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摘 要:在数学教学题过程中,等价转化思想的应用是非常重要的和广泛的,通过适时等价转化取得化繁为简,化难为易的效果,同时也能较大程度地提高学生的解题应变能力.本文主要从等价转化的类型进行分析,帮助学生认识等价转化的思想实质,强化应用意识.
关键词:等价转化思想 高中数学 例题解析 分类讨论
中图分类号:G712 文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2010)08-121-01
等价转化的思想是中学数学的重要方法和技巧之一,也是历年高考的重点和难点之一,考察的内容灵活多样,在函数、方程、不等式、三角等方面有着广泛的应用.通过适时等价转化可以消除一些繁杂的运算和讨论,还可以使一些看似“一筹莫展”的问题“柳暗花明”.本文主要从等价转化的类型进行分析,帮助学生认识等价转化的思想实质,提高综合运用等价转化思想的技巧,强化应用意识.
一、代数和三角的转化
三角转化的特点是公式、性质、定理众多,灵活性强,一些非三角问题可以根据其题目的结构特点,选择适当的三角公式进行转化,能达到化繁为简,化难为易的效果.
例1 求函数 的值域.
本题命题意图主要是考察根据函数自变量的取值条件确定函数值域的知识,解题的难点是解析式中存在两个根式,难于转化,很多学生易想到的思想是直接进行换元,这样容易忽略自变量的取值条件,也很难解决根号问题.正确的解题思想应该是以(x-1)+(5-x)=4为条件找到解决问题的突破口,利用三角公式,可设x-1及
5-x,两式相加可消去得
,
运用等价转化的思想将代数函数值域问题转化为三角函数值域问题,当时,y2有最小值4,即y有最小值2;当 时,y2有最大值8,即y有最大值,故原函数的值域为。
二、数与形的转化
一些代数问题若能转化为三角图形或直角坐标系下的几何图形解决,可达到直观明了,避免大量推理过程的效果.常用有以下方法:(1)由代数式的几何意义构造对应的图形,利用代数式与图形的对应关系,借助图象观察求解;(2)利用函数与图象的关系,借助图象观察求解。
例2已知 ,求证:
.
本题命题意图主要是考察不等式的证明.证明的难点是不等式中涉及的未知量个数较多,形式复杂,没有较直接的不等式性质可运用.学生较易想到的方法是将不等式作左右平方运算的等价变换来理解再证明,但此方法无法化解所有的根号,难以解决问题.有利条件是各因式有明显的变化规律.较简便的方法是抓住不等式左边各项代数式的特征与三角形余弦定理的对应关系获得代数式的几何意义,构造对应的三角形(下图),
这样可借助图象观察求解.
在△ABC中,根据正弦定理有
三式相加即原不等式得证。
三、实数与复数的转化
实数与复数是两个完全不同的概念,但我们常用
来实现实数与复数间的转化技巧。
例3 已知 ,求证:
.
本题命题意图同样是考察不等式的证明.难点及有利条件与例3相似,解题的突破口应是抓住与复数
的模的对应关系,以及不等式左边其它各项代数式有类似的对应,将原不等式转化为
这样利用复数运算法则可证明不等式。
四、代数式与数列的转化
将代数式用变形的方法转化为数列,在解题过程中是非常规的,具创造性,值得探索。我们常把已知代数式变形为数列的通项公式、求和公式或中项公式等,从而转化为用数列的知识来解决问题。
例4 ,且,试求和的值.
试求和 的值。
本题命题意图是考察三角函数求值的问题,所求与
都是较简单的三角函数式,通过建立方程组
求解,可解决问题.为培养学生的发散思维和探索能力,可引导学生寻求其它解法。利用条件 与等比中项公式的对应关系,构造等比数列、、 ,则可设 ,,其中,故由
解得,
所以 ,.
这样利用公比这个特殊元素参与计算,会使求解过程更为简便。
五、代数式与函数的转化
对于某些非函数的求值问题,有时可根据题目的结构特征和内在规律,恰当地构造辅助函数,再利用函数的相关性质解决问题。运用这种解法的要求是要创造性地使用题设条件。
例5 已知 ,且满足+
,试求的值.
本题是另一个根据条件求代数式的值的问题.本题的突破口是尽力挖掘 与这两个元素在条件和问题中相对的独立性,构造函数 ,将条件
,
转化为 与 的函数值的关系
,
又易知 在R上是单调递增,所以
即 .
以上是各类等价转化在数学解题中的应用.总而言之,等价转化是解决问题的重要思维模式,也是分析问题和解决问题的重要的思想和方法,无论从培养学生的能力角度出发,还是从适应考试而言,都是非常重要的.在数学教学过程中要注意等价转化思想的渗透,有意识引导学生思考教材中各章节理论间的内在联系,对概念、定理、公式、法则的深刻理解,是运用等价转化思想的基础;充分发挥观察、联想、类比、分析的能力,是实现等价转化的桥梁;熟悉化、简单化、直观化、标准化是实施等价转化应遵循的原则.等价转化的思想在数学中的应用,能较大程度地提高学生的解题应变能力和数学素养.
关键词:等价转化思想 高中数学 例题解析 分类讨论
中图分类号:G712 文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2010)08-121-01
等价转化的思想是中学数学的重要方法和技巧之一,也是历年高考的重点和难点之一,考察的内容灵活多样,在函数、方程、不等式、三角等方面有着广泛的应用.通过适时等价转化可以消除一些繁杂的运算和讨论,还可以使一些看似“一筹莫展”的问题“柳暗花明”.本文主要从等价转化的类型进行分析,帮助学生认识等价转化的思想实质,提高综合运用等价转化思想的技巧,强化应用意识.
一、代数和三角的转化
三角转化的特点是公式、性质、定理众多,灵活性强,一些非三角问题可以根据其题目的结构特点,选择适当的三角公式进行转化,能达到化繁为简,化难为易的效果.
例1 求函数 的值域.
本题命题意图主要是考察根据函数自变量的取值条件确定函数值域的知识,解题的难点是解析式中存在两个根式,难于转化,很多学生易想到的思想是直接进行换元,这样容易忽略自变量的取值条件,也很难解决根号问题.正确的解题思想应该是以(x-1)+(5-x)=4为条件找到解决问题的突破口,利用三角公式,可设x-1及
5-x,两式相加可消去得
,
运用等价转化的思想将代数函数值域问题转化为三角函数值域问题,当时,y2有最小值4,即y有最小值2;当 时,y2有最大值8,即y有最大值,故原函数的值域为。
二、数与形的转化
一些代数问题若能转化为三角图形或直角坐标系下的几何图形解决,可达到直观明了,避免大量推理过程的效果.常用有以下方法:(1)由代数式的几何意义构造对应的图形,利用代数式与图形的对应关系,借助图象观察求解;(2)利用函数与图象的关系,借助图象观察求解。
例2已知 ,求证:
.
本题命题意图主要是考察不等式的证明.证明的难点是不等式中涉及的未知量个数较多,形式复杂,没有较直接的不等式性质可运用.学生较易想到的方法是将不等式作左右平方运算的等价变换来理解再证明,但此方法无法化解所有的根号,难以解决问题.有利条件是各因式有明显的变化规律.较简便的方法是抓住不等式左边各项代数式的特征与三角形余弦定理的对应关系获得代数式的几何意义,构造对应的三角形(下图),
这样可借助图象观察求解.
在△ABC中,根据正弦定理有
三式相加即原不等式得证。
三、实数与复数的转化
实数与复数是两个完全不同的概念,但我们常用
来实现实数与复数间的转化技巧。
例3 已知 ,求证:
.
本题命题意图同样是考察不等式的证明.难点及有利条件与例3相似,解题的突破口应是抓住与复数
的模的对应关系,以及不等式左边其它各项代数式有类似的对应,将原不等式转化为
这样利用复数运算法则可证明不等式。
四、代数式与数列的转化
将代数式用变形的方法转化为数列,在解题过程中是非常规的,具创造性,值得探索。我们常把已知代数式变形为数列的通项公式、求和公式或中项公式等,从而转化为用数列的知识来解决问题。
例4 ,且,试求和的值.
试求和 的值。
本题命题意图是考察三角函数求值的问题,所求与
都是较简单的三角函数式,通过建立方程组
求解,可解决问题.为培养学生的发散思维和探索能力,可引导学生寻求其它解法。利用条件 与等比中项公式的对应关系,构造等比数列、、 ,则可设 ,,其中,故由
解得,
所以 ,.
这样利用公比这个特殊元素参与计算,会使求解过程更为简便。
五、代数式与函数的转化
对于某些非函数的求值问题,有时可根据题目的结构特征和内在规律,恰当地构造辅助函数,再利用函数的相关性质解决问题。运用这种解法的要求是要创造性地使用题设条件。
例5 已知 ,且满足+
,试求的值.
本题是另一个根据条件求代数式的值的问题.本题的突破口是尽力挖掘 与这两个元素在条件和问题中相对的独立性,构造函数 ,将条件
,
转化为 与 的函数值的关系
,
又易知 在R上是单调递增,所以
即 .
以上是各类等价转化在数学解题中的应用.总而言之,等价转化是解决问题的重要思维模式,也是分析问题和解决问题的重要的思想和方法,无论从培养学生的能力角度出发,还是从适应考试而言,都是非常重要的.在数学教学过程中要注意等价转化思想的渗透,有意识引导学生思考教材中各章节理论间的内在联系,对概念、定理、公式、法则的深刻理解,是运用等价转化思想的基础;充分发挥观察、联想、类比、分析的能力,是实现等价转化的桥梁;熟悉化、简单化、直观化、标准化是实施等价转化应遵循的原则.等价转化的思想在数学中的应用,能较大程度地提高学生的解题应变能力和数学素养.