沟通知识之间的联系，能熟练地将日常生活中的事物与数学进行联系，找到数量之间的关系，并能运用所学到的知识去分析、解决实际问题，从而深刻体验到数学与外部世界的联系。因此，“建模的思想方法能增强学生的应用意识，能激发学生学数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力，也是能深刻体现数学学科价值的数学素质之一。”
（二）有效建模的过程
由于年龄特点小学生思维以直观形象化为主，而建模的过程是一个数学高度抽象化的过程，因此对小学生来说有一定的难度。为实现有效建模，需要让学生经历完整的建模过程，即首先要从现实生活或具体情境中抽象出数学模型，并用符号、字母等表示出模型，再运用模型推理、计算，解决实际问题。学生只有充分经历了这些过程之后，才会深刻理解模型，在脑中切实建构模型，也才能更好地活用模型，从而实现有效建模的过程。
二、有效建模与结构化教学的联系
（一）结构化教学
新结构主义理论家布鲁纳指出， “学习的实质就是理解学科的基本结构”“如果你理解了知识的结构，你无须为了知道各个事物的属性与每一个事物打交道，只要通过对某些深奥原理的掌握，便有可能推断出所要知道的个别事物”。所以在数学学习过程中，要让学生生长结构、发展结构，培养学生的结构思维。
而结构化教学则要求教师着眼于全局，要站在概念的“整体性”“系统性”的高度，抓住每节课的核心知识、数学本质，引导学生认识并发现这些知识之间的本质联系和内在结构，从而形成清晰的、完整的知识结构。
（二）相互关联，架起桥梁
结构化教学更侧重于数学的内在结构，突出数学知识之间的内在联系。而建模思想是基于事物之间、知识之间的联系，抽象出其中本质的数量关系，建构起模型。二者之间的共同点都是突出数学知识之间的内在联系，而模型的建构更能凸显知识结构的本质联系，并使其直观化、外显化，更方便灵活运用。所以在教学中做到有效建模，也就顺利架起了结构化教学的桥梁。
三、有效建模的实践
“因数和倍数”这一单元的知识属于“数论”的初步知识，概念比较多，有些概念还比较抽象，很难理解，而且概念的前后联系又很紧密，势必会让部分学生在学习时产生一定的困难。作为第一课时的起始知识点“因数”和“倍数”，对概念的含义的理解尤为重要。要让学生充分理解因数和倍数的概念，就必须抓准、抓牢本节课的核心知识，即“（ ）×（ ）=（ ）”这道乘法算式的模型，让学生首先构建模型，再理解模型，最后运用模型，从而把这块的知识更加结构化，让学生深刻感悟到其中的模型思想，体会到模型思想的价值。
（一）操作感悟，提取模型
在具体实例中抽象模型。学生从摆方格想到三种不同的方法，从实例出发理解因数和倍数的意义，然后教师让学生自己去想一个算式，想谁是谁的因数，谁是谁的倍数，再问学生你是怎么想到的，得到从乘法算式可以想到、乘数是积的因数、积是乘数的倍数，从而抽象出模型，建立了模型，并用括号和箭头表示出来。
【教学片段1：因数和倍数的初步认识】
1.拼图引入
师：你能用12个相同的小正方形摆成几种不同形状的长方形？再分别说一说你是怎么摆的。（教师板书三道乘法算式）
2.揭示概念
师：以3×4=12这道算式为例，在数学上我们说3是12的因数 ……
追问：能单独说3是因数，12是倍数吗？
生：不能，因数和倍数是指两个数之间的关系，所以一定要说清楚哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。
3.观察发现
师：观察这三道算式，有什么共同的特点？
生1：都是乘法算式。
生2：都是自然数。
生3：积都是12。
师：这些数都是12的因数，12还有其他因数吗？5是不是12的因数？
生：不是，因为5×2.4=12，2.4不是自然数。
师：所以在研究因数和倍数时，所指的数一般都是非0 的自然数。
4.舉例概括
师：同学们自己想一道算式，并说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
（学生大组交流）
师：你们在举例时的依据是什么？
生：我们想到的是（ ）×（ ）=（ ），（上台指着说）这个乘数和这个乘数就是乘积的因数，乘积就是这个乘数的倍数，也是这个乘数的倍数。
小学阶段的因数和倍数的概念并不是数学抽象意义上的概念，而是通过若干的举例，指出两个非0自然数之间存在因数和倍数的关系，从而体会到因数和倍数的概念。所以这里要让学生充分举例，并相互说，要在学生面前提供丰富的实例，才能让学生从大量例子中总结发现出两个非0自然数之间的关系，从而在具体实例中抽象、提炼出数学模型。
（二） 辨析整理，形成模型
在图式和辨析中理解模型。模型刚抽象、提取出来，还有一部分学生没有充分理解，这就需要教师在这一难点中放慢脚步，要给学生解读和理解模型的时间和空间。这里一是让学生从图中，看箭头中就可以理解它们之间的关系;二是通过几道判断题，对概念深入理解。其中有一道是除法，让学生思考，除法是乘法的逆运算，可以转化成乘法，又回到了一开始的模型。 【教学片段2：巩固因数和倍数的认识】
师：刚才他们的发言大家都明白了吗？如果我们再画个箭头表示出来，那就更容易理解了。（教师在黑板上板书，带领学生再次理解这个模型的含义）
（出示几道判断题，让学生再次充分理解这一模型）
师：第3题你是怎么想的？
生：因为除法是乘法的逆运算，将除法转化为乘法，8÷2=4可以转化为4×2=8，那么就可以得到2是8的因数，8是2的倍数，这题是对的。
师：所以说，因数和倍数的背后总能找到相应的乘法算式或者除法算式。
模型刚刚建立，大多数学生还似懂非懂，没有完全理解。这里通过画图、标箭头再次让学生理解。通过四道判断题，让学生在辨析中加深对模型的理解。
（三） 运用巩固，完善模型
在探究和交流中运用模型。如利用模型来找因数和倍数，首先让学生自己去探索怎么找，学生想到的是用乘法和除法算式去找，（ ）×（ ）=36，36÷（ ）=（ ），就是前面说的基本模型。找倍数，想到的是3×（ ）=（ ）……无论是找因数和倍数，都是万变不离其宗，用的都是这些基本模型。
【教学片段3：完善因数和倍数的认识】
1.探索找一个数的因数的方法
师：你能找出36所有的因数吗？动手试试看，完成学习单上的探究一。
（1）展示用乘法和用除法的探究单
师：请你说一说你是怎么想的？找36的因数就是找什么？
生1：只要两个数乘积等于36，那么这两个数就都是36的因数。
生2：老师，我有补充，只要想（ ）×（ ）=36，这两个数就是36的因数。
生3：用除法也可以，可以想36÷（ ）=（ ），括号里的两个数就是36的因数。
师：同学们真棒！用我们之前的这道乘法算式，就能简便地找到36的因数。
（2）展示无序和有序列举的探究单
师：这两个同学列举结果的写法你认为哪个更好些？好在哪？
生：我更喜欢从小到大排列的，这种写法很有序，这样就能做到不重复、不遗漏了。
师：大家同意他的观点吗？的确，在找一个数的因数时，不仅要一对一对地找，还要注意从小到大地找，先从1开始想起，有序才能不重复、不遗漏。
2.探索找一个数倍数的方法
师：找一个数的倍数你会吗？我们一起来试试，找出3的倍数，完成探究二。
学生自主探索，并在小组内交流想法。大组交流，教师适时点拨。
师：你是怎样找3的倍数的？
生1：只要找3乘几，用3和自然数相乘，积就是3的倍数。
生2：只要从3开始，后面依次加3，得到的数就是3的倍数。
生3：我想到的是3×（ ）=（ ），从乘1开始想起，乘出的结果就是3的倍数。
师：这三位同学想的方法都很好！其中第三位同學，他想到的又是一道乘法算式，看来这道乘法算式在找一个数的倍数中，也是至关重要的。
当学生对因数和倍数的模型能充分理解后，开始研究找因数、倍数的方法，教师放手，让学生自主探究。有的学生用乘法想，有的学生用除法想，有的学生找不全，有的学生找出的结果无序，教师需要引导学生去观察、比较、总结、归纳，使学生在比较、交流中感悟有序思考的必要性和科学性，也让学生深刻感悟到运用模型探究问题的好处与便捷。
（四） 拓展提升，活用模型
在拓展性问题中深化模型。最后设计了一道综合性比较强的问题，教师出了几张数字卡片，让学生根据它们之间的关系来找因数和倍数，点燃了学生思维的火花。特别是找一个数的倍数这题，学生不仅想到一个数就能找到，而且知道最小的数也能找到这个数，第二个、第三个、最后一个，随意翻开一个数都能找到这个数。其实学生想到的就是用这个数除以这个数的位置这一除法算式，这个数学模型已深深扎根在学生的心中，这一知识已融入学生原来的知识结构中。
【教学片段4：提升因数和倍数的认识】
师：我们做个小游戏。老师这里有个神秘的数，并且和这里的几张牌有关，这些牌都是从小到大排列的，你能根据这些牌找出这个神秘的数吗？
师：这些牌都是28的因数。你认为你要翻开哪些牌就能找出这个数？
生：只要翻开最后一张，因为一个数最大的因数是它本身。
师：如果不允许翻开最后一张呢？
生：翻开第2张和第5张，或者第3张和第4张，因为它们的乘积就是这个数。
师：如果这些牌都是8的倍数，你要翻开哪些牌就能知道这个数？
生1：只要翻开第一张，因为一个数最小的倍数是它本身。
生2：翻开第二张也行，因为第2张是这个数的2倍，只要除以2就知道了。
生3：翻开任意一张都可以，只要拿这一张除以它的位置，都能得到这个数。
……
学生已能熟练运用模型解决问题，教师在最后设计这一有层次的综合性问题来挑战学生，学生在挑战成功之后获得了巨大的成就感、满足感，更加强化了模型思想在学生心中的价值。
所以一节数学课要让学生充分经历从构建模型、理解模型到运用模型来解决问题的过程，学生才会慢慢感悟到模型思想的价值，同时也积累了探究问题的经验。这样做也正精准把握了这节课的核心知识、本质知识，学生深刻理解各知识之间的联系，从而对知识的建构更加结构化和系统化，教学效益也必将大大提高。
【关键词】有效建模 结构化教学 因数和倍数
一、有效建模的意义与价值
（一）建模的含义
建模就是建构数学模型，“即把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学概括地或近似地表述出来的一种数学结构。”
建模是学生学习数学的一种方式，学生脑中一旦建立了模型，就能沟通知识之间的联系，能熟练地将日常生活中的事物与数学进行联系，找到数量之间的关系，并能运用所学到的知识去分析、解决实际问题，从而深刻体验到数学与外部世界的联系。因此，“建模的思想方法能增强学生的应用意识，能激发学生学数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力，也是能深刻体现数学学科价值的数学素质之一。”
（二）有效建模的过程
由于年龄特点小学生思维以直观形象化为主，而建模的过程是一个数学高度抽象化的过程，因此对小学生来说有一定的难度。为实现有效建模，需要让学生经历完整的建模过程，即首先要从现实生活或具体情境中抽象出数学模型，并用符号、字母等表示出模型，再运用模型推理、计算，解决实际问题。学生只有充分经历了这些过程之后，才会深刻理解模型，在脑中切实建构模型，也才能更好地活用模型，从而实现有效建模的过程。
二、有效建模与结构化教学的联系
（一）结构化教学
新结构主义理论家布鲁纳指出， “学习的实质就是理解学科的基本结构”“如果你理解了知识的结构，你无须为了知道各个事物的属性与每一个事物打交道，只要通过对某些深奥原理的掌握，便有可能推断出所要知道的个别事物”。所以在数学学习过程中，要让学生生长结构、发展结构，培养学生的结构思维。
而结构化教学则要求教师着眼于全局，要站在概念的“整体性”“系统性”的高度，抓住每节课的核心知识、数学本质，引导学生认识并发现这些知识之间的本质联系和内在结构，从而形成清晰的、完整的知识结构。
（二）相互关联，架起桥梁
结构化教学更侧重于数学的内在结构，突出数学知识之间的内在联系。而建模思想是基于事物之间、知识之间的联系，抽象出其中本质的数量关系，建构起模型。二者之间的共同点都是突出数学知识之间的内在联系，而模型的建构更能凸显知识结构的本质联系，并使其直观化、外显化，更方便灵活运用。所以在教学中做到有效建模，也就顺利架起了结构化教学的桥梁。
三、有效建模的实践
“因数和倍数”这一单元的知识属于“数论”的初步知识，概念比较多，有些概念还比较抽象，很难理解，而且概念的前后联系又很紧密，势必会让部分学生在学习时产生一定的困难。作为第一课时的起始知识点“因数”和“倍数”，对概念的含义的理解尤为重要。要让学生充分理解因数和倍数的概念，就必须抓准、抓牢本节课的核心知识，即“（ ）×（ ）=（ ）”这道乘法算式的模型，让学生首先构建模型，再理解模型，最后运用模型，从而把这块的知识更加结构化，让学生深刻感悟到其中的模型思想，体会到模型思想的价值。
（一）操作感悟，提取模型
在具体实例中抽象模型。学生从摆方格想到三种不同的方法，从实例出发理解因数和倍数的意义，然后教师让学生自己去想一个算式，想谁是谁的因数，谁是谁的倍数，再问学生你是怎么想到的，得到从乘法算式可以想到、乘数是积的因数、积是乘数的倍数，从而抽象出模型，建立了模型，并用括号和箭头表示出来。
【教学片段1：因数和倍数的初步认识】
1.拼图引入
师：你能用12个相同的小正方形摆成几种不同形状的长方形？再分别说一说你是怎么摆的。（教师板书三道乘法算式）
2.揭示概念
师：以3×4=12这道算式为例，在数学上我们说3是12的因数 ……
追问：能单独说3是因数，12是倍数吗？
生：不能，因数和倍数是指两个数之间的关系，所以一定要说清楚哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。
3.观察发现
师：观察这三道算式，有什么共同的特点？
生1：都是乘法算式。
生2：都是自然数。
生3：积都是12。
师：这些数都是12的因数，12还有其他因数吗？5是不是12的因数？
生：不是，因为5×2.4=12，2.4不是自然数。
师：所以在研究因数和倍数时，所指的数一般都是非0 的自然数。
4.舉例概括
师：同学们自己想一道算式，并说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
（学生大组交流）
师：你们在举例时的依据是什么？
生：我们想到的是（ ）×（ ）=（ ），（上台指着说）这个乘数和这个乘数就是乘积的因数，乘积就是这个乘数的倍数，也是这个乘数的倍数。
小学阶段的因数和倍数的概念并不是数学抽象意义上的概念，而是通过若干的举例，指出两个非0自然数之间存在因数和倍数的关系，从而体会到因数和倍数的概念。所以这里要让学生充分举例，并相互说，要在学生面前提供丰富的实例，才能让学生从大量例子中总结发现出两个非0自然数之间的关系，从而在具体实例中抽象、提炼出数学模型。
（二） 辨析整理，形成模型
在图式和辨析中理解模型。模型刚抽象、提取出来，还有一部分学生没有充分理解，这就需要教师在这一难点中放慢脚步，要给学生解读和理解模型的时间和空间。这里一是让学生从图中，看箭头中就可以理解它们之间的关系;二是通过几道判断题，对概念深入理解。其中有一道是除法，让学生思考，除法是乘法的逆运算，可以转化成乘法，又回到了一开始的模型。 【教学片段2：巩固因数和倍数的认识】
师：刚才他们的发言大家都明白了吗？如果我们再画个箭头表示出来，那就更容易理解了。（教师在黑板上板书，带领学生再次理解这个模型的含义）
（出示几道判断题，让学生再次充分理解这一模型）
师：第3题你是怎么想的？
生：因为除法是乘法的逆运算，将除法转化为乘法，8÷2=4可以转化为4×2=8，那么就可以得到2是8的因数，8是2的倍数，这题是对的。
师：所以说，因数和倍数的背后总能找到相应的乘法算式或者除法算式。
模型刚刚建立，大多数学生还似懂非懂，没有完全理解。这里通过画图、标箭头再次让学生理解。通过四道判断题，让学生在辨析中加深对模型的理解。
（三） 运用巩固，完善模型
在探究和交流中运用模型。如利用模型来找因数和倍数，首先让学生自己去探索怎么找，学生想到的是用乘法和除法算式去找，（ ）×（ ）=36，36÷（ ）=（ ），就是前面说的基本模型。找倍数，想到的是3×（ ）=（ ）……无论是找因数和倍数，都是万变不离其宗，用的都是这些基本模型。
【教学片段3：完善因数和倍数的认识】
1.探索找一个数的因数的方法
师：你能找出36所有的因数吗？动手试试看，完成学习单上的探究一。
（1）展示用乘法和用除法的探究单
师：请你说一说你是怎么想的？找36的因数就是找什么？
生1：只要两个数乘积等于36，那么这两个数就都是36的因数。
生2：老师，我有补充，只要想（ ）×（ ）=36，这两个数就是36的因数。
生3：用除法也可以，可以想36÷（ ）=（ ），括号里的两个数就是36的因数。
师：同学们真棒！用我们之前的这道乘法算式，就能简便地找到36的因数。
（2）展示无序和有序列举的探究单
师：这两个同学列举结果的写法你认为哪个更好些？好在哪？
生：我更喜欢从小到大排列的，这种写法很有序，这样就能做到不重复、不遗漏了。
师：大家同意他的观点吗？的确，在找一个数的因数时，不仅要一对一对地找，还要注意从小到大地找，先从1开始想起，有序才能不重复、不遗漏。
2.探索找一个数倍数的方法
师：找一个数的倍数你会吗？我们一起来试试，找出3的倍数，完成探究二。
学生自主探索，并在小组内交流想法。大组交流，教师适时点拨。
师：你是怎样找3的倍数的？
生1：只要找3乘几，用3和自然数相乘，积就是3的倍数。
生2：只要从3开始，后面依次加3，得到的数就是3的倍数。
生3：我想到的是3×（ ）=（ ），从乘1开始想起，乘出的结果就是3的倍数。
师：这三位同学想的方法都很好！其中第三位同學，他想到的又是一道乘法算式，看来这道乘法算式在找一个数的倍数中，也是至关重要的。
当学生对因数和倍数的模型能充分理解后，开始研究找因数、倍数的方法，教师放手，让学生自主探究。有的学生用乘法想，有的学生用除法想，有的学生找不全，有的学生找出的结果无序，教师需要引导学生去观察、比较、总结、归纳，使学生在比较、交流中感悟有序思考的必要性和科学性，也让学生深刻感悟到运用模型探究问题的好处与便捷。
（四） 拓展提升，活用模型
在拓展性问题中深化模型。最后设计了一道综合性比较强的问题，教师出了几张数字卡片，让学生根据它们之间的关系来找因数和倍数，点燃了学生思维的火花。特别是找一个数的倍数这题，学生不仅想到一个数就能找到，而且知道最小的数也能找到这个数，第二个、第三个、最后一个，随意翻开一个数都能找到这个数。其实学生想到的就是用这个数除以这个数的位置这一除法算式，这个数学模型已深深扎根在学生的心中，这一知识已融入学生原来的知识结构中。
【教学片段4：提升因数和倍数的认识】
师：我们做个小游戏。老师这里有个神秘的数，并且和这里的几张牌有关，这些牌都是从小到大排列的，你能根据这些牌找出这个神秘的数吗？
师：这些牌都是28的因数。你认为你要翻开哪些牌就能找出这个数？
生：只要翻开最后一张，因为一个数最大的因数是它本身。
师：如果不允许翻开最后一张呢？
生：翻开第2张和第5张，或者第3张和第4张，因为它们的乘积就是这个数。
师：如果这些牌都是8的倍数，你要翻开哪些牌就能知道这个数？
生1：只要翻开第一张，因为一个数最小的倍数是它本身。
生2：翻开第二张也行，因为第2张是这个数的2倍，只要除以2就知道了。
生3：翻开任意一张都可以，只要拿这一张除以它的位置，都能得到这个数。
……
学生已能熟练运用模型解决问题，教师在最后设计这一有层次的综合性问题来挑战学生，学生在挑战成功之后获得了巨大的成就感、满足感，更加强化了模型思想在学生心中的价值。
所以一节数学课要让学生充分经历从构建模型、理解模型到运用模型来解决问题的过程，学生才会慢慢感悟到模型思想的价值，同时也积累了探究问题的经验。这样做也正精准把握了这节课的核心知识、本质知识，学生深刻理解各知识之间的联系，从而对知识的建构更加结构化和系统化，教学效益也必将大大提高。