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【中图分类号】G63.23 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）32-0-02
对于没有给出解析式或尽管给出解析式但式中含有未知参数的函数问题，我们不妨称之为“抽象函数问题“，这类题因其复杂多变性而令學生难以捉摸，由于这类题一般能较深刻地体现函数的概念和性质等特性，又能与不等式方程等知识有机结合，因而能较好地培养和考查学生运用多种数学思想方法分析和解决问题的能力，从而成为高考考试命题的热点和学生学习中的难点。本文就把这类函数的解题途径做一归纳总结，以助同学们一臂之力！
途径一 特殊引路，巧妙运算
观察问题的特点，从特殊性入手，对题中某些变量赋以特殊值，然后运用数值的运算.推理，达到解决问题的目的，这种方法在解决问题时具有独特地功效，其方法简洁，新颖，是探求解题思路的重要思想方法之一。
例1.定义在上的函数，对于，都有
解：计算得：
由此猜想：
即是以6为周期的周期函数，
例2.函数具有以下性质：对于如果，那么
解：由已知得 ，于是
以此类推，可得：
途径二 赋值求值，简单快捷
赋值就是通过对抽象函数中的变量赋以特殊值，从而求某些特殊的函数值。赋值时要注意对变量赋以恰当的数值，才能正确地求出要求的函数值。是解决抽象函数问题的一个重要途径。
例3.函数的定义域为，且满足对都有
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明；
（3）若，且在（0，+∞）上是增函数，求的取值范围。
解：（1）在中令
得
（2）函数为增函数。证明如下：
在已知式中令得
再令得
∴函数为增函数。
∴不等式可化为
∵为偶函数
∴不等式（1）等价于
∵在（0，+∞）上为增函数
解得：
注：解有关抽象函数的不等式时，先把不等式转化为的形式，再利用函数的单调性转化为（为增函数）或（为减函数）
途径三 联想类比，寻找模型
联想就是通过观察，抓住数学题目有关部分的特征，以及它们之间的某种联系，会议和搜集与解题有关的知识和思想方法，把问题化归为熟悉的问题或想出新的方法，从而确定解题策略。利用联想，我们可以为抽象函数寻找一个函数作为代表，然后由具体函数的特征来类比研究抽象函数，这是解决抽象函数的又一个重要途径。
常见的三类抽象函数模型：
（1）一次函数模型
函数的定义域为R，且对于，都有
（2）指数函数模型
函数的定义域为R，且对于，都有
（3）对数函数模型
函数的定义域为（0，+∞），且对于，都有
例4.函数的定义域为R，且对于都有
且当时，则的值域为（ ）
分析：此种抽象函数属于指数函数类型，因此可取一特殊的指数函数。由题意可知该指数函数为减函数，
因而可取，所以函数的值域为（0，+∞）
∴应选B
证明如下：
在中令
得，即
∵当时
再令得
，故
即当时
综上可知：的值域为（0，+∞）.
注：熟练掌握抽象函数的几种模型，灵活运用，可大大节省解题时间。
途径四 紧扣概念，应用定义
数学概念是数学的基础，每一道数学题的解答都必须用到数学概念，因而数学概念是开启解题思路大门的一把金钥匙，理解和应用定义，是解决问题的利器。
例5.函数是偶数，且不恒等于零，则（ ）
（A）是偶函数
（B）是奇函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数
（D）不是奇函数也不是偶函数
分析：由已知且
又不恒等于0，
故是奇函数。选（B）
例6.已知函数的定义域为R，对于都满足，当时，，且不恒等于零，判断的奇偶性和单调性并证明.
注：本题灵活运用奇函数定义的等价形式通过特殊值得到结论。对于单调性的判断则是紧扣单调性概念，利用定义严格推导得到结论。
如果奇偶性不知道，还可以用如下方法证明：
这是一种常用的变换技巧。另外，对于指数函数类型的抽象函数的单调性的证明，也可以用此种变换技巧，对于对数函数类型的抽象函数的单调性的证明，则可以用下面的变换技巧：
然后再由题意判断是大于0还是小于0.
途径五 利用性质，合理推证
综合应用函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性作为解题的重要依据，在解决抽象函数问题时常常发挥出巨大的威力，这正是函数思想的充分应用。
注：将函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性有机的结合起来，是解决抽象函数问题的一个非常重要的途径，要求学生会灵活运用函数的性质，是对学生推理能力的一个灵活训练，对培养学生的推理能力有很大的帮助。
途径六 分类讨论，化整为零
对于抽象函数的复杂性，可将问题化为几个部分或步骤，再分别讨论每个部分或步骤，做到不重复不遗漏，从而得到问题的结论。
注：复合函数单调性的判断方法是同增异减。即：
以上仅总结了解决抽象函数问题的六种解题途径，而抽象函数问题的解题途径决非以上六种能够概括，可能还有其他的解题途径，有待于我们去发现，去概括，去总结。
对于没有给出解析式或尽管给出解析式但式中含有未知参数的函数问题，我们不妨称之为“抽象函数问题“，这类题因其复杂多变性而令學生难以捉摸，由于这类题一般能较深刻地体现函数的概念和性质等特性，又能与不等式方程等知识有机结合，因而能较好地培养和考查学生运用多种数学思想方法分析和解决问题的能力，从而成为高考考试命题的热点和学生学习中的难点。本文就把这类函数的解题途径做一归纳总结，以助同学们一臂之力！
途径一 特殊引路，巧妙运算
观察问题的特点，从特殊性入手，对题中某些变量赋以特殊值，然后运用数值的运算.推理，达到解决问题的目的，这种方法在解决问题时具有独特地功效，其方法简洁，新颖，是探求解题思路的重要思想方法之一。
例1.定义在上的函数，对于，都有
解：计算得：
由此猜想：
即是以6为周期的周期函数，
例2.函数具有以下性质：对于如果，那么
解：由已知得 ，于是
以此类推，可得：
途径二 赋值求值，简单快捷
赋值就是通过对抽象函数中的变量赋以特殊值，从而求某些特殊的函数值。赋值时要注意对变量赋以恰当的数值，才能正确地求出要求的函数值。是解决抽象函数问题的一个重要途径。
例3.函数的定义域为，且满足对都有
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明；
（3）若，且在（0，+∞）上是增函数，求的取值范围。
解：（1）在中令
得
（2）函数为增函数。证明如下：
在已知式中令得
再令得
∴函数为增函数。
∴不等式可化为
∵为偶函数
∴不等式（1）等价于
∵在（0，+∞）上为增函数
解得：
注：解有关抽象函数的不等式时，先把不等式转化为的形式，再利用函数的单调性转化为（为增函数）或（为减函数）
途径三 联想类比，寻找模型
联想就是通过观察，抓住数学题目有关部分的特征，以及它们之间的某种联系，会议和搜集与解题有关的知识和思想方法，把问题化归为熟悉的问题或想出新的方法，从而确定解题策略。利用联想，我们可以为抽象函数寻找一个函数作为代表，然后由具体函数的特征来类比研究抽象函数，这是解决抽象函数的又一个重要途径。
常见的三类抽象函数模型：
（1）一次函数模型
函数的定义域为R，且对于，都有
（2）指数函数模型
函数的定义域为R，且对于，都有
（3）对数函数模型
函数的定义域为（0，+∞），且对于，都有
例4.函数的定义域为R，且对于都有
且当时，则的值域为（ ）
分析：此种抽象函数属于指数函数类型，因此可取一特殊的指数函数。由题意可知该指数函数为减函数，
因而可取，所以函数的值域为（0，+∞）
∴应选B
证明如下：
在中令
得，即
∵当时
再令得
，故
即当时
综上可知：的值域为（0，+∞）.
注：熟练掌握抽象函数的几种模型，灵活运用，可大大节省解题时间。
途径四 紧扣概念，应用定义
数学概念是数学的基础，每一道数学题的解答都必须用到数学概念，因而数学概念是开启解题思路大门的一把金钥匙，理解和应用定义，是解决问题的利器。
例5.函数是偶数，且不恒等于零，则（ ）
（A）是偶函数
（B）是奇函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数
（D）不是奇函数也不是偶函数
分析：由已知且
又不恒等于0，
故是奇函数。选（B）
例6.已知函数的定义域为R，对于都满足，当时，，且不恒等于零，判断的奇偶性和单调性并证明.
注：本题灵活运用奇函数定义的等价形式通过特殊值得到结论。对于单调性的判断则是紧扣单调性概念，利用定义严格推导得到结论。
如果奇偶性不知道，还可以用如下方法证明：
这是一种常用的变换技巧。另外，对于指数函数类型的抽象函数的单调性的证明，也可以用此种变换技巧，对于对数函数类型的抽象函数的单调性的证明，则可以用下面的变换技巧：
然后再由题意判断是大于0还是小于0.
途径五 利用性质，合理推证
综合应用函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性作为解题的重要依据，在解决抽象函数问题时常常发挥出巨大的威力，这正是函数思想的充分应用。
注：将函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性有机的结合起来，是解决抽象函数问题的一个非常重要的途径，要求学生会灵活运用函数的性质，是对学生推理能力的一个灵活训练，对培养学生的推理能力有很大的帮助。
途径六 分类讨论，化整为零
对于抽象函数的复杂性，可将问题化为几个部分或步骤，再分别讨论每个部分或步骤，做到不重复不遗漏，从而得到问题的结论。
注：复合函数单调性的判断方法是同增异减。即：
以上仅总结了解决抽象函数问题的六种解题途径，而抽象函数问题的解题途径决非以上六种能够概括，可能还有其他的解题途径，有待于我们去发现，去概括，去总结。