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天空绚烂的彩虹，亦梦亦幻的“海市蜃楼”，光学测量的透镜，全反射棱镜等等，都与光的折射定律密切相关，深入理解折射定律，会发现别有洞天.
1 实验定律的理论探析
光的折射定律是荷兰数学家斯涅耳分析了大量实验数据后，在1621年总结出：折射光线与入射光线、法线在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；折射角的正弦与入射角的正弦成正比.即[SX（]sinθ1[]sinθ2[SX）]=n，其中θ1为入射角，θ2为折射角，n为与两种介质有关的常数.
由实验得来的折射定律，也可以由理论推导得出.惠更斯在1690年指出：介质中任一波面上的各点，都可以看作发射子波的波源，其后任意时刻，这些子波在波前进方向的包络面就是新的波面，此即惠更斯原理.
[TP11GW12.TIF，Y#]
如图1所示，一束平行光线中的光线a首先于时刻t由介质1到达界面.光线a进入介质2后，又经过时间Δt，光线b也到达界面，这时A、C两点发出的子波的波面如图中两小段圆弧所示，它们的包络面为图中的A′B′，这是光进入介质2之后的新的波面.由于是两种不同的介质，其中光的传播速度v1、v2不一定相同，在Δt这段时间内，两光线a和b前进距离AA′和BB′也不一定相同.因此光进入第二种介质后传播方向常常发生偏折.下面利用平面几何知识求折射定律：
从（1）式可以看出，如果第2种介质中的光速小于第1种介质中的光速，光在进入第2种介质后，传播方向向法线靠拢，即折射角变小.
2 最省时的折射定律
我国古建筑中的“大屋顶”，从侧面看上去，两腰不是直线段，而是两段弧线（如图2）.按照这样的原理设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水，以最短的时间流走，从而对房屋起到保护的作用.
雨滴落到屋顶上，由于重力的作用速度越来越大，我们可以把屋顶按竖直高度来分层，高度越低的层面雨滴的速度越大，下面用折射定律来说明屋顶的弧线形状（如图3）：θ1到θ4的高度逐渐下降，雨滴对应的v1到v4逐渐增大，由折射定律 可知越往下来折射角度θ越大，雨滴轨迹就离法线越远，试想若竖直分层数趋近于无穷大，则雨滴轨迹为一平滑曲线.
用折射定律得出的雨滴轨迹的平滑曲线是不是“最省时”呢？这里需从折射定律的本质内涵上进行理解：若光线按折射定律所走的路径是用时最短路径，则雨滴轨迹的平滑曲线就是最省时的路线.
此严格证明需用数学中的变分，解决繁琐，下面以例题的形式进行间接证明：
例题 如图4所示，游客甲在河边游玩时发现游客乙落水，游客甲希望用最短时间救起落水者，游客甲应该沿怎样的线路救援？已知，游客甲在陆地上的运动速度为v1、水中的速度为v2，此时甲离河边的垂直距离为d1、乙离河边的垂直距离为d2，两者沿河岸方向的距离为L.
此与光的折射定律表达的形式相同说明：按折射定律所走的路径就是最省时短路径，从而证明用折射定律得出的雨滴轨迹的曲线就是最省时的路线.
3 折射定律的量子化理解
光按折射定律所走的路径是用时最短路径，那光子是“先知[HJ1.2mm]先觉”的知道走哪条路径？还是经过“一番努力”探索才找到最短路径的呢？
光子若尝试所有可能的路径才找到用时最短路径，光子尝试的可能路径是否是所有路径吗？如果是所有路径都尝试，从经典连续理论来分析，所走的路程总量可以认为无穷大的，而我们知道光速度是有限的，这样的尝试就会导致时间是无穷大的，显然这个结论是荒谬的！
下面介绍一下美国著名科学家理查德·费因曼（Richard Phillips Feynman）路径积分：
如图6所示，设A点为粒子源，在B点放置一个探测器，对粒子进行探测.设想在A与B之间放置一个多孔屏（屏上开有一系列小孔C1，C2，…）.
因为粒子—波动两重性，按量子力学态叠加原理，粒子从A点出发到B点的几率波幅为
其中ψ（BCkA）表示只有孔Ck打开的情况下粒子在B点出现的几率波幅.现在设想屏上开的小孔愈来愈多，最后等于没有这个屏.此时粒子经过屏上所有各点而到达B点的几率波幅都应考虑进去.进一步设想，在A和B之间重重叠叠地放置无限多个屏，每个屏上又开有无限多个小孔（这就相当于一个屏没有），于是粒子从A点出发经过一切可能的道路而到达B点的几率波幅都应考虑在内.设r（t）表示从A到B的一条可能的道路，则粒子从A出发而在B点出现的几率波幅为
其中ψ（r（t））表示粒子经过路径r（t）而到达B点的几率波幅.K（B，A）表示不同道路贡献的波幅以相同的权重相加起来，但相位可以不同，从而会出现干涉现象.
其实，费因曼引入的路径积分的方法中，粒子不像在经典理论中那样，在时空中只有一个历史或一个轨道，而是认为从A到B粒子可走任何可能的轨道.对应于每个轨道有一对数：一个数表示波的幅度；另一个表示在周期循环中的位置（即相位）.从A走到B的几率是将所有轨道的波加起来.一般说来，如果比较一族邻近的轨道，相位或周期循环中的位置会差别很大.这表明相应于这些轨道的波几乎都互相抵消了.然而，对于某些邻近轨道的集合，它们之间的相位没有很大变化，这些轨道的波不会抵消.这种轨道即对应于玻尔的允许轨道.实际上，由于路径不同，同样产生几率波的相位不同，几率波有的地方削弱，有的地方几率波加强，光子在所有路径出现的概率不同，在可能（允许）路径出现概率最大.由量子理论可知，哪怕只有一个光子，它也知道自己应当按照所有光子都在场时的情形来行事，当然这样也就不会出现上述的荒谬结论.折射定律中光子所走的路径，是几率波最强的地方，这地方光子的表现是波粒二象性.
4 反演的折射定律——负折射及左手材料
物理学中，介电常数ε和磁导率μ是描述均匀介质中电磁场性质的最基本的两个物理量.在已知的物质世界中，对于电介[HJ1.2mm]质而言，介电常数ε和磁导率μ都为正值，电场、磁场和波矢三者构成右手关系，这样的物质被称为右手材料.这种右手规则一直以来被认为是物质世界的常规，但这一常规却在上世纪60年代开始遭遇颠覆性的挑战.1967年，前苏联科学家维斯拉格（Victor Veselago）在理论研究中对物质电磁学性质有了新发现，即：当ε和μ都为负值时，电场、磁场和波矢之间构成左手关系.他称这种假想的物质为左手材料，同时指出，电磁波在左手材料中的行为与在右手材料中相反，比如光的负折射、反多普勒效应等等. 21世纪初期，具有这种奇异光学性质的材料在一些实验室被成功演示.光在真空中以高达每秒30万公里的最高速传递，通常以符号c来表示，材料中的光速必须除上折射率，也就是速度v=c/n，但是如果n是负的呢？根据光速公式的理解，简单来说，就是光看起来会倒退传递，光波在这种介质中行进一段距离△后，光波相位将减少[KF（]εrμr[KF）]kΔ，而不是像在通常那样同时具备正εr和正μr的介质中相位增加[KF（]εrμr[KF）]kΔ，k是光的波矢量.此种情况下，材料的光学性质将会有一些奇异表现，下面略举一二.
4.1 入射光线和折射光线在法线同侧
假定空气的相对介电常数和磁导率均等于1.按照上述性质，假设一束光从空气射到相对介电常数εr<0且相对磁导率μr<0的奇异介质表面上，证明如图7所示折射光线的方向是合理的并求出折射角θr和入射角θi的关系.
4.2 平板成透镜
维斯拉格曾预测一块n=-1的负折射率材料平板，会像一块透镜具有前所未见的特性.如图8，一块奇异介质板厚为d，其n=-1，放在空气中，一点光源位于板前某处.（提示：这个问题中，光在空气和奇异介质的表面不会发生反射.）[TP11GW17.TIF，Y#]
因为n=-1，所以折射角等于入射角.同时，每一界面都没有反射光，因此在介质中间的光线严格地会聚在与介质左侧光源对称的点上，在介质的另一侧的光线严格会聚在与像点对称的点上.
人们熟悉的是具有正折射率的透镜，常见于照相机、放大镜、显微镜及望远镜之中.影像的大小通常与物体不完全一样，会有一定程度的失真.维斯拉格的透镜的构造更简单，只对贴近它的物体产生作用，并且将整个光场由透镜的一侧转移到另一侧，这样的透镜成像保真度更高、更完美.随着左手材料的发展，必将在光学材料领域引起一场新的革命.
此外，根据左手材料奇异的特性，科学家已预言将在核磁共振成像、光存储、电磁波隐身等领域大显身手.未来，随着左手材料新产品的不断问世，将会在众多方面带给我们便利和高质量的生活.
折射定律只是光学中一个小小的领域，但它的内涵却可以和物理学的很多方面相互渗透.物理学是一个庞大的知识体系，虽然各部分在内容和形式上有着众多差异，但它们之间有着一种内在的联系，使物理学分而不散、浑然一体.
1 实验定律的理论探析
光的折射定律是荷兰数学家斯涅耳分析了大量实验数据后，在1621年总结出：折射光线与入射光线、法线在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；折射角的正弦与入射角的正弦成正比.即[SX（]sinθ1[]sinθ2[SX）]=n，其中θ1为入射角，θ2为折射角，n为与两种介质有关的常数.
由实验得来的折射定律，也可以由理论推导得出.惠更斯在1690年指出：介质中任一波面上的各点，都可以看作发射子波的波源，其后任意时刻，这些子波在波前进方向的包络面就是新的波面，此即惠更斯原理.
[TP11GW12.TIF，Y#]
如图1所示，一束平行光线中的光线a首先于时刻t由介质1到达界面.光线a进入介质2后，又经过时间Δt，光线b也到达界面，这时A、C两点发出的子波的波面如图中两小段圆弧所示，它们的包络面为图中的A′B′，这是光进入介质2之后的新的波面.由于是两种不同的介质，其中光的传播速度v1、v2不一定相同，在Δt这段时间内，两光线a和b前进距离AA′和BB′也不一定相同.因此光进入第二种介质后传播方向常常发生偏折.下面利用平面几何知识求折射定律：
从（1）式可以看出，如果第2种介质中的光速小于第1种介质中的光速，光在进入第2种介质后，传播方向向法线靠拢，即折射角变小.
2 最省时的折射定律
我国古建筑中的“大屋顶”，从侧面看上去，两腰不是直线段，而是两段弧线（如图2）.按照这样的原理设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水，以最短的时间流走，从而对房屋起到保护的作用.
雨滴落到屋顶上，由于重力的作用速度越来越大，我们可以把屋顶按竖直高度来分层，高度越低的层面雨滴的速度越大，下面用折射定律来说明屋顶的弧线形状（如图3）：θ1到θ4的高度逐渐下降，雨滴对应的v1到v4逐渐增大，由折射定律 可知越往下来折射角度θ越大，雨滴轨迹就离法线越远，试想若竖直分层数趋近于无穷大，则雨滴轨迹为一平滑曲线.
用折射定律得出的雨滴轨迹的平滑曲线是不是“最省时”呢？这里需从折射定律的本质内涵上进行理解：若光线按折射定律所走的路径是用时最短路径，则雨滴轨迹的平滑曲线就是最省时的路线.
此严格证明需用数学中的变分，解决繁琐，下面以例题的形式进行间接证明：
例题 如图4所示，游客甲在河边游玩时发现游客乙落水，游客甲希望用最短时间救起落水者，游客甲应该沿怎样的线路救援？已知，游客甲在陆地上的运动速度为v1、水中的速度为v2，此时甲离河边的垂直距离为d1、乙离河边的垂直距离为d2，两者沿河岸方向的距离为L.
此与光的折射定律表达的形式相同说明：按折射定律所走的路径就是最省时短路径，从而证明用折射定律得出的雨滴轨迹的曲线就是最省时的路线.
3 折射定律的量子化理解
光按折射定律所走的路径是用时最短路径，那光子是“先知[HJ1.2mm]先觉”的知道走哪条路径？还是经过“一番努力”探索才找到最短路径的呢？
光子若尝试所有可能的路径才找到用时最短路径，光子尝试的可能路径是否是所有路径吗？如果是所有路径都尝试，从经典连续理论来分析，所走的路程总量可以认为无穷大的，而我们知道光速度是有限的，这样的尝试就会导致时间是无穷大的，显然这个结论是荒谬的！
下面介绍一下美国著名科学家理查德·费因曼（Richard Phillips Feynman）路径积分：
如图6所示，设A点为粒子源，在B点放置一个探测器，对粒子进行探测.设想在A与B之间放置一个多孔屏（屏上开有一系列小孔C1，C2，…）.
因为粒子—波动两重性，按量子力学态叠加原理，粒子从A点出发到B点的几率波幅为
其中ψ（BCkA）表示只有孔Ck打开的情况下粒子在B点出现的几率波幅.现在设想屏上开的小孔愈来愈多，最后等于没有这个屏.此时粒子经过屏上所有各点而到达B点的几率波幅都应考虑进去.进一步设想，在A和B之间重重叠叠地放置无限多个屏，每个屏上又开有无限多个小孔（这就相当于一个屏没有），于是粒子从A点出发经过一切可能的道路而到达B点的几率波幅都应考虑在内.设r（t）表示从A到B的一条可能的道路，则粒子从A出发而在B点出现的几率波幅为
其中ψ（r（t））表示粒子经过路径r（t）而到达B点的几率波幅.K（B，A）表示不同道路贡献的波幅以相同的权重相加起来，但相位可以不同，从而会出现干涉现象.
其实，费因曼引入的路径积分的方法中，粒子不像在经典理论中那样，在时空中只有一个历史或一个轨道，而是认为从A到B粒子可走任何可能的轨道.对应于每个轨道有一对数：一个数表示波的幅度；另一个表示在周期循环中的位置（即相位）.从A走到B的几率是将所有轨道的波加起来.一般说来，如果比较一族邻近的轨道，相位或周期循环中的位置会差别很大.这表明相应于这些轨道的波几乎都互相抵消了.然而，对于某些邻近轨道的集合，它们之间的相位没有很大变化，这些轨道的波不会抵消.这种轨道即对应于玻尔的允许轨道.实际上，由于路径不同，同样产生几率波的相位不同，几率波有的地方削弱，有的地方几率波加强，光子在所有路径出现的概率不同，在可能（允许）路径出现概率最大.由量子理论可知，哪怕只有一个光子，它也知道自己应当按照所有光子都在场时的情形来行事，当然这样也就不会出现上述的荒谬结论.折射定律中光子所走的路径，是几率波最强的地方，这地方光子的表现是波粒二象性.
4 反演的折射定律——负折射及左手材料
物理学中，介电常数ε和磁导率μ是描述均匀介质中电磁场性质的最基本的两个物理量.在已知的物质世界中，对于电介[HJ1.2mm]质而言，介电常数ε和磁导率μ都为正值，电场、磁场和波矢三者构成右手关系，这样的物质被称为右手材料.这种右手规则一直以来被认为是物质世界的常规，但这一常规却在上世纪60年代开始遭遇颠覆性的挑战.1967年，前苏联科学家维斯拉格（Victor Veselago）在理论研究中对物质电磁学性质有了新发现，即：当ε和μ都为负值时，电场、磁场和波矢之间构成左手关系.他称这种假想的物质为左手材料，同时指出，电磁波在左手材料中的行为与在右手材料中相反，比如光的负折射、反多普勒效应等等. 21世纪初期，具有这种奇异光学性质的材料在一些实验室被成功演示.光在真空中以高达每秒30万公里的最高速传递，通常以符号c来表示，材料中的光速必须除上折射率，也就是速度v=c/n，但是如果n是负的呢？根据光速公式的理解，简单来说，就是光看起来会倒退传递，光波在这种介质中行进一段距离△后，光波相位将减少[KF（]εrμr[KF）]kΔ，而不是像在通常那样同时具备正εr和正μr的介质中相位增加[KF（]εrμr[KF）]kΔ，k是光的波矢量.此种情况下，材料的光学性质将会有一些奇异表现，下面略举一二.
4.1 入射光线和折射光线在法线同侧
假定空气的相对介电常数和磁导率均等于1.按照上述性质，假设一束光从空气射到相对介电常数εr<0且相对磁导率μr<0的奇异介质表面上，证明如图7所示折射光线的方向是合理的并求出折射角θr和入射角θi的关系.
4.2 平板成透镜
维斯拉格曾预测一块n=-1的负折射率材料平板，会像一块透镜具有前所未见的特性.如图8，一块奇异介质板厚为d，其n=-1，放在空气中，一点光源位于板前某处.（提示：这个问题中，光在空气和奇异介质的表面不会发生反射.）[TP11GW17.TIF，Y#]
因为n=-1，所以折射角等于入射角.同时，每一界面都没有反射光，因此在介质中间的光线严格地会聚在与介质左侧光源对称的点上，在介质的另一侧的光线严格会聚在与像点对称的点上.
人们熟悉的是具有正折射率的透镜，常见于照相机、放大镜、显微镜及望远镜之中.影像的大小通常与物体不完全一样，会有一定程度的失真.维斯拉格的透镜的构造更简单，只对贴近它的物体产生作用，并且将整个光场由透镜的一侧转移到另一侧，这样的透镜成像保真度更高、更完美.随着左手材料的发展，必将在光学材料领域引起一场新的革命.
此外，根据左手材料奇异的特性，科学家已预言将在核磁共振成像、光存储、电磁波隐身等领域大显身手.未来，随着左手材料新产品的不断问世，将会在众多方面带给我们便利和高质量的生活.
折射定律只是光学中一个小小的领域，但它的内涵却可以和物理学的很多方面相互渗透.物理学是一个庞大的知识体系，虽然各部分在内容和形式上有着众多差异，但它们之间有着一种内在的联系，使物理学分而不散、浑然一体.