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【摘要】2016年7月，潘建明老师申报的课题《翻转教学形态的变革与创新研究》被列为全国教育科学“十三五”规划2016年度教育部重点课题，课题批号为DHA160378.翻转课堂的核心是对教学理念和教学方式的翻转，可以与传统课堂优势互补，要想创造优异的教学效果，新技术的支持是不可或缺的.笔者通过对翻转教学中如何借助几何画板培养建模素养进行了深入研究：课前的浅层学习（模型的背景、由来、证明与建立），课内的深度学习（模型的甄别、强化、自创与挑战）.翻转教学突出了学生的主体地位，可以发挥学生的主观能动性，增强学生学习的自组织能力，促进学生的个性化发展.
【关键词】翻转教学;几何画板;建模素养
《几何画板》是一种适用于几何教学的软件，它可以帮助学生动态地观察、探索和发现对象之间的数量变化关系与空间结构关系，用形象生动的画面帮助学生理解抽象、枯燥的数学概念、公式和法则，领会和把握知识之间的内在联系，帮助学生深刻理解数学规律，有效突破教学重点和难点，因而深受广大师生青睐.现代教育技术背景下的“自觉数学”教学思想利用教育技术的平台、载体和技术手段构建满足学生个性化学习和发展的教学生态环境，提供可选择的课程资源，以学生发展为本，强调尊重学生的差异性，加强对学生数学学习的支持和服务，在平等对话的基礎上进行有效的因材循导和自觉体悟，做到学、教、做相统一和讲、探、练相结合，关注少教多学，唤醒、激励学生释放出本质潜能，促进学生的学习品质、思维品质、道德品质不断成长，形成学生面向未来的终身学习和发展的能力.本文以《经典几何模型之“阿氏圆”》的教学设计为例，诠释了如何实现以自觉课堂教学策略下主导自觉为主、几何画板支持为辅的自觉数学课堂.
【课前自觉学习】
一、模型背景
“PA k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是难点.当k的值为1时，其为“PA PB”型的最值问题，此时可转化为常见的“将军饮马”模型来处理，即转化为轴对称问题（和最小，找对称）来处理.而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题则无法进行，因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同进行分类，一般分为两类进行研究，即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中，点P在直线上运动的类型称为“胡不归”问题，点P在圆上运动的类型称为“阿氏圆”问题.
二、模型由来
图1“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两定点 B，C，则所有满足PCPB=k（k≠1）的点P的轨迹是一个圆.这个轨迹最早是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称“阿氏圆”.在几何画板上观察图1，当点P在⊙O上运动时，PB，PC的长在不断地发生变化，但PCPB的比值k始终保持不变.
设计意图：借助几何画板，通过拖动点P，让学生观察当点P在⊙O上不断运动时，PC和PB的数值虽
然在发生变化，但其比值始终保持不变，从而激发学生浓厚的学习兴趣和参与热情.
三、模型证明
图2如图2，P是平面上一动点，B，C是两定点，PCPB=k（k>0且k≠1），M是BC的内分点（M在线段BC上），N是BC的外分点（N在BC的延长线上），且MCMB=NCNB=k，则点P的轨迹是以MN为直径的⊙O.
证明这个定理的方法有很多，下面是笔者的分析与证明，仅供参考.
（一）知识储备
为了证明阿波罗尼斯圆定理，先证明下面两个定理.
图3定理1：如图3，已知M是△PBC的边BC上的一点，且PCPB=MCMB，求证：PM平分∠CPB.（三角形内角平分线定理的逆定理）
证明：过点C作CD∥PM，交BP的延长线于点D，则PDPB=MCMB，又PCPB=MCMB，∴PDPB=PCPB，∴PD=PC，∴∠D=∠3.∵CD∥PM，∴∠1=∠D，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴PM平分∠CPB.
定理2：如图4，N是BC的延长线上的一点，且PCPB=NCNB，求证：PN平分∠CPB的邻补角∠CPE.
证明：过点C作CD∥PN，交BP于点D，则PDPB=NCNB，又PCPB=NCNB，∴PDPB=PCPB，∴PD=PC，∴∠3=∠4.∵CD∥PN，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1=∠2，∴PN平分∠CPB的邻补角∠CPE.
（二）证明模型
有了上面两个定理的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了.现证明如下：
如图5，连接PM，PN，∵M为BC的内分点，PCPB=MCMB=k，∴PM平分∠CPB，∴∠2=12∠CPB.∵N为BC的外分点，PCPB=NCNB=k，∴PN平分∠CPE，∴∠3=12∠CPE.∵∠CPB ∠CPE=180°，∴∠2 ∠3=12（∠CPB ∠CPE）=90°，即∠MPN=90°，∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹是以定比k内分和外分定线段BC的两个分点的连线为直径的圆.
四、模型建立
图6如图6，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 rOB=k，连接 PA，PB，则当“PA k·PB”的值最小时，点P的位置如何确定？
（一）模型解读
图8最早的“PA PB”型问题应该出现在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键.如图7，在线段 OB上截取 OC，使 OCr=k.∵rOB=k，∴r2=OB·OC，即OP2=OB·OC，又∵∠O=∠O，∴△BOP 与△POC相似，∴PCPB=OPOB=k，即k·PB= PC，故本题求“PA k·PB”的最小值可以转化为求“PA PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A，P，C三点共线时，“PA PC”的值最小，即“PA k·PB”的值最小，如图8所示. （二）建构步骤
解决“阿氏圆”问题，关键是熟练掌握“共角共边型”相似三角形（也称“母子型”相似或“美人鱼”相似）的构造方法.
第一步：找“阿氏圆”（或圆弧），如果动点P的轨迹是一个圆（或圆弧），不妨设圆心为点O，连接PO，得“阿氏圆”半径OP;
第二步：构造母三角形，考虑到要求的是“PA k·PB”的最小值，故母三角形的三个顶点分别为圆心O、动点P、定点B（一般选含有k的线段的两个端点分别与圆心O连接而成）;
第三步：构造子三角形，分别计算出线段OP与OB的比、OP与OA的比，选取线段比为k的一组，如上例中的OPOB=k，在OB上取一点C，使得OCOP=OPOB=k（核心关键步骤），连接PC，得子三角形OCP，则△PCO∽△BPO，如图7所示;
第四步：连接 AC，与⊙O 的交点即为点P（如图8），此时“PA PC”的值最小，即“PA k·PB”的值最小.
（三）核心步骤
图9回顾图7，在OB上取点C，使OCOP=OPOB=k的目的是构建“共角共边型”相似三角形，其构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”.
将图7中的△BPO从图中分解出来，如图9所示，上色的△PCO∽△BPO，就是“母子型”相似模型.“母子型”相似模型的特点如图10所示，△PCO与△BPO有公共角∠O（圆心角）、公共边OP（半径）.构造出△PCO∽△BPO后，可以得到OCOP=OPOB，进而求出OC=OP2OB，确定点C的位置后，连接AC，求出AC的长度，“阿氏圆”即可破解.
设计意图：借助几何画板进行解读模型、构建模型、分解模型、着色、标注等一系列操作后，有利于激活学生的思维，向学生揭示知识发生和发展的过程，从而帮助学生更好地掌握“阿氏圆”这一经典几何模型，所以说几何画板是数学教学中解决问题的有效工具.利用几何画板在教学中“大显身手”，不仅大大减少了课上板书的时间，使每节课都能向学生传授更多的知识，而且能使学生对数学产生更浓厚的兴趣，让学习不再是负担，不再是枷锁，给学生的思维插上一对有力的翅膀.
【课中自觉强化】
五、典例讲解：显性阿氏圆（或弧）
图11例1 如图11，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4，AC=6，⊙C的半径为2，P为⊙C上一动
点，连接 AP，BP，求 AP 12BP的最小值.
图12解析 如图12，连接CP，因为CP=2，AC=6，BC=4，则CPAC=13，CPCB=12，而题目中是求“AP 12BP”，其中的k=12，故不在 AC 上取构造点D，应选用CPCB=12，所以在CB上取一点D，使CD=CP2CB=1，则有CDCP=CPCB=PDPB=12.无论点P如何移动，△PCD 与△BCP始终相似，故PD=12BP始终成立，所以AP 12BP=AP PD，其中 A，D为定点，故 A，P，D三点共线时有最小值，AP 12BP=AP PD=AD=AC2 CD2=37.
变式1 例1的已知条件不变，求13AP BP的最小值.
图13变式 2 如圖13，在Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，⊙C 的半径为 2，点 P 是⊙C 上一动点，求23AP PB 的最小值.
变式3 变式2的已知条件不变，求AP 12BP的最小值.
图14变式4 如图14，已知在扇形OCD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一点，求2PA PB的最小值.
变式5 在变式4的条件下，求PA 65PB 的最小值.
【关键词】翻转教学;几何画板;建模素养
《几何画板》是一种适用于几何教学的软件，它可以帮助学生动态地观察、探索和发现对象之间的数量变化关系与空间结构关系，用形象生动的画面帮助学生理解抽象、枯燥的数学概念、公式和法则，领会和把握知识之间的内在联系，帮助学生深刻理解数学规律，有效突破教学重点和难点，因而深受广大师生青睐.现代教育技术背景下的“自觉数学”教学思想利用教育技术的平台、载体和技术手段构建满足学生个性化学习和发展的教学生态环境，提供可选择的课程资源，以学生发展为本，强调尊重学生的差异性，加强对学生数学学习的支持和服务，在平等对话的基礎上进行有效的因材循导和自觉体悟，做到学、教、做相统一和讲、探、练相结合，关注少教多学，唤醒、激励学生释放出本质潜能，促进学生的学习品质、思维品质、道德品质不断成长，形成学生面向未来的终身学习和发展的能力.本文以《经典几何模型之“阿氏圆”》的教学设计为例，诠释了如何实现以自觉课堂教学策略下主导自觉为主、几何画板支持为辅的自觉数学课堂.
【课前自觉学习】
一、模型背景
“PA k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是难点.当k的值为1时，其为“PA PB”型的最值问题，此时可转化为常见的“将军饮马”模型来处理，即转化为轴对称问题（和最小，找对称）来处理.而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题则无法进行，因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同进行分类，一般分为两类进行研究，即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中，点P在直线上运动的类型称为“胡不归”问题，点P在圆上运动的类型称为“阿氏圆”问题.
二、模型由来
图1“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两定点 B，C，则所有满足PCPB=k（k≠1）的点P的轨迹是一个圆.这个轨迹最早是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称“阿氏圆”.在几何画板上观察图1，当点P在⊙O上运动时，PB，PC的长在不断地发生变化，但PCPB的比值k始终保持不变.
设计意图：借助几何画板，通过拖动点P，让学生观察当点P在⊙O上不断运动时，PC和PB的数值虽
然在发生变化，但其比值始终保持不变，从而激发学生浓厚的学习兴趣和参与热情.
三、模型证明
图2如图2，P是平面上一动点，B，C是两定点，PCPB=k（k>0且k≠1），M是BC的内分点（M在线段BC上），N是BC的外分点（N在BC的延长线上），且MCMB=NCNB=k，则点P的轨迹是以MN为直径的⊙O.
证明这个定理的方法有很多，下面是笔者的分析与证明，仅供参考.
（一）知识储备
为了证明阿波罗尼斯圆定理，先证明下面两个定理.
图3定理1：如图3，已知M是△PBC的边BC上的一点，且PCPB=MCMB，求证：PM平分∠CPB.（三角形内角平分线定理的逆定理）
证明：过点C作CD∥PM，交BP的延长线于点D，则PDPB=MCMB，又PCPB=MCMB，∴PDPB=PCPB，∴PD=PC，∴∠D=∠3.∵CD∥PM，∴∠1=∠D，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴PM平分∠CPB.
定理2：如图4，N是BC的延长线上的一点，且PCPB=NCNB，求证：PN平分∠CPB的邻补角∠CPE.
证明：过点C作CD∥PN，交BP于点D，则PDPB=NCNB，又PCPB=NCNB，∴PDPB=PCPB，∴PD=PC，∴∠3=∠4.∵CD∥PN，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1=∠2，∴PN平分∠CPB的邻补角∠CPE.
（二）证明模型
有了上面两个定理的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了.现证明如下：
如图5，连接PM，PN，∵M为BC的内分点，PCPB=MCMB=k，∴PM平分∠CPB，∴∠2=12∠CPB.∵N为BC的外分点，PCPB=NCNB=k，∴PN平分∠CPE，∴∠3=12∠CPE.∵∠CPB ∠CPE=180°，∴∠2 ∠3=12（∠CPB ∠CPE）=90°，即∠MPN=90°，∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹是以定比k内分和外分定线段BC的两个分点的连线为直径的圆.
四、模型建立
图6如图6，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 rOB=k，连接 PA，PB，则当“PA k·PB”的值最小时，点P的位置如何确定？
（一）模型解读
图8最早的“PA PB”型问题应该出现在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键.如图7，在线段 OB上截取 OC，使 OCr=k.∵rOB=k，∴r2=OB·OC，即OP2=OB·OC，又∵∠O=∠O，∴△BOP 与△POC相似，∴PCPB=OPOB=k，即k·PB= PC，故本题求“PA k·PB”的最小值可以转化为求“PA PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A，P，C三点共线时，“PA PC”的值最小，即“PA k·PB”的值最小，如图8所示. （二）建构步骤
解决“阿氏圆”问题，关键是熟练掌握“共角共边型”相似三角形（也称“母子型”相似或“美人鱼”相似）的构造方法.
第一步：找“阿氏圆”（或圆弧），如果动点P的轨迹是一个圆（或圆弧），不妨设圆心为点O，连接PO，得“阿氏圆”半径OP;
第二步：构造母三角形，考虑到要求的是“PA k·PB”的最小值，故母三角形的三个顶点分别为圆心O、动点P、定点B（一般选含有k的线段的两个端点分别与圆心O连接而成）;
第三步：构造子三角形，分别计算出线段OP与OB的比、OP与OA的比，选取线段比为k的一组，如上例中的OPOB=k，在OB上取一点C，使得OCOP=OPOB=k（核心关键步骤），连接PC，得子三角形OCP，则△PCO∽△BPO，如图7所示;
第四步：连接 AC，与⊙O 的交点即为点P（如图8），此时“PA PC”的值最小，即“PA k·PB”的值最小.
（三）核心步骤
图9回顾图7，在OB上取点C，使OCOP=OPOB=k的目的是构建“共角共边型”相似三角形，其构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”.
将图7中的△BPO从图中分解出来，如图9所示，上色的△PCO∽△BPO，就是“母子型”相似模型.“母子型”相似模型的特点如图10所示，△PCO与△BPO有公共角∠O（圆心角）、公共边OP（半径）.构造出△PCO∽△BPO后，可以得到OCOP=OPOB，进而求出OC=OP2OB，确定点C的位置后，连接AC，求出AC的长度，“阿氏圆”即可破解.
设计意图：借助几何画板进行解读模型、构建模型、分解模型、着色、标注等一系列操作后，有利于激活学生的思维，向学生揭示知识发生和发展的过程，从而帮助学生更好地掌握“阿氏圆”这一经典几何模型，所以说几何画板是数学教学中解决问题的有效工具.利用几何画板在教学中“大显身手”，不仅大大减少了课上板书的时间，使每节课都能向学生传授更多的知识，而且能使学生对数学产生更浓厚的兴趣，让学习不再是负担，不再是枷锁，给学生的思维插上一对有力的翅膀.
【课中自觉强化】
五、典例讲解：显性阿氏圆（或弧）
图11例1 如图11，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4，AC=6，⊙C的半径为2，P为⊙C上一动
点，连接 AP，BP，求 AP 12BP的最小值.
图12解析 如图12，连接CP，因为CP=2，AC=6，BC=4，则CPAC=13，CPCB=12，而题目中是求“AP 12BP”，其中的k=12，故不在 AC 上取构造点D，应选用CPCB=12，所以在CB上取一点D，使CD=CP2CB=1，则有CDCP=CPCB=PDPB=12.无论点P如何移动，△PCD 与△BCP始终相似，故PD=12BP始终成立，所以AP 12BP=AP PD，其中 A，D为定点，故 A，P，D三点共线时有最小值，AP 12BP=AP PD=AD=AC2 CD2=37.
变式1 例1的已知条件不变，求13AP BP的最小值.
图13变式 2 如圖13，在Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，⊙C 的半径为 2，点 P 是⊙C 上一动点，求23AP PB 的最小值.
变式3 变式2的已知条件不变，求AP 12BP的最小值.
图14变式4 如图14，已知在扇形OCD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一点，求2PA PB的最小值.
变式5 在变式4的条件下，求PA 65PB 的最小值.