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“综合与实践”是以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。数学思辨是指用数学的方法从数学的角度进行思考和辨析，教师通常会在例题的讲解中逐步引导、培养学生思辨能力。
例题的多解多变在教学之中，往往能起到引导作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。对一道数学题或联想，运用类比、推广的方式，可以得到一系列新的题目。积极开展多种变式题的求解，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：
例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则
x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-12 ）2+12
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知
当x=12 时，x2+y2取最小值12 ；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。
解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x=cos2θ，y=sin2θ 其中θ∈[0，π2 ]
则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ
=1-12 （2sinθcosθ）2=1-12 sin22θ
=1-12 ×1-cos4θ2 =34 +14 cos4θ
于是，当cos4θ=-1时，x2+y2取最小值12 ；
当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。
评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决；而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。
解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x=12 +t， y=12 -t，其中t∈[-12 ，12 ]
于是，x2+y2= （12 +t）2+（12 -t）2=12 +2t2 t2∈[0，14 ]
所以，当t2=0时，x2+y2取最小值12 ；当t2=14 时，x2+y2取最大值1。
评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。
这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同。教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。
解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1
则 xy≤（x+y）24 =14 ，从而0≤xy≤14
于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy
所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=14 时，x2+y2取最小值12 。
评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。
解法四：（解析几何思想）设d=x2+y2 ，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段 上的点到原点的最大和最小距离就可。
当点C与A或B重合时，dmax=1，则（x2+y2）max=1
当OC⊥AB时dmin=2 2 ，则（x2+y2）min=12
评注：用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。
解法五：（数形结合思想）设x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r的动圆，记为⊙F。
于是，问题转化为⊙F与线段
有公共点，求r的变化范围。
当⊙F经过线段AB端点时rmax=1；当⊙F与线段AB相切时rmin=2 2
则 12 ≤x2+y2≤1
评注：此解法与解法四并无本质区别，关键是数形结合思想的形成。
至此，解答本题的几种常见方法介绍完毕，下面展示对本题的变式和推广。
变式1：已知a、b为非负数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。
变式2：已知x、y≥0且x+y=1，能求x8+y8的取值范围吗？x8+y6呢？x7+y7的范围能求吗？
变式3：若x、y≥0且x+y=1，能求得12n-1 ≤xn+yn≤1的结论吗？
这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。在数学教学中，若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学，不但可以抓好基础知识点，还可以激发学生的探求欲望，提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。
发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。新课
程提倡注重过程，要让学生自己主宰学习的认知过程，亲自去实践探索知识的奥秘。探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展。在教学中，要加强实践操作，学生通过自己实践、思索，以“动”促“思”，对所学的内容才能真正有所领悟，进而内化为自己所有，逐步形成自己的数学认知结构，并享受学习的快乐。
例题的多解多变在教学之中，往往能起到引导作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。对一道数学题或联想，运用类比、推广的方式，可以得到一系列新的题目。积极开展多种变式题的求解，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：
例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则
x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-12 ）2+12
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知
当x=12 时，x2+y2取最小值12 ；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。
解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x=cos2θ，y=sin2θ 其中θ∈[0，π2 ]
则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ
=1-12 （2sinθcosθ）2=1-12 sin22θ
=1-12 ×1-cos4θ2 =34 +14 cos4θ
于是，当cos4θ=-1时，x2+y2取最小值12 ；
当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。
评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决；而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。
解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x=12 +t， y=12 -t，其中t∈[-12 ，12 ]
于是，x2+y2= （12 +t）2+（12 -t）2=12 +2t2 t2∈[0，14 ]
所以，当t2=0时，x2+y2取最小值12 ；当t2=14 时，x2+y2取最大值1。
评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。
这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同。教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。
解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1
则 xy≤（x+y）24 =14 ，从而0≤xy≤14
于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy
所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=14 时，x2+y2取最小值12 。
评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。
解法四：（解析几何思想）设d=x2+y2 ，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段 上的点到原点的最大和最小距离就可。
当点C与A或B重合时，dmax=1，则（x2+y2）max=1
当OC⊥AB时dmin=2 2 ，则（x2+y2）min=12
评注：用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。
解法五：（数形结合思想）设x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r的动圆，记为⊙F。
于是，问题转化为⊙F与线段
有公共点，求r的变化范围。
当⊙F经过线段AB端点时rmax=1；当⊙F与线段AB相切时rmin=2 2
则 12 ≤x2+y2≤1
评注：此解法与解法四并无本质区别，关键是数形结合思想的形成。
至此，解答本题的几种常见方法介绍完毕，下面展示对本题的变式和推广。
变式1：已知a、b为非负数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。
变式2：已知x、y≥0且x+y=1，能求x8+y8的取值范围吗？x8+y6呢？x7+y7的范围能求吗？
变式3：若x、y≥0且x+y=1，能求得12n-1 ≤xn+yn≤1的结论吗？
这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。在数学教学中，若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学，不但可以抓好基础知识点，还可以激发学生的探求欲望，提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。
发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。新课
程提倡注重过程，要让学生自己主宰学习的认知过程，亲自去实践探索知识的奥秘。探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展。在教学中，要加强实践操作，学生通过自己实践、思索，以“动”促“思”，对所学的内容才能真正有所领悟，进而内化为自己所有，逐步形成自己的数学认知结构，并享受学习的快乐。