微分和积分是解决物理问题的数学工具，《全日制普通高级中学数学大纲（实验修订版）》增加了导数内容，本文从几道经典质点运动学习题入手，对导数在中学物理中的应用做一点总结.
　　1微元法与导数的区别
　　例1如图1所示，一个半径为R的轴环O1立于光滑的水平面上，另一个同样的轴环O2以速度v0从这个轴环旁滑过，轴环很薄，且第二个紧傍第一个通过.求两轴环上交叉点M的速度与两环中心之间距离s的关系.
　　解（微元法）设某时刻交点M1与圆心O1的连线与水平面的夹角为θ，如图2所示，经Δt时间后交点M2与水平面的夹角为（θ-Δθ），由圆的对称性和条件得：圆心距的改变
　　Δs=2Rcos（θ-Δθ）-2Rcosθ
　　=2R（-2sin-Δθ2sin2θ-Δθ2），
　　当θ→0时sinθ≈θ得
　　Δs=2RΔθsinθ，
　　交点的移动距离Δl=RΔθ，
　　由同时性得vv0=ΔlΔs=12sinθ，
　　代入三角关系得v=v2sinθ=Rv04R2-s2.
　　解（求导数法）以圆心O1为原点，O1与O2连线为x轴正方向的直角坐标系交点的水平坐标为s2，交点的竖直坐标为，
　　y=R2-（s2）2，
　　水平分速度vx=12·dsdt=v02，
　　竖直分速度为
　　vy=dydt=12·12·-2s4R2-s2·dsdt=-sv024R2-s2，
　　v=v2x v2y=Rv04R2-s2.
　　说明对于微元法而言，把变量近似为常量，注重对物理过程的分析，把握变化规律；而导数的应用注重各个物理量之间的制约关系，侧重于建立相应的数学方程，把物理量的变化规律交给数学.从微元法过渡到导数实质上是从理想情况逐渐过渡到实际问题，为大学物理学习打好基础.
　　2高阶变量的应用
　　例2如图3所示，在离水面高为h的河岸上，船通过定滑轮用绳沿水平方向拉货物，且船的速率为恒值v0.求船距定滑轮水平距离为x时货物的加速度.
　　解设船头到定滑轮的距离为l，几何关系可得船沿x轴方向轨道方程为l2=x2 h2，
　　对两边求导得2ldldt=2xdxdt，
　　继续求导（dldt）2 ld2ldt2=（dxdt）2 xd2xdt2，
　　由于船速恒定，所以dldt=v，d2xdt2=0，
　　联立两式得a=d2ldt2=h2（x2 h2）32v20.
　　说明微元法的缺点就是涉及物理量的高阶变化规律时较为困难，而这恰恰是导数的最大优势.
　　3变量的选取
　　例3如图4所示，均匀光滑的细直杆AB长为l，A、B两端分别斜靠在竖直的墙壁上和水平地板上，B端在外力作用下以速度v0匀速向右移动，求当A端到O点距离为y时的A点加速度.
　　解由杆不可伸长可得
　　y=l2-x2，
　　如图4所示得：对其求导得
　　v=dydt=12·-2xl2-x2·dxdt=-xyv0.
　　设杆与水平地面夹角为θ，则y=lsinθ，x=lcosθ得
　　B点速度v0=ldcosθdt=-lsinθ×dθdt，
　　A点速度v=ldsinθdt=lcosθ×dθdt，
　　两式联立v=-v0cot.
　　说明当一个物理量的变化时，往往伴随几个物理量的改变，所以对于导数问题，变量的选取并非唯一，选取不同变量就有不同思路和过程.
　　4导数与极值
　　例4如图5所示，一条船平行于平直海岸线航行，离岸的距离为D，速率为u，一小艇速率为v（v　　对于相遇问题，中学阶段一般从矢量图形出发，但最普遍的思路是分别写出两船的运动方程，令其坐标相等得到相遇条件，以岸为参照系建立直角坐标系，船相遇条件为
　　ut=x vtcosθ
　　D=vtsinθ
　　联立消去时间t，得x=Dv·u-vcosθsinθ，
　　对其求导dxdθ=Dv·vsin2θ-ucosθ vcos2θsin2θ=0，
　　得cosθ=vu代入xmin=Dvu2-v2.
　　说明以本题为例，其最简单的数学解法应该是利用相遇条件再结合矢量三角形求解，但导数求解的思维却是最简单的，无论是思维方式还是应用范围，导数都是解决极值问题最实用的数学工具.