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[摘 要] 高三数学的复习课，要注重复习的有效性，让学生更好地理解所学的知识，把握数学的本质.两个教学设计案例的对比让变式教学的优势跃然纸上.变式教学符合新课改的理念，符合时代发展的需要，让新时代的学生在数学复习的课堂上依然能演绎自己的精彩，自主和谐地学习.变式教学是提升数学复习课有效性的一把金钥匙.
[关键词] 变式教学 有效性 变式教学模式
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0005
提升数学复习课有效性是教师们一如既往所追求的目标.本文对两个教学设计案例进行对比，从而引发思考：在数学复习课中如何让学生更好地理解所学的知识，把握数学的本质？通过对比不难看出变式教学可以提高高三数学复习课的有效性，也是提升复习课有效性的一把金钥匙.本文主要从变式教学模式符合时代发展的需要以及让学生在数学课堂同样能“百花齐放，百家争鸣”等方面进行论述.
一、案例概述
案例1 （由师1执教）
（1）回忆抛物线的定义及其几何意义.
（2）引导学生用抛物线的定义解决问题（给出五个小题）.
（3）实例点拨.
【例1】 根据抛物线的标准方程，写出焦点坐标和准线方程.
（1）x2=- 3 2 y （2）4x-3y2=0 （3）y2=4ax（a≠0）
剖析： 解题只需对照方程，确定焦点位置和待定系数p以及进行简单的讨论.
【例2】 已知抛物线c：y2=2x的焦点F，点P抛物线c上的任意一点，点A（2， 1 2 ）.求|PF| |PA|的最小值.
剖析： 本题只需利用抛物线的定义将|PF|的长度转化到点P到准线的距离|PQ|（其中Q为点P在准线上的投影），然后|PF| |PA|的最小值就是点A，P，Q在同一条直线上的时候取得，即（|PF| |PA|）min= 5 2 .
【例3】 抛物线y2=2px（p>0）上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点Q.
解： 设A（x1，xy1），B（x2，y2），M（x0，y0），则|AF|=x1 p 2 ，|BF|=x2 p 2 ，|MF|=x0 p 2
，由题意得x0= x1 x2 2 .∴AB的中点坐标可设为（x0，t），其中t= y1 y2 2 ≠0
（否则|AF|=|MF|=|BF|p=0）.
故AB的垂直平分线为y-t= t p （x-x0），即t（x-x0-p） yp=0，可知其过定点Q（x0 p，0）.
巩固练习：（5个同步练习）.
案例2 （由师2执教）
（1）由问题形式给出，学生通过做题回忆抛物线的定义及其几何意义.
问题1：求满足焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程.
变式1：从上式两条抛物线中选择一条，如y2=16x，且其上有两动点A、B及一个定点M，F为焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线都过定点Q，并求出定点Q.
变式2：若抛物线变为y2=2px，求证：线段AB的垂直平分线过定点Q（证明同案例1）.
评析： 变式1的引入让学生更好地理解问题，思考问题，从而自主地解决问题.
问题2：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2求证：y1y2=-p2.
变式1：若抛物线y2=2px上两个动点A、B的纵坐标分别是y1、y2且满足y1y2=-p2，则直线AB经过焦点F.
变式2：设M（a，0）是抛物线y2=2px对称轴上的一个定点，过M的直线交抛物线于A、B两点，其纵坐标为y1，y2，求证y1y2是定值.
变式3：设抛物线y2=2px上面动点A，B分别为（x1，y1）、（x2，y2）且满足y1y2=k（k为常数），问AB是否恒过某一定点？
变式4：设抛物线y2=2px的两动点A（x1，y2）、B（x2，y2），满足y1y2=k（k是常数），求AB中点P的轨迹方程.
评析： 我们可以通过变式让简单、单一的题目进行变化，从而得到更为有效的、符合学生实际的而且令人耳目一新的命题.让学生更加懂得思考，自主学习，创新学习.
同样的教学内容，不同的处理方式，让案例2变式教学的优势展现得淋漓尽致.学生学习的过程事实上是对新知识接纳并且消化的过程.变式的引入连接了新知识和学生原来已经掌握的旧知识.为新旧知识搭起了通往“银河”的“鹊桥”.或者说给学生搭了通往知识殿堂的云梯.让个性十足的学生更加自主，和谐地复习，从而更为有效地复习.让学生能自己拿起变式这把“钥匙”来打开数学复习这扇“大门”.
二、案例启示
1.变式教学模式符合新时代发展的要求
新课程改革的春风吹遍了祖国大地，选修课的实施更为其添光添彩.时代的发展在一定程度上也召唤着变式教学模式.世界各国课程改革发展趋势的论述中就有一条强调讲究学习方式和教学方式的多样化.而变式教学就是克服并改变传统教学单一的例题讲解教学模式，在主要教学环节中，给学生搭建多层次的阶梯，给出合理的情境，精心设计有利于学生自主学习，自主发展的变式题组.琳琅满目的各种变式既迎合了这个多彩的时代，也迎合了个性十足的新时代学生.简而言之，变式教学模式给学生铺设了更好的情境，让学生在情境中更好更有效地复习.所以我们可以大胆地得出结论：它符合这个时代，也迎合这个时代的学生.
例题 ： 求y= x2 3 x （x>0）
的最小值.
变式1：求y= x2 3 x 1 （x>0）
的最小值.
本小题可以令x 1=t得y=t 4 t -2
，然后再利用均值不等式求得答案为2.
变式2：已知在△ABC中，a=2，A=60°，求b c的最大值：
变式3：在△ABC中，a=2，A=60°，求△ABC的内切圆的半径的最大值.
本小题先利用等面积法.求得r= 3 2 bc
b c 2
，而利用余弦定理可以得到b2 c2=bc 4.分析r的表达式的形式为分子为二次，分母为一次.我们可以令b c 2=t，结合条件求得r= 3 6 t- 2 3 3
，又因为（b c）max=4，所以rmax= 3 3 .
剖析： 畏难情绪在现在学生中极为普遍，如果直接给出变式3，很多学生便自然会选择放弃.增加了例题和变式1、变式2，为学生搭建了台阶，拓展了学生的思维，让学生有信心、有勇气把解题进行到底.
2.变式教学模式让学生“百花齐放，百家争鸣”
其一，让学生“百花齐放”（让不同层次的学生都能对数学感兴趣）.
例题：已知an= 1 n（n 1） ，求Sn.
变式1：已知an= 1 （2n-1）（2n 1）
，求Sn.
变式2：已知an= 1 n（n 2）
，求Sn.
变式3：已知an= 1 n（n 1）（n 2）
，求Sn.
变式4：已知an= 2n-1 （2n 1）（2n 1 1）
，求Sn.
剖析： 本题组是针对数列中的裂项相消法这种求和方式设计的，变式1为基础题，要求全部学生掌握，变式2由于要隔项相消，难度中等，要求中等及以上的学生掌握，变式3，4的难度较大，要求基础较好的学生掌握.
评析：变式的引入让学生在数学课堂上仍旧能感受到人文的关怀.感到自己依然没有被数学遗忘从而激发对数学浓厚的兴趣.
其二，让学生“百家争鸣”（让学生自主且深刻理解数学的本质）.
例如：已知点P（x，y）满足
评析： 变式很好地激发了学生的探究兴趣，激活了学生的思维，让学生勇于思考，勇于发言，真正做到“百家争鸣”.培养了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力.同时也有利于学生对知识难点的掌握与突破.
总之，变式教学是时代发展的需要，也是学生自主发展的需要，更是达到数学复习课有效性的需要.通过变式让学生“百花齐放，百家争鸣”.它不但能适应并迎合不同层次的学生，而且能让学生更积极、更深刻地思考各种数学问题，把握数学的本质.让学生实现从不懂数学复习，不理解数学复习到乐于数学复习，善于数学复习的伟大转变.让学生在数学复习课这一舞台上精彩演绎自我的风采，真正拥有变式这把“金钥匙”，在数学上能更上一层楼.
[ 参 考 文 献 ]
[1]陈玉娟在变式教学中培养学生的数学思维品质高中数学教与学2010，5
[2]王华民实施局部探究提升复习课的有效性数学通报2010，4
[3]邱云让教材成为鲜活的学习素材高中数学教与学2009，7
（责任编辑 黄桂坚）
[关键词] 变式教学 有效性 变式教学模式
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0005
提升数学复习课有效性是教师们一如既往所追求的目标.本文对两个教学设计案例进行对比，从而引发思考：在数学复习课中如何让学生更好地理解所学的知识，把握数学的本质？通过对比不难看出变式教学可以提高高三数学复习课的有效性，也是提升复习课有效性的一把金钥匙.本文主要从变式教学模式符合时代发展的需要以及让学生在数学课堂同样能“百花齐放，百家争鸣”等方面进行论述.
一、案例概述
案例1 （由师1执教）
（1）回忆抛物线的定义及其几何意义.
（2）引导学生用抛物线的定义解决问题（给出五个小题）.
（3）实例点拨.
【例1】 根据抛物线的标准方程，写出焦点坐标和准线方程.
（1）x2=- 3 2 y （2）4x-3y2=0 （3）y2=4ax（a≠0）
剖析： 解题只需对照方程，确定焦点位置和待定系数p以及进行简单的讨论.
【例2】 已知抛物线c：y2=2x的焦点F，点P抛物线c上的任意一点，点A（2， 1 2 ）.求|PF| |PA|的最小值.
剖析： 本题只需利用抛物线的定义将|PF|的长度转化到点P到准线的距离|PQ|（其中Q为点P在准线上的投影），然后|PF| |PA|的最小值就是点A，P，Q在同一条直线上的时候取得，即（|PF| |PA|）min= 5 2 .
【例3】 抛物线y2=2px（p>0）上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点Q.
解： 设A（x1，xy1），B（x2，y2），M（x0，y0），则|AF|=x1 p 2 ，|BF|=x2 p 2 ，|MF|=x0 p 2
，由题意得x0= x1 x2 2 .∴AB的中点坐标可设为（x0，t），其中t= y1 y2 2 ≠0
（否则|AF|=|MF|=|BF|p=0）.
故AB的垂直平分线为y-t= t p （x-x0），即t（x-x0-p） yp=0，可知其过定点Q（x0 p，0）.
巩固练习：（5个同步练习）.
案例2 （由师2执教）
（1）由问题形式给出，学生通过做题回忆抛物线的定义及其几何意义.
问题1：求满足焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程.
变式1：从上式两条抛物线中选择一条，如y2=16x，且其上有两动点A、B及一个定点M，F为焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线都过定点Q，并求出定点Q.
变式2：若抛物线变为y2=2px，求证：线段AB的垂直平分线过定点Q（证明同案例1）.
评析： 变式1的引入让学生更好地理解问题，思考问题，从而自主地解决问题.
问题2：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2求证：y1y2=-p2.
变式1：若抛物线y2=2px上两个动点A、B的纵坐标分别是y1、y2且满足y1y2=-p2，则直线AB经过焦点F.
变式2：设M（a，0）是抛物线y2=2px对称轴上的一个定点，过M的直线交抛物线于A、B两点，其纵坐标为y1，y2，求证y1y2是定值.
变式3：设抛物线y2=2px上面动点A，B分别为（x1，y1）、（x2，y2）且满足y1y2=k（k为常数），问AB是否恒过某一定点？
变式4：设抛物线y2=2px的两动点A（x1，y2）、B（x2，y2），满足y1y2=k（k是常数），求AB中点P的轨迹方程.
评析： 我们可以通过变式让简单、单一的题目进行变化，从而得到更为有效的、符合学生实际的而且令人耳目一新的命题.让学生更加懂得思考，自主学习，创新学习.
同样的教学内容，不同的处理方式，让案例2变式教学的优势展现得淋漓尽致.学生学习的过程事实上是对新知识接纳并且消化的过程.变式的引入连接了新知识和学生原来已经掌握的旧知识.为新旧知识搭起了通往“银河”的“鹊桥”.或者说给学生搭了通往知识殿堂的云梯.让个性十足的学生更加自主，和谐地复习，从而更为有效地复习.让学生能自己拿起变式这把“钥匙”来打开数学复习这扇“大门”.
二、案例启示
1.变式教学模式符合新时代发展的要求
新课程改革的春风吹遍了祖国大地，选修课的实施更为其添光添彩.时代的发展在一定程度上也召唤着变式教学模式.世界各国课程改革发展趋势的论述中就有一条强调讲究学习方式和教学方式的多样化.而变式教学就是克服并改变传统教学单一的例题讲解教学模式，在主要教学环节中，给学生搭建多层次的阶梯，给出合理的情境，精心设计有利于学生自主学习，自主发展的变式题组.琳琅满目的各种变式既迎合了这个多彩的时代，也迎合了个性十足的新时代学生.简而言之，变式教学模式给学生铺设了更好的情境，让学生在情境中更好更有效地复习.所以我们可以大胆地得出结论：它符合这个时代，也迎合这个时代的学生.
例题 ： 求y= x2 3 x （x>0）
的最小值.
变式1：求y= x2 3 x 1 （x>0）
的最小值.
本小题可以令x 1=t得y=t 4 t -2
，然后再利用均值不等式求得答案为2.
变式2：已知在△ABC中，a=2，A=60°，求b c的最大值：
变式3：在△ABC中，a=2，A=60°，求△ABC的内切圆的半径的最大值.
本小题先利用等面积法.求得r= 3 2 bc
b c 2
，而利用余弦定理可以得到b2 c2=bc 4.分析r的表达式的形式为分子为二次，分母为一次.我们可以令b c 2=t，结合条件求得r= 3 6 t- 2 3 3
，又因为（b c）max=4，所以rmax= 3 3 .
剖析： 畏难情绪在现在学生中极为普遍，如果直接给出变式3，很多学生便自然会选择放弃.增加了例题和变式1、变式2，为学生搭建了台阶，拓展了学生的思维，让学生有信心、有勇气把解题进行到底.
2.变式教学模式让学生“百花齐放，百家争鸣”
其一，让学生“百花齐放”（让不同层次的学生都能对数学感兴趣）.
例题：已知an= 1 n（n 1） ，求Sn.
变式1：已知an= 1 （2n-1）（2n 1）
，求Sn.
变式2：已知an= 1 n（n 2）
，求Sn.
变式3：已知an= 1 n（n 1）（n 2）
，求Sn.
变式4：已知an= 2n-1 （2n 1）（2n 1 1）
，求Sn.
剖析： 本题组是针对数列中的裂项相消法这种求和方式设计的，变式1为基础题，要求全部学生掌握，变式2由于要隔项相消，难度中等，要求中等及以上的学生掌握，变式3，4的难度较大，要求基础较好的学生掌握.
评析：变式的引入让学生在数学课堂上仍旧能感受到人文的关怀.感到自己依然没有被数学遗忘从而激发对数学浓厚的兴趣.
其二，让学生“百家争鸣”（让学生自主且深刻理解数学的本质）.
例如：已知点P（x，y）满足
评析： 变式很好地激发了学生的探究兴趣，激活了学生的思维，让学生勇于思考，勇于发言，真正做到“百家争鸣”.培养了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力.同时也有利于学生对知识难点的掌握与突破.
总之，变式教学是时代发展的需要，也是学生自主发展的需要，更是达到数学复习课有效性的需要.通过变式让学生“百花齐放，百家争鸣”.它不但能适应并迎合不同层次的学生，而且能让学生更积极、更深刻地思考各种数学问题，把握数学的本质.让学生实现从不懂数学复习，不理解数学复习到乐于数学复习，善于数学复习的伟大转变.让学生在数学复习课这一舞台上精彩演绎自我的风采，真正拥有变式这把“金钥匙”，在数学上能更上一层楼.
[ 参 考 文 献 ]
[1]陈玉娟在变式教学中培养学生的数学思维品质高中数学教与学2010，5
[2]王华民实施局部探究提升复习课的有效性数学通报2010，4
[3]邱云让教材成为鲜活的学习素材高中数学教与学2009，7
（责任编辑 黄桂坚）