如图1，半圆的圆心为O，AB为直径，AC和BD是AB的垂线，P为半圆上不同于A和B的任意一点，过P作半圆的切线，分别交AC和BD于M和N.这个构图虽然简单，却能引出多个结论.
　　图1图2结论1：如图：2，过P作PQ⊥AB交AB于Q，连AN和BM，则PQ，AN，BM三线共点；
　　结论2：设AN和BM的交点为G，则PG=QG；
　　结论3：如图3，连QM和QN，则QP是∠MQN的角平分线；
　　结论4：如图4，连OM和ON，则OM⊥ON；
　　结论5：设半圆的半径为OA=r，则r是AM和BN的几何平均值，即AM·BN=r2；
　　结论6：PQ是AM和BN的调和平均值，即21PQ=11AM+11BN.
　　图3图4证明如下.
　　（1）如图2，设AN和BM的交点为G，连PG，因为AM∥BN，所以△AGM∽△NGB，则有AM1NB=MG1GB，又因为P为切点，因而有AM=MP，NB=PN，从而得到MP1PN=MG1GB，故有PG∥BN，由于也有PQ∥BN，则有PQ过G点，从而PQ，AN，BM三线共点.
　　（2）如图2，（1）中已证PG∥BN，也有PG∥AN，则有PG1NB=MG1MB，即PG=MG·NB1MB，同理可得QG=GB·AM1MB，因为（1）中已证AM1NB=MG1GB，即MG·NB=GB·AM，从而有PG=QG.
　　（3）如图3，因为AM∥PQ∥BN，所以MP1PN=AQ1QB，因为MP=AM，PN=BN，所以AM1BN=AQ1QB，又有∠A=∠B，从而△AMQ∽△BNQ，这样便有∠AQM=∠BQN，而QP⊥AB，故也有∠PQM=∠PQN，即QP是∠MQN的角平分线.
　　（4）如图5，连接OP，则OP⊥MP，加之MP=MA，容易看出△AMQ≌△AMQ，从而∠1=∠2，同理可证∠3=∠4，则∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即OM⊥ON.
　　图5图6（5）如图5，由（4）已证∠2+∠4=90°，则可证△AMO∽△BON，从而AM1BO=AO1BN，即AM·BN=BO·AO=r·r=r2.
　　（6）如图6，由于AM∥PQ∥BN，所以PG1BN=MP1MN=MP1MP+PN=AM1AM+BN，即有PG=AM·BN1AM+BN，由（2），PG=GQ，则PG=PQ12，即PQ12=AM·BN1AM+BN，从而有21PQ=AM+BN1AM·BN=11AM+11BN.证毕.