论文部分内容阅读
利用平面向量证明三点共线是一种常见的较为简单的方法（相对于用斜率、距离、直线、定比分点等的证明方法），但学生对三点共线的应用大都不太熟练，在这里做一个整理，共广大师生参考.
定理1：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.
定理2：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a与b（b≠0）共线.
推论1：设： c与d为不共线向量，若向量a=x1c+y1d（x1，y1∈R）与b=x2c+y2d（x2，y2∈R）共线，则有x1y2=x2y1=0
推论2：已知不共线向量OA，OB，OC，且OC=λOA+μOB，则A，B，C三点共线的充要条件为：λ+μ=1（λ，μ∈R）
一、 证明三点共线
例1 已知三点A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），证明A，B，C三点共线.
证明：∵A（-1，1），B（1，3），C（2，5）得AB=（2，4），AC=（3，6）
又2×6=4×3 ∴A B∥AC（由定理2），
又直线AB，与直线AC有公共点A，故A，B，C三点共线
例2 设AB=a+5b，BC=-2a+8b，C=3（a-b）
求证：A，B，D三点共线
证明：由AB=a+5b，BC=-2a+8b，C D=3（a-b）得
AD=AB+BC+CD=2a+10b=2AB，故AD∥AB（由定理1）
又直线AB，与直线AD有公共点A，故A，B，D三点共线
二、 三点共线的应用
（一） 题中共线条件明显，学生较为容易入手.
例3 若a，b是两个不共线的向量，a与b起点相同，则当t为何值时， a，tb，13（a+b）三个向量的终点在同一条直线上？
解 设：OA=a，OB=tb，OC=13（a+b）则
AC=OC-OA=-23a+13b，AB=OB-OA=-a+tb
由于A，B，C三点共线，有-23t=-13（由推论1），即t=12
因此，当t=12时，a，tb，13（a+b）三个向量的终点在同一条直线上.
例4 设OA=（1，-2），OB=（a，-1），OC=（-b，0），（a>0，b>0），O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a+2b最小值为
解 由OA=（1，-2），OB=（a，-1），OC=（-b，0），得
AB=（a-1，1），AC=（-b，-1，2），由A，B，C三点共线，得
2（a-1）=-b-1（由定理2），即2a+b=1，又a>0，b>0
故1a+2b=1a+2b（2a+b）=ba+4ab+4≥24+4=8，
当且仅当ba=4ab，即a=14，b=12时取等号.
∴1a+2b最小值为8.
（二） 题中共线条件不明显，学生较难入手.
例5 如图，在△ABC中，AN=13NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+211AC，则实数m的值为
例5图
解法1：设：AB=a，AC=b，则
BP=AP-AB=（m-1）a+211b，
BN=AN-AB=14AC-AB=-a+14b，
由B，N，P三点共线，得
14（m-1）=-211（由推论1），即m=311
解法2：由AP=mAB+211AC，AN=13NC，得
AP=mAB+211AC=mAB+811AN
由B，N，P三点共线，得m+811=1（由推论2），即m=311
说明：图中B，N，P三点共线是关键.
例6 如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=
例6图
解法1：令AB=a，AC=b，则AO=12（AB+AC）=12（a+b）
MO=AO-AM=12（a+b）-1ma=12-1ma+12b
MN=AN-AM=-1ma+1nb
由M，Q，N三点共线，得
12-1m1n=12-1m（由推论1），化简得
12m+12n=1mn，即m+n=2
说明：图中M，O，N三点共线是关键.
解法2：∵O是BC的中点，∴AO=12（AB+AC）
由题意AB=mAM，AC=nAN，得AO=m2AM+n2AN
又∵M，O，N三点共线，∴m2+n2=1（由推论2）即m+n=2
说明：巧妙灵活地使用三点共线的结论，在解题的过程中能起到事倍功半的作用.（例5，例6的解法2）
在学习过程中，我们要善于思考、善于总结、善于整理，这样才能更好地理解问题，更好地解决问题，并能灵活地应用问题.
定理1：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.
定理2：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a与b（b≠0）共线.
推论1：设： c与d为不共线向量，若向量a=x1c+y1d（x1，y1∈R）与b=x2c+y2d（x2，y2∈R）共线，则有x1y2=x2y1=0
推论2：已知不共线向量OA，OB，OC，且OC=λOA+μOB，则A，B，C三点共线的充要条件为：λ+μ=1（λ，μ∈R）
一、 证明三点共线
例1 已知三点A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），证明A，B，C三点共线.
证明：∵A（-1，1），B（1，3），C（2，5）得AB=（2，4），AC=（3，6）
又2×6=4×3 ∴A B∥AC（由定理2），
又直线AB，与直线AC有公共点A，故A，B，C三点共线
例2 设AB=a+5b，BC=-2a+8b，C=3（a-b）
求证：A，B，D三点共线
证明：由AB=a+5b，BC=-2a+8b，C D=3（a-b）得
AD=AB+BC+CD=2a+10b=2AB，故AD∥AB（由定理1）
又直线AB，与直线AD有公共点A，故A，B，D三点共线
二、 三点共线的应用
（一） 题中共线条件明显，学生较为容易入手.
例3 若a，b是两个不共线的向量，a与b起点相同，则当t为何值时， a，tb，13（a+b）三个向量的终点在同一条直线上？
解 设：OA=a，OB=tb，OC=13（a+b）则
AC=OC-OA=-23a+13b，AB=OB-OA=-a+tb
由于A，B，C三点共线，有-23t=-13（由推论1），即t=12
因此，当t=12时，a，tb，13（a+b）三个向量的终点在同一条直线上.
例4 设OA=（1，-2），OB=（a，-1），OC=（-b，0），（a>0，b>0），O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a+2b最小值为
解 由OA=（1，-2），OB=（a，-1），OC=（-b，0），得
AB=（a-1，1），AC=（-b，-1，2），由A，B，C三点共线，得
2（a-1）=-b-1（由定理2），即2a+b=1，又a>0，b>0
故1a+2b=1a+2b（2a+b）=ba+4ab+4≥24+4=8，
当且仅当ba=4ab，即a=14，b=12时取等号.
∴1a+2b最小值为8.
（二） 题中共线条件不明显，学生较难入手.
例5 如图，在△ABC中，AN=13NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+211AC，则实数m的值为
例5图
解法1：设：AB=a，AC=b，则
BP=AP-AB=（m-1）a+211b，
BN=AN-AB=14AC-AB=-a+14b，
由B，N，P三点共线，得
14（m-1）=-211（由推论1），即m=311
解法2：由AP=mAB+211AC，AN=13NC，得
AP=mAB+211AC=mAB+811AN
由B，N，P三点共线，得m+811=1（由推论2），即m=311
说明：图中B，N，P三点共线是关键.
例6 如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=
例6图
解法1：令AB=a，AC=b，则AO=12（AB+AC）=12（a+b）
MO=AO-AM=12（a+b）-1ma=12-1ma+12b
MN=AN-AM=-1ma+1nb
由M，Q，N三点共线，得
12-1m1n=12-1m（由推论1），化简得
12m+12n=1mn，即m+n=2
说明：图中M，O，N三点共线是关键.
解法2：∵O是BC的中点，∴AO=12（AB+AC）
由题意AB=mAM，AC=nAN，得AO=m2AM+n2AN
又∵M，O，N三点共线，∴m2+n2=1（由推论2）即m+n=2
说明：巧妙灵活地使用三点共线的结论，在解题的过程中能起到事倍功半的作用.（例5，例6的解法2）
在学习过程中，我们要善于思考、善于总结、善于整理，这样才能更好地理解问题，更好地解决问题，并能灵活地应用问题.