【摘要】在对正切函数y=tanx的周期性考察中得知它的一个周期为π，把周期π与正切函数所满足的关系式tanx π4=1 tanx1-tanx中的常数π4进行比较，发现了与之关系式结构相似条件f(x A)=1 f(x)1-f(x)或f(x A)=1-f(x)1 f(x)下的函数y=f(x)周期性的判定方法。
　　【关键词】探究;条件函数;周期;判定;方法
　　
　　1。引 言
　　设函数y=f(x)定义域为D，对函数y=f(x)来说，若存在T使得当x∈D时，f(x T)=f(x)恒成立，则T是函数y=f(x)的周期，同时也把像这样具有周期性的函数叫周期函数。若函数y=f(x)满足条件f(x A)=1-f(x)1 f(x)，以下称条件函数，其中f(x)≠-1，x∈D，则它的周期性怎样？本文侧重讨论满足条件f(x A)=1-f(x)1 f(x)或与之表达形式相似的条件的函数周期，并得到一般结论。
　　2。条件函数的周期性研究
　　若对任意x∈D，均有f(x)≠0，且满足条件f(x A)=mf(x)或f(x A)=-mf(x)，其中，m≠0，则容易推出：f(x 2A)=mf(x A)=m×f(x)m=f(x)，或f(x 2A)=-mf(x A)=-m×-f(x)m=f(x)。因此，根据周期函数定义便可得到：
　　定理1 若函数y=f(x)满足f(x A)=mf(x)，或f(x A)=-mf(x)，其中x∈D时f(x)≠0,m≠0，则它是一个以2A为周期的函数。
　　定理2 若函数y=f(x)满足f(x A)=α-βf(x)α βf(x)，α βf(x)≠0，其中A，α，β为常数，αβ≠0，则
　　f(x 2A)=α（α-β) β(α β)f(x)α（α β) β(α-β)f(x)。
　　证明 ∵f(x A)=α-βf(x)α βf(x),
　　（1）
　　∴f(x 2A)=α-βf(x A)α βf(x A)。
　　（2）
　　由（1）式可知：
　　α-βf(x A)=α(α-β) β(α β)f(x)α βf(x)。
　　（3）
　　α βf(x A)=α(α β) β(α-β)f(x)α βf(x)。
　　（4）
　　把（3）式和（4）式代入（2）式并整理得：
　　f(x 2A)=α(α-β) β(α β)f(x)α（α β) β(α-β)f(x)。
　　在定理2中，若α=β，则条件变为f(x A)=1-f(x)1 f(x)，同时与之对应的结论变为f(x 2A)=f(x)。因此，根据周期函数定义得到它的一个推论：
　　推论 若函数y=f(x)满足f(x A)=1-f(x)1 f(x)，1 f(x)≠0，则它是一个以2A为周期的函数。
　　定理3 若函数y=f(x)满足f(x A)=α βf(x)α-βf(x)，α-βf(x)≠0，其中A，α，β为常数，αβ≠0，则
　　f(x 2A)=α(α β)-β(α-β)f(x)α(α-β)-β(α β)f(x)。
　　证明 ∵f(x A)=α βf(x)α-βf(x)，
　　（5）
　　∴f(x 2A)=α βf(x A)α-βf(x A)。
　　（6）
　　由（5）式可知：
　　α βf(x A)=α(α β)-β(α-β)f(x)α-βf(x)。
　　(7）
　　α-βf(x A)=α(α-β)-β(α β)f(x)α-βf(x)。
　　（8）
　　把（7）式和（8）式代入（6）式并整理得：
　　f(x 2A)=α(α β)-β(α-β)f(x)α(α-β)-β(α β)f(x)。
　　在定理3中，若α=β，则条件变为f(x A)=1 f(x)1-f(x)，同时与之对应的结论变为f(x 2A)=-1f(x)，从而进一步推得f(x 4A)=-1f(x 2A)=f(x)。因此，根据周期函数定义得结论：
　　定理4 若函数y=f(x)满足f(x A)=1 f(x)1-f(x)，1-f(x)≠0，则函数y=f(x)的周期T=4A。
　　3。结 语
　　函数的周期性是函数的一个重要特性，某些函数的周期性容易判定，而一些函数的周期判定困难。在正切函数y=tanx中，由于tanx π4=1 tanx1-tanx，它满足定理4的条件，根据定理4可知正切函数y=tanx的一个周期T=π，当然也可根据正切函数的图像来判定。本文给出了一定条件下函数周期性的判定方法，特别是当我们不知道函数的解析式时，只要知道满足文中定理给出的条件，也能方便快捷地判定函数的周期性。
　　解费尔马大定理(Fermats Last Theorem)