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摘要：作为中国数学史上重要的发现，杨辉三角带我们领略数字的奥秘，为我们打开二项式系数的大门。现在，让我们从杨辉三角出发，探索它的精妙绝伦的性质。用研究与总结来揭开它神秘的面纱。
关键词：三角的秘密；杨辉三角；数学探索
杨辉三角，又称贾宪三角，帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，最早由贾宪在《释锁算术》提出（约公元11世纪），并且杨辉在《详解九章算术》中详细说明。在欧洲，这被认为是法国数学家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）首先发现的。也就是说，杨辉三角的发现比欧洲早五百年，这是值得中华民族自豪的数学成就。
杨辉三角是一种由数字组成的，能表示二项式系数的数学模型
单从数字排列方面研究：在同一行中，每行两端都是1；在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。而从二项式系数方面来看：第n行的数列为（a b）n的展开式的二次项系数C0n，C1n，…Cnn。实际上，上述两种解释是等价的，不妨设表中任意不为1的数为Crn 1，那么它“肩上”的两数分别为Cr-1n，Crn，易证Crn 1=
Cr-1n Crn。由此我们发现了杨辉三角与二项式系数之间的一个基本联系。
由此发散，可以找到更多神奇的性質。
1. 将第n行的数做和记为f（n），会发现f（n）=2n-1。这其实与二项式系数有关，已知（a b）m=∑mk=0Ckmakbm-k，令a，b=1，则有2m=∑mk=0Ckm，又因为第n行的数代表
（a b）n-1展开的二项式系数，所以得证。
2. 杨辉三角与高阶等差数列。仔细观察杨辉三角的腰，从右往左第一列分别为1，1，1…；第二列分别为1，2，3…；第三列分别为1，3，6，10，15…，这不禁让我想起数学老师曾提到过的“高阶等差数列”。所谓高阶等差数列，对于一个数列{an}，把它连续两项an 1与an的差记为bn，则数列{bn}称为原数列{an}的一阶差数列，再将{bn}重复上述操作；以此类推，可以得到{an}的p阶差数列，如果它的p阶差数列是一个非零常数列，那么称{an}为p阶等差数列。
回到这个问题，第二列是个一阶等差数列，第三列是个二阶等差数列……第n列是个（n-1）（n>1）阶等差数列。而且第n列是第（n 1）列的一阶差数列，第n列是第（n k）列的k阶差数列。此规律的证明可从定义入手，某列中的相邻两数am、am 1之差，等于am 1右肩上的数，依次类推，它右边的一列就是它的一阶差数列。并且从右向左第n（n≥0）列，可表示为C0n-1、C1n、…Ckn-1 k，所以它们的前k项和C0n-1 C1n … Ck-1n k-2=C0n C1n … Ck-1n k-2=C1n 1 C2n 1 … Ck-1n k-2=…。这是一个特殊的数列求和公式。
3. 根据“2”的推导思路，我们还可以发现一个有趣规律。截取一部分杨辉三角，
会发现连线上的数字之和恰好等于箭头所指数字。第n列的前k项和等于第n 1列的第k项，即
Cn-1n-1 Cn-1n Cn-1n 1 … Cn-1n k-2=Cnn k-1可用数学归纳法证明。
（1）易知k=1时成立，
（2）假设k=m时成立，
则Cn-1n-1 Cn-1n Cn-1n 1 … Cn-1n m-2=Cnn m-1
（3）Cn-1n-1 Cn-1n Cn-1n 1 … Cn-1n m-2 Cn-1n m-1=Cnn m-1 Cn-1n m-1=Cnn m=Cnn m-1 1，所以k=m 1时成立。
由（1）（2）知对任意正整数k成立。
4. 杨辉三角与斐波那契数列的关系。
图中被标记的数分别相加，将会得道斐波那契数列1，1，2，3，5…
众所周知，简单地理解斐波那契数列，其中每个大于1的数，都等于它前两项的和。从图形中，根据杨辉三角的特点，也不难发现此规律。
由此，我们可总结出斐波那契数列的组合数通式。
据观察，a1=C00，a2=C01，a3=C11 C02，a4=C12 C03，a5=C22 C13 C04，a6=C23 C14 C05，…
我们猜想a2n 1=Cnn Cn-1n 1 Cn-2n 2 … C02n；a2n=
Cn-1n Cn-2n 1 Cn-3n 2 … C02n-1。
并且，可以用数学归纳法证明。
（1）易知n=1，n=2时成立。
（2）假设n=k时成立则a2k=Ck-1k Ck-2k 1 … C02k-1，
a2k 1=Ckk Ck-1k 1 … C02k
（3）a2k a2k 1=Ckk 1 Ck-1k 2 … C12k C02k=C（k 1）-1k 1 C（k 1）-2（k 1） 1 … C12（k 1）-2 C02（k 1）-1=a2（k 1）成立，同理，a2k 1 a2k 2=a2（k 1） 1成立。所以n=k 1时成立。
所以由（1）（2）知，对任意正整数成立。
总的来说，通过杨辉三角的特点规律进行发散，并进行解释说明，可以帮助我们更好地认识杨辉三角，更好地运用组合数知识，更好地探索新的解题方法，更好地探秘数学世界。
作者简介：杨海跃，山东省莱芜市，莱芜一中。
关键词：三角的秘密；杨辉三角；数学探索
杨辉三角，又称贾宪三角，帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，最早由贾宪在《释锁算术》提出（约公元11世纪），并且杨辉在《详解九章算术》中详细说明。在欧洲，这被认为是法国数学家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）首先发现的。也就是说，杨辉三角的发现比欧洲早五百年，这是值得中华民族自豪的数学成就。
杨辉三角是一种由数字组成的，能表示二项式系数的数学模型
单从数字排列方面研究：在同一行中，每行两端都是1；在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。而从二项式系数方面来看：第n行的数列为（a b）n的展开式的二次项系数C0n，C1n，…Cnn。实际上，上述两种解释是等价的，不妨设表中任意不为1的数为Crn 1，那么它“肩上”的两数分别为Cr-1n，Crn，易证Crn 1=
Cr-1n Crn。由此我们发现了杨辉三角与二项式系数之间的一个基本联系。
由此发散，可以找到更多神奇的性質。
1. 将第n行的数做和记为f（n），会发现f（n）=2n-1。这其实与二项式系数有关，已知（a b）m=∑mk=0Ckmakbm-k，令a，b=1，则有2m=∑mk=0Ckm，又因为第n行的数代表
（a b）n-1展开的二项式系数，所以得证。
2. 杨辉三角与高阶等差数列。仔细观察杨辉三角的腰，从右往左第一列分别为1，1，1…；第二列分别为1，2，3…；第三列分别为1，3，6，10，15…，这不禁让我想起数学老师曾提到过的“高阶等差数列”。所谓高阶等差数列，对于一个数列{an}，把它连续两项an 1与an的差记为bn，则数列{bn}称为原数列{an}的一阶差数列，再将{bn}重复上述操作；以此类推，可以得到{an}的p阶差数列，如果它的p阶差数列是一个非零常数列，那么称{an}为p阶等差数列。
回到这个问题，第二列是个一阶等差数列，第三列是个二阶等差数列……第n列是个（n-1）（n>1）阶等差数列。而且第n列是第（n 1）列的一阶差数列，第n列是第（n k）列的k阶差数列。此规律的证明可从定义入手，某列中的相邻两数am、am 1之差，等于am 1右肩上的数，依次类推，它右边的一列就是它的一阶差数列。并且从右向左第n（n≥0）列，可表示为C0n-1、C1n、…Ckn-1 k，所以它们的前k项和C0n-1 C1n … Ck-1n k-2=C0n C1n … Ck-1n k-2=C1n 1 C2n 1 … Ck-1n k-2=…。这是一个特殊的数列求和公式。
3. 根据“2”的推导思路，我们还可以发现一个有趣规律。截取一部分杨辉三角，
会发现连线上的数字之和恰好等于箭头所指数字。第n列的前k项和等于第n 1列的第k项，即
Cn-1n-1 Cn-1n Cn-1n 1 … Cn-1n k-2=Cnn k-1可用数学归纳法证明。
（1）易知k=1时成立，
（2）假设k=m时成立，
则Cn-1n-1 Cn-1n Cn-1n 1 … Cn-1n m-2=Cnn m-1
（3）Cn-1n-1 Cn-1n Cn-1n 1 … Cn-1n m-2 Cn-1n m-1=Cnn m-1 Cn-1n m-1=Cnn m=Cnn m-1 1，所以k=m 1时成立。
由（1）（2）知对任意正整数k成立。
4. 杨辉三角与斐波那契数列的关系。
图中被标记的数分别相加，将会得道斐波那契数列1，1，2，3，5…
众所周知，简单地理解斐波那契数列，其中每个大于1的数，都等于它前两项的和。从图形中，根据杨辉三角的特点，也不难发现此规律。
由此，我们可总结出斐波那契数列的组合数通式。
据观察，a1=C00，a2=C01，a3=C11 C02，a4=C12 C03，a5=C22 C13 C04，a6=C23 C14 C05，…
我们猜想a2n 1=Cnn Cn-1n 1 Cn-2n 2 … C02n；a2n=
Cn-1n Cn-2n 1 Cn-3n 2 … C02n-1。
并且，可以用数学归纳法证明。
（1）易知n=1，n=2时成立。
（2）假设n=k时成立则a2k=Ck-1k Ck-2k 1 … C02k-1，
a2k 1=Ckk Ck-1k 1 … C02k
（3）a2k a2k 1=Ckk 1 Ck-1k 2 … C12k C02k=C（k 1）-1k 1 C（k 1）-2（k 1） 1 … C12（k 1）-2 C02（k 1）-1=a2（k 1）成立，同理，a2k 1 a2k 2=a2（k 1） 1成立。所以n=k 1时成立。
所以由（1）（2）知，对任意正整数成立。
总的来说，通过杨辉三角的特点规律进行发散，并进行解释说明，可以帮助我们更好地认识杨辉三角，更好地运用组合数知识，更好地探索新的解题方法，更好地探秘数学世界。
作者简介：杨海跃，山东省莱芜市，莱芜一中。