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[摘 要]“乘法分配率”对学生来说是学习的难点，教师在进行教学时要基于学生的实际情况，制定科学、可行的教学策略，让学生充分理解知识的本质，引导学生自主构建新知。
[关键词]乘法分配律；体验；思考
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）02-026
乘法分配律是加减法与乘除法之间的纽带，并不是单一的运算关系，相对于其他运算定律，它是比较难理解和掌握的。加法、乘法交换律和结合律，形不变，学生很容易归纳、迁移、理解和应用，但分配律的变式很多，方法多样，即便对分配律的公式烂熟于心，在应用时也难免出错。特别是随着数域的扩充，出现小数、分数的乘法分配律时，这个内容更成了学生错误的高发区。
一、成因剖析
为什么看似简单的知识却让教师感觉越教越难？为什么学生对乘法分配律的学习总感觉是“镜中花、水中月”，不得其要领呢？我认为原因有以下几点：
1.教材方面
多数教材对这部分内容的介绍相对集中，若只选择部分“点”作为学习内容，就容易使教师和学生只看得见孤立的点状知识，看不到有内在联系的知识整体。如人教版、苏教版、北师大版教材都将运算定律（包括加法、乘法交换律、结合律和乘法分配律）安排在四年级下册，单独设置为一个单元进行教学。西南师大版、河北版、青岛版的教材将加法运算定律安排在四年级上册，乘法运算定律（乘法交换律、结合律和乘法分配律）则安排在四年级下册。浙教版教材分两大块进行教学：一块是三年级上册的加法与乘法交换律和结合律，穿插在两位数乘一位数与三位数乘一位数之间；另一块是三年级下册的乘法分配律，将长方形周长与面积、乘法分配律与两位数乘两位数等不同领域的内容整合为一个单元。教材编排知识的趣味性不强，联系不强，学生根本无法在短时间内理解和掌握知识，更谈不上灵活运用了。
2.教师方面
（1）依赖教材，缺少创造
部分教师唯教材至上，教学方法缺乏创新。有些教师甚至不说明乘法分配律使用的前提条件，也不引导学生了解乘法分配律的来龙去脉，更不注意让学生经历规律从发现到形成的全过程。
（2）注重外形，忽视内在
多数教师将教学重点放在观察算式的外在形式上，只关注学生对定律的形式进行记忆的情况，不注重引导学生理解和感悟内在算理，造成学生只会机械地记忆分配律的形式。
（3）重视练习，轻视体验
缺少对乘法分配律的深层体验，即使以题海为战术，学生由此积累的知识经验也不牢靠，稍加干扰就错误百出。
3.学生方面
（1）心理层面
三四年级的学生在遇到困难时，由于怕同学嘲笑，会下意识地去掩饰。因此，对于本就不易理解的乘法分配律，因学生的不懂装懂，问题就会越积越多。
（2）认知层面
對抽象代数符号的陌生感和对图形的敏感造成学生更多的是从“形”上简单地记忆乘法分配律的公式，而不能准确地把握乘法分配律的本质。其次，乘法分配律的多变性使得学生在实际运用时无从下手。
因此，在乘法分配律的教学中，教师只有大力挖掘学生已有的知识经验，对新知进行深层次的建构，才能较为有效地突破乘法分配律的教学难点，进而达成预期目标。教师可尝试从三个不同的角度进行教学，帮助学生学习并理解乘法分配律。
二、乘法分配律教学研究
1.从乘法分配律的意义去理解
师（出示算式4×9）：你能说说这个算式表示什么意思吗？
师（出示算式4×9 6×9）：这个算式又表示什么意思？用图该怎么表示？
师（出示算式10×9）：如果用图该怎么表示呢？谁来说说自己的想法？
师（出示算式3×6 4×6和（3 4）×6）：这两个算式相等吗？这两个算式有什么共同点？这还有几道题，我们再来试一试。
师：把这些等式倒过来写，你会计算吗？它们为什么相等？谁能用一个式子来表示这类等式？
（根据学生的回答，板书：（a b）×c=a×c b×c）
让学生通过理解乘法分配律的意义去掌握算法和算理是一个非常有效的教学策略。在这一环节中，教师要引导学生通过看算式说意义，看图列式，让学生通过比较发现规律，找到其本质。
2.从解决问题的角度去理解
（1）创设情境，发现规律
（课件出示：校服的上衣65元，裤子55元，一（1）班40名同学每人定做一套，需要多少钱？）
师：请大家列式计算，并说说你的想法。
生1：（65 55）×40。
生2：65×40 55×40。
师：显然，不同的算式都可以解决这个问题，从中你们有什么发现吗？
师：在批量制作衣服前会先做出一件样品。下面请大家算一算做一套校服得用多大块的布料。
（2）猜测验证，概括规律
师：同一个问题，从不同的角度去思考，可以得出不同的式子。现在请同学们看这三组算式（略），你有什么发现？
师：为了验证我们的猜想是否正确，该怎么办？
上述案例中，设计学生熟悉的问题，让学生利用已有的知识经验和思维方式去感悟、去发现、去尝试解决。在问题的变换中，学生经历了一个较长的由具体到抽象的学习过程，乘法分配律的认知在大脑中得以建构。
3.从数形结合的角度理解
（1）复习面积，解决问题
师：这两个长方形有什么相同的地方（图略）？你有没有其他解法？
（2）提出问题，建立联系
师：每道题有两种解法，它们的计算结果相同，我们就说这两个算式相等，并可以用等号将这两个算式连接起来。看一看，这样写可以吗？（板书（7 2）×8=7×8 2×8）
（3）画图举例，发现规律
（4）抽象概括，建立模型
为突破理解难点，教师可将问题融入“计算组合面积”这一情境中。通过“拼一拼、算一算、写一写、画一画、说一说”的过程体验，让学生带着猜疑进行尝试、验证，可使知识在学生的头脑中逐步清晰，最后再进行抽象概括就能建立模型。若学生对乘法分配律的理解比较到位，在写乘法分配律时，就会自然而然地想到长方形的面积。
数学学习是呈螺旋式上升的，新知总是建立在旧知的基础上，可乘法分配律这一新知很难与学生原有的知识经验联系起来，因此，学生在学习和运用中会出现很多问题。上述三个教学方法，无论是生活情境引入，还是从乘法意义的理解着手，抑或是从数形结合的角度出发，不难发现，教学中教师都非常重视对规律实质的探寻，引导学生在感知中形成表象、在理解中掌握内涵、在练习中发展能力，不但让学生牢固地掌握规律的“外形”，而且让学生准确地理解规律的“内理”，有效突破了乘法分配率的教学瓶颈。把握知识本质，深层建构是一切教学的根，只有在“变”中寻找“不变”的方法，课堂教学才能扎实有效。
（责编 吴美玲）
[关键词]乘法分配律；体验；思考
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）02-026
乘法分配律是加减法与乘除法之间的纽带，并不是单一的运算关系，相对于其他运算定律，它是比较难理解和掌握的。加法、乘法交换律和结合律，形不变，学生很容易归纳、迁移、理解和应用，但分配律的变式很多，方法多样，即便对分配律的公式烂熟于心，在应用时也难免出错。特别是随着数域的扩充，出现小数、分数的乘法分配律时，这个内容更成了学生错误的高发区。
一、成因剖析
为什么看似简单的知识却让教师感觉越教越难？为什么学生对乘法分配律的学习总感觉是“镜中花、水中月”，不得其要领呢？我认为原因有以下几点：
1.教材方面
多数教材对这部分内容的介绍相对集中，若只选择部分“点”作为学习内容，就容易使教师和学生只看得见孤立的点状知识，看不到有内在联系的知识整体。如人教版、苏教版、北师大版教材都将运算定律（包括加法、乘法交换律、结合律和乘法分配律）安排在四年级下册，单独设置为一个单元进行教学。西南师大版、河北版、青岛版的教材将加法运算定律安排在四年级上册，乘法运算定律（乘法交换律、结合律和乘法分配律）则安排在四年级下册。浙教版教材分两大块进行教学：一块是三年级上册的加法与乘法交换律和结合律，穿插在两位数乘一位数与三位数乘一位数之间；另一块是三年级下册的乘法分配律，将长方形周长与面积、乘法分配律与两位数乘两位数等不同领域的内容整合为一个单元。教材编排知识的趣味性不强，联系不强，学生根本无法在短时间内理解和掌握知识，更谈不上灵活运用了。
2.教师方面
（1）依赖教材，缺少创造
部分教师唯教材至上，教学方法缺乏创新。有些教师甚至不说明乘法分配律使用的前提条件，也不引导学生了解乘法分配律的来龙去脉，更不注意让学生经历规律从发现到形成的全过程。
（2）注重外形，忽视内在
多数教师将教学重点放在观察算式的外在形式上，只关注学生对定律的形式进行记忆的情况，不注重引导学生理解和感悟内在算理，造成学生只会机械地记忆分配律的形式。
（3）重视练习，轻视体验
缺少对乘法分配律的深层体验，即使以题海为战术，学生由此积累的知识经验也不牢靠，稍加干扰就错误百出。
3.学生方面
（1）心理层面
三四年级的学生在遇到困难时，由于怕同学嘲笑，会下意识地去掩饰。因此，对于本就不易理解的乘法分配律，因学生的不懂装懂，问题就会越积越多。
（2）认知层面
對抽象代数符号的陌生感和对图形的敏感造成学生更多的是从“形”上简单地记忆乘法分配律的公式，而不能准确地把握乘法分配律的本质。其次，乘法分配律的多变性使得学生在实际运用时无从下手。
因此，在乘法分配律的教学中，教师只有大力挖掘学生已有的知识经验，对新知进行深层次的建构，才能较为有效地突破乘法分配律的教学难点，进而达成预期目标。教师可尝试从三个不同的角度进行教学，帮助学生学习并理解乘法分配律。
二、乘法分配律教学研究
1.从乘法分配律的意义去理解
师（出示算式4×9）：你能说说这个算式表示什么意思吗？
师（出示算式4×9 6×9）：这个算式又表示什么意思？用图该怎么表示？
师（出示算式10×9）：如果用图该怎么表示呢？谁来说说自己的想法？
师（出示算式3×6 4×6和（3 4）×6）：这两个算式相等吗？这两个算式有什么共同点？这还有几道题，我们再来试一试。
师：把这些等式倒过来写，你会计算吗？它们为什么相等？谁能用一个式子来表示这类等式？
（根据学生的回答，板书：（a b）×c=a×c b×c）
让学生通过理解乘法分配律的意义去掌握算法和算理是一个非常有效的教学策略。在这一环节中，教师要引导学生通过看算式说意义，看图列式，让学生通过比较发现规律，找到其本质。
2.从解决问题的角度去理解
（1）创设情境，发现规律
（课件出示：校服的上衣65元，裤子55元，一（1）班40名同学每人定做一套，需要多少钱？）
师：请大家列式计算，并说说你的想法。
生1：（65 55）×40。
生2：65×40 55×40。
师：显然，不同的算式都可以解决这个问题，从中你们有什么发现吗？
师：在批量制作衣服前会先做出一件样品。下面请大家算一算做一套校服得用多大块的布料。
（2）猜测验证，概括规律
师：同一个问题，从不同的角度去思考，可以得出不同的式子。现在请同学们看这三组算式（略），你有什么发现？
师：为了验证我们的猜想是否正确，该怎么办？
上述案例中，设计学生熟悉的问题，让学生利用已有的知识经验和思维方式去感悟、去发现、去尝试解决。在问题的变换中，学生经历了一个较长的由具体到抽象的学习过程，乘法分配律的认知在大脑中得以建构。
3.从数形结合的角度理解
（1）复习面积，解决问题
师：这两个长方形有什么相同的地方（图略）？你有没有其他解法？
（2）提出问题，建立联系
师：每道题有两种解法，它们的计算结果相同，我们就说这两个算式相等，并可以用等号将这两个算式连接起来。看一看，这样写可以吗？（板书（7 2）×8=7×8 2×8）
（3）画图举例，发现规律
（4）抽象概括，建立模型
为突破理解难点，教师可将问题融入“计算组合面积”这一情境中。通过“拼一拼、算一算、写一写、画一画、说一说”的过程体验，让学生带着猜疑进行尝试、验证，可使知识在学生的头脑中逐步清晰，最后再进行抽象概括就能建立模型。若学生对乘法分配律的理解比较到位，在写乘法分配律时，就会自然而然地想到长方形的面积。
数学学习是呈螺旋式上升的，新知总是建立在旧知的基础上，可乘法分配律这一新知很难与学生原有的知识经验联系起来，因此，学生在学习和运用中会出现很多问题。上述三个教学方法，无论是生活情境引入，还是从乘法意义的理解着手，抑或是从数形结合的角度出发，不难发现，教学中教师都非常重视对规律实质的探寻，引导学生在感知中形成表象、在理解中掌握内涵、在练习中发展能力，不但让学生牢固地掌握规律的“外形”，而且让学生准确地理解规律的“内理”，有效突破了乘法分配率的教学瓶颈。把握知识本质，深层建构是一切教学的根，只有在“变”中寻找“不变”的方法，课堂教学才能扎实有效。
（责编 吴美玲）