1。问题的提出
　　我们在平时教学中曾遇到求两相交圆公共弦所在直线的方程。大家都知道这种题的简洁解法是先把两圆的方程整理成一般式，然后再相减，所得到的直线方程就是两圆公共弦的方程。现在的问题是如果把非同心圆的圆（内含和外离）的方程强行相减，也必然得到一方程，那么该方程所表示的曲线是什么？该曲线与已知两圆的关系怎样？在内含和外离时我们能否像在两圆相交时一样，用圆规、直尺作出该曲线？该曲线又有怎样的几何性质？所有这些问题本文将做一一探究。
　　2。建立坐标求曲线
　　为了研究问题的需要，假设两半径分别为R，r（不妨设R≥r），圆心距为d，以大圆圆心为原点O，连心线OC为x轴，建立如图1所示的平面直角坐标系。
　　图1图2
　　所以两圆的方程分别为圆O：x2+y2=R2①，圆C：（x-d）2+y2=r2②。
　　①-②并整理得：x=R2+d2-r22d，它是一条垂直于x轴的直线，设为直线l。
　　3。尺规作图画直线
　　像作两相交圆公共弦所在直线一样，下面我们用圆规，直尺来作直线l。
　　作法：（1）设圆O与y轴正向相交于A，过A作小圆C的切线AB，B为切点；
　　（2）过O作OD平行并等于AB，连接CD；
　　（3）以点D为顶点，OD为边，在C点的同侧作∠ODE=∠OCD，交x轴于E；
　　（4）作线段OE的垂直平分线l，交x轴于M；直线l即为所求直线。如图2。
　　证明：由作法知：AC2=R2+d2，因为AB是圆C的切线，所以∠ABC=90°。
　　所以AB2=R2+d2-r2，因为OD平行且等于AB，所以OD2=R2+d2-r2。
　　因为∠ODE=∠OCD，∠DOC=∠EOD，
　　所以△ODE∽△OCD，所以OE=OD2OC，OM=12OE=OD22OC=R2+d2-r22d。
　　综上所述，把两圆的方程强行相减后得到一条垂直两圆的连心线，离大圆圆心距离为R2+d2-r22d的直线。当两圆外离时该直线介于两圆之间；两圆内含时，直线偏向小圆一侧，如图3。一般地，当两圆圆心均不在原点时，我们通过坐标轴旋转和平移可以得到同样的结论。特别地，当R=r时，l是线段OC的中垂线x=d2。
　　4。曲线的性质
　　我们在以上所作的直线l上任取一点P，过点P作圆O，圆C的切线PQ，PT，连接OP，CP，如图4。。
　　所以OM=R2+d2-r22d，无论两圆外离还是内含均有：PQ2-PT2=（PO2-R2）-（PC2-r2）=（PM2+OM2-R2）-（PM2+MC2-r2）。
　　（OM+MC）（OM-MC）+r2-R2=d*2*R2+d2-r22d-d-R2+r2=0。
　　图3图4
　　即直线l上任一点P到两圆的切线长相等。同时我们还能轻松地证明：到两圆切线长相等的轨迹，也即为直线l。
　　5。更远的思考
　　对于方程（x-a1）2+（y-b1）2+m[（x-a2）2+（y-b2）2]=0，在m=-1时前文已作了探究。可当m≠-1时，方程表示的曲线一定存在吗？若存在，条件又是什么？所得曲线与已知两圆位置关系又如何？笔者愿与同仁继续探究。
　　作者单位：江苏省怀仁中学