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【摘要】如何通过教学设计有效解决内容复杂的应用题，让学生成为学习的主体，以及如何提高教学效率一直是中学数学教师在课改中要解决的问题.本文的“二元一次方程组与实际应用探究1”教学设计在实施过程中，首先，通过将数学知识融于故事情节，把实际问题转化为数学问题，激发学生的学习兴趣和主动性;其次，根据具体问题中的数量关系，列出方程组，体验建模思想;再次，要求学生会解所列的二元一次方程组，让学生理解消元方法和感受化归思想，并能根据实际问题检验结果的合理性;最后，对该教学设计的实施进行反思.本文为中学数学教学设计的有效实施提供了依据和参考.
【关键词】二元一次方程组;实际应用探究;教学设计;实施;反思
【基金项目】感谢广东省教育科学研究项目的特色创新类项目（教育科研）（No.2016GXJK091）的经费资助.
随着社会的不断进步和发展，教育也在进行着改革.在新形势下，以学生为主体的素质教育已成为当今中学教学的主旋律和新亮点.新课改涵盖以学生为本的教育观、主体性的学生观、职业化的教师观、科学化的课程观、现代化的教学观和建构性的评价观六个基本理念，其核心是一切为了每名学生的发展.随着素质教育的全面开展及新课程标准的颁布与实施，一种走在教学理论前沿的新教育理念将随之产生，它代表着中学教育的全新教学方向.
根据新课程改革的基本理念，在中学教学过程中必须强调素质教育，以学生为主体的学习活动、课程教学要注重过程，要有新的教学观、教师观、学生观和评价观，要注重培养学生的自主学习、合作学习和探究学习的能力.所以，教师必须精心准备上课内容和创造性地使用教材，使初中数学课堂教学变得更加生动和有效.
“二元一次方程组与实际应用探究1”教学设计就是根据新课程改革理念，在教学设计中渗透化归思想，将数学知识贯穿故事情节中，激发学生的学习兴趣.该教学设计主要用于解决内容复杂的应用题，其主要教学目标包括：能设两个未知数，根据具体问题中的数量关系，列出方程组，体验建模思想;在解所列的二元一次方程组的过程中感受消元方法的化归思想，并能根据具体问题中的实际意义，检验结果是否合理.本堂课成功的关键是明确问题的所在，准确快速地设出未知数，找到等量关系，从而列出正确的方程组.
一、必要性和可行性分析
有关二元一次方程组的应用题是中学数学教学内容的重点和难点.解决二元一次方程组应用问题的关键在于如何将实际问题转化为数学问题.因此，选取的例题也必须从学生熟悉的内容出发，让学生感受到数学实际上是与日常生活紧密相关的，以及数学在人类社会实践中所发挥的重要作用.这样可以激发学生学习数学的兴趣，使学生自觉主动地运用数学思维方法去分析和解决一些现实生活中的简单问题.
随着社会的发展和科技的进步，数学在现实中所起到的作用越来越大.增强数学的实用性，实际上就是强调如何培养学生的实际应用能力.教师应先教会学生如何在实际运用中发现问题，并帮助其找到解决办法，让学生具备运用数学思想的观念和习惯，增强学生的创造能力和解决实际问题的能力.初中阶段，对学生的数学应用意识培养尚属于初级阶段，学生能够用二元一次方程组解决一些简单的实际问题即可.
二、教学设计实施成功之处
笔者将教学设计在一个平行班中实施.从课堂气氛、学生的学卷、学生上台叙述的思路和回答问题的表现等几个方面来看，这节课完满完成了教学目标.令笔者感触颇深的是以下几点：
1.故事引入，激发兴趣
通过“投牛致富”故事引入问题，让学生将实际问题转化为数学问题，理解等量关系的意义，为理解例题做思维铺垫.这样引入能很好地让学生体验到生活中数学知识的乐趣，有利于调动学生探索新知识的兴趣和学习的积极性.
2.先做后评，自主探索
展示例题，学生审题，分析题中的已知数和未知数，用字母表示未知数，探究要解决的问题，让学生自主观察、寻找能够表示题意的等量关系，并列出方程组.可先让学生独自做，然后请学生代表上台展示，并解释等量关系的意义，最后全班交流、反馈.该过程充分体现了学生是数学学习主人的理念.
3.以问引思，教师主引
教师通过事先精心设计的问题，能够及时发现学生课堂上的疑问，并及时对其进行启发、引导.学卷上的例题没有明确提出问题，于是，教师为学生设计了4个问题：（1）该题要解决什么问题？（2）要计算哪些量才能检验李大叔估计得是否正确？（3）要设哪几个未知数？（4）要如何找到等量关系？教师在巡堂中发现很多学生完成C组题有困难，大多数学生只能求出每箱A牛奶和每箱B牛奶的花费.“比不打折少花多少钱？”的问题难住了大部分学生.于是教师对学生进行引导：打折前，买100箱A牛奶花费多少钱？买70箱B牛奶花费多少钱？打折前买100箱A牛奶和70箱B牛奶一共花費多少钱？打折后买100箱A牛奶和70箱B牛奶一共花费多少钱？学生很快就获得了“少花多少钱”的答案.
4.串联故事、问题转化，“教”与“学”的结合点
站在学生的立场，编写“学案”，找准哪些知识点是学生感兴趣的，明确学习的难点.在“学案”中，恰当地引入牛的故事，让故事贯穿始终.把实际问题转化成数学问题，化枯燥为有趣，化生活为数学.
三、教学过程中细节存在不足之处
1.展示A组题，方法单一
课堂上展示学生所列方程组10x 5y=600，5x 5y=450的解答过程，教师提问，学生点评等量关系的意义.但遗憾的是，教师没有同时把其他两个方程组10x 5y=600，5x=600-4505x 5y=450，5x=600-450一起展示出来进行比较点评，在一定程度上影响了课堂教学效果.
2.处理B组、C组的解设环节，缺少追问
教师巡堂时发现同学们解设环节完成得不错，代表上台展示时，教师只追问了等量关系的意义，忽略了对解设环节的追问.B组、C组没有直接提出要解决的问题，若教师能在此及时进行追问，对学困生的思维引导会有一定帮助. 3.处理小结，缺少对学生想法的完善
本节课临近尾声时，同学们总结解二元一次方程组应用题的重点和关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系.教师虽在此做了补充（与简单应用题不同的是，本节例题在解题过程中明确问题、突破解设），但忽略了在小结中要强调本节课用二元一次方程组解决实际问题体现了数学建模思想和化归思想的应用.
四、教学设计中有待修改之处
课后，笔者通过反思认为教学设计中有些细节若进行以下修改，可能效果更好.
1.解题过程中处理细节的修改
A组
例1.随着肉牛价格一路攀升，牛场主开始关注牛的增长速度，发现10只大牛和5只小牛一个月后体重增长600千克，5只大牛和5只小牛一个月后体重增长450千克，你能否计算出每只大牛、每只小牛每月增长多少千克？
解：设每只大牛每月增长x千克，每只小牛每月增长y千克.
根据题意列出方程组：
然后经过解方程组、检验和答等步骤.
原活动：学生先做，教师巡堂，适时对学生解答中出现的错误进行点拨，展示学生作业，学生解释等量关系.
修改后活动：学生先做，教师巡堂，适时对学生解答中出现的错误进行点拨，向学生展示三种解法，让学生比较点评和解释等量关系的意义，使学生感受到解方程组时降元法的化归思想.
B组
例2.采用大小两种货车运牛，2辆大车与3辆小车一次可运31头，5辆大车与6辆小车一次可运70头，3辆大车与5辆小车一次可运多少头？
原活动：学生先做，教师巡堂，适时提出问题“3辆大车与5辆小车一次可运多少头？”，展示学生作业，学生解释等量关系.
修改后活动：学生先做，教师巡堂，适时提出问题“3辆大车与5辆小车一次可运多少头？”，展示学生作业，教师提问，学生解释解设的思维过程和等量关系，感受建模思想和化归思想.
C组
例3.打折前，买60箱A牛奶和30箱B牛奶用了4200元，买50箱A牛奶和10箱B牛奶用了2600元;打折后，买100箱A牛奶和70箱B牛奶用了6500元，打折比不打折少花多少钱？
原活动：学生先做，教师巡堂，适时提问“打折前，买100箱A牛奶和70箱B牛奶的花费？” “少花多少钱？”，展示学生作业，学生解释等量关系.
修改后活动：学生先做，教师巡堂，适时提问“打折前，买100箱A牛奶和70箱B牛奶的花费？”“少花多少钱？”，展示学生作业，教师提问，学生解释解设的思维过程和等量关系，培养建模思想和化归思想.
2.给足时间，体验小结
原活动：同学们说出了本节课的重点是找等量关系.与简单应用题不同的是，本节例题又多了一個解题关键，明确问题，突破解设.
修改后活动：同学们说出了本节课的重点是找等量关系.与简单应用题不同的是，本节例题又多了一个解题关键，明确问题，突破解设.用二元一次方程组解决实际问题体现了数学建模思想和化归思想的应用.同学们分享收获，引导学困生提出问题，帮助学生解决问题，进行评价.
本教学设计的实施，除了让学生学会运用二元一次方程组解决一些简单的实际问题外，还培养了他们的数学建模思想、方程思想和化归思想，提高了他们分析问题和解决实际问题的能力.
【参考文献】
[1]郑春敏.新课程理念下的数学教学[J].教育：教学科研（下旬），2014（002）：34-35.
[2]石向阳.新课标下初中学生问题意识的培养[J].数学学习与研究：教研版，2019（012）：84.
[3]习海珍.新课标下初中数学课堂教学有效性策略[J].新教育时代电子杂志（学生版），2019（41）：204.
[4]邱艳红.探讨提升初中数学课堂教学的有效性[J].中国农村教育，2019（27）：120-121.
[5]张金江，黄德诚.基于数学核心素养背景下二元一次方程的教学探究[J].数学学习与研究，2019（13）：90.
[6]顿继安，黄炜.大概念统摄下的“二元一次方程组”单元教学研究[J].基础教育课程，2019（18）：12-19.
[7]王晴.改变传统教学模式，构建高效学习课堂[J].数学学习与研究，2020（4）：123-124.
[8]王洁.化归思想在初中数学教学中的实践研究[D].合肥：合肥师范学院，2020.
[9]许艳.二元一次方程组在实际问题中的应用[J].科教文汇，2013（24）：144，152.
【关键词】二元一次方程组;实际应用探究;教学设计;实施;反思
【基金项目】感谢广东省教育科学研究项目的特色创新类项目（教育科研）（No.2016GXJK091）的经费资助.
随着社会的不断进步和发展，教育也在进行着改革.在新形势下，以学生为主体的素质教育已成为当今中学教学的主旋律和新亮点.新课改涵盖以学生为本的教育观、主体性的学生观、职业化的教师观、科学化的课程观、现代化的教学观和建构性的评价观六个基本理念，其核心是一切为了每名学生的发展.随着素质教育的全面开展及新课程标准的颁布与实施，一种走在教学理论前沿的新教育理念将随之产生，它代表着中学教育的全新教学方向.
根据新课程改革的基本理念，在中学教学过程中必须强调素质教育，以学生为主体的学习活动、课程教学要注重过程，要有新的教学观、教师观、学生观和评价观，要注重培养学生的自主学习、合作学习和探究学习的能力.所以，教师必须精心准备上课内容和创造性地使用教材，使初中数学课堂教学变得更加生动和有效.
“二元一次方程组与实际应用探究1”教学设计就是根据新课程改革理念，在教学设计中渗透化归思想，将数学知识贯穿故事情节中，激发学生的学习兴趣.该教学设计主要用于解决内容复杂的应用题，其主要教学目标包括：能设两个未知数，根据具体问题中的数量关系，列出方程组，体验建模思想;在解所列的二元一次方程组的过程中感受消元方法的化归思想，并能根据具体问题中的实际意义，检验结果是否合理.本堂课成功的关键是明确问题的所在，准确快速地设出未知数，找到等量关系，从而列出正确的方程组.
一、必要性和可行性分析
有关二元一次方程组的应用题是中学数学教学内容的重点和难点.解决二元一次方程组应用问题的关键在于如何将实际问题转化为数学问题.因此，选取的例题也必须从学生熟悉的内容出发，让学生感受到数学实际上是与日常生活紧密相关的，以及数学在人类社会实践中所发挥的重要作用.这样可以激发学生学习数学的兴趣，使学生自觉主动地运用数学思维方法去分析和解决一些现实生活中的简单问题.
随着社会的发展和科技的进步，数学在现实中所起到的作用越来越大.增强数学的实用性，实际上就是强调如何培养学生的实际应用能力.教师应先教会学生如何在实际运用中发现问题，并帮助其找到解决办法，让学生具备运用数学思想的观念和习惯，增强学生的创造能力和解决实际问题的能力.初中阶段，对学生的数学应用意识培养尚属于初级阶段，学生能够用二元一次方程组解决一些简单的实际问题即可.
二、教学设计实施成功之处
笔者将教学设计在一个平行班中实施.从课堂气氛、学生的学卷、学生上台叙述的思路和回答问题的表现等几个方面来看，这节课完满完成了教学目标.令笔者感触颇深的是以下几点：
1.故事引入，激发兴趣
通过“投牛致富”故事引入问题，让学生将实际问题转化为数学问题，理解等量关系的意义，为理解例题做思维铺垫.这样引入能很好地让学生体验到生活中数学知识的乐趣，有利于调动学生探索新知识的兴趣和学习的积极性.
2.先做后评，自主探索
展示例题，学生审题，分析题中的已知数和未知数，用字母表示未知数，探究要解决的问题，让学生自主观察、寻找能够表示题意的等量关系，并列出方程组.可先让学生独自做，然后请学生代表上台展示，并解释等量关系的意义，最后全班交流、反馈.该过程充分体现了学生是数学学习主人的理念.
3.以问引思，教师主引
教师通过事先精心设计的问题，能够及时发现学生课堂上的疑问，并及时对其进行启发、引导.学卷上的例题没有明确提出问题，于是，教师为学生设计了4个问题：（1）该题要解决什么问题？（2）要计算哪些量才能检验李大叔估计得是否正确？（3）要设哪几个未知数？（4）要如何找到等量关系？教师在巡堂中发现很多学生完成C组题有困难，大多数学生只能求出每箱A牛奶和每箱B牛奶的花费.“比不打折少花多少钱？”的问题难住了大部分学生.于是教师对学生进行引导：打折前，买100箱A牛奶花费多少钱？买70箱B牛奶花费多少钱？打折前买100箱A牛奶和70箱B牛奶一共花費多少钱？打折后买100箱A牛奶和70箱B牛奶一共花费多少钱？学生很快就获得了“少花多少钱”的答案.
4.串联故事、问题转化，“教”与“学”的结合点
站在学生的立场，编写“学案”，找准哪些知识点是学生感兴趣的，明确学习的难点.在“学案”中，恰当地引入牛的故事，让故事贯穿始终.把实际问题转化成数学问题，化枯燥为有趣，化生活为数学.
三、教学过程中细节存在不足之处
1.展示A组题，方法单一
课堂上展示学生所列方程组10x 5y=600，5x 5y=450的解答过程，教师提问，学生点评等量关系的意义.但遗憾的是，教师没有同时把其他两个方程组10x 5y=600，5x=600-4505x 5y=450，5x=600-450一起展示出来进行比较点评，在一定程度上影响了课堂教学效果.
2.处理B组、C组的解设环节，缺少追问
教师巡堂时发现同学们解设环节完成得不错，代表上台展示时，教师只追问了等量关系的意义，忽略了对解设环节的追问.B组、C组没有直接提出要解决的问题，若教师能在此及时进行追问，对学困生的思维引导会有一定帮助. 3.处理小结，缺少对学生想法的完善
本节课临近尾声时，同学们总结解二元一次方程组应用题的重点和关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系.教师虽在此做了补充（与简单应用题不同的是，本节例题在解题过程中明确问题、突破解设），但忽略了在小结中要强调本节课用二元一次方程组解决实际问题体现了数学建模思想和化归思想的应用.
四、教学设计中有待修改之处
课后，笔者通过反思认为教学设计中有些细节若进行以下修改，可能效果更好.
1.解题过程中处理细节的修改
A组
例1.随着肉牛价格一路攀升，牛场主开始关注牛的增长速度，发现10只大牛和5只小牛一个月后体重增长600千克，5只大牛和5只小牛一个月后体重增长450千克，你能否计算出每只大牛、每只小牛每月增长多少千克？
解：设每只大牛每月增长x千克，每只小牛每月增长y千克.
根据题意列出方程组：
然后经过解方程组、检验和答等步骤.
原活动：学生先做，教师巡堂，适时对学生解答中出现的错误进行点拨，展示学生作业，学生解释等量关系.
修改后活动：学生先做，教师巡堂，适时对学生解答中出现的错误进行点拨，向学生展示三种解法，让学生比较点评和解释等量关系的意义，使学生感受到解方程组时降元法的化归思想.
B组
例2.采用大小两种货车运牛，2辆大车与3辆小车一次可运31头，5辆大车与6辆小车一次可运70头，3辆大车与5辆小车一次可运多少头？
原活动：学生先做，教师巡堂，适时提出问题“3辆大车与5辆小车一次可运多少头？”，展示学生作业，学生解释等量关系.
修改后活动：学生先做，教师巡堂，适时提出问题“3辆大车与5辆小车一次可运多少头？”，展示学生作业，教师提问，学生解释解设的思维过程和等量关系，感受建模思想和化归思想.
C组
例3.打折前，买60箱A牛奶和30箱B牛奶用了4200元，买50箱A牛奶和10箱B牛奶用了2600元;打折后，买100箱A牛奶和70箱B牛奶用了6500元，打折比不打折少花多少钱？
原活动：学生先做，教师巡堂，适时提问“打折前，买100箱A牛奶和70箱B牛奶的花费？” “少花多少钱？”，展示学生作业，学生解释等量关系.
修改后活动：学生先做，教师巡堂，适时提问“打折前，买100箱A牛奶和70箱B牛奶的花费？”“少花多少钱？”，展示学生作业，教师提问，学生解释解设的思维过程和等量关系，培养建模思想和化归思想.
2.给足时间，体验小结
原活动：同学们说出了本节课的重点是找等量关系.与简单应用题不同的是，本节例题又多了一個解题关键，明确问题，突破解设.
修改后活动：同学们说出了本节课的重点是找等量关系.与简单应用题不同的是，本节例题又多了一个解题关键，明确问题，突破解设.用二元一次方程组解决实际问题体现了数学建模思想和化归思想的应用.同学们分享收获，引导学困生提出问题，帮助学生解决问题，进行评价.
本教学设计的实施，除了让学生学会运用二元一次方程组解决一些简单的实际问题外，还培养了他们的数学建模思想、方程思想和化归思想，提高了他们分析问题和解决实际问题的能力.
【参考文献】
[1]郑春敏.新课程理念下的数学教学[J].教育：教学科研（下旬），2014（002）：34-35.
[2]石向阳.新课标下初中学生问题意识的培养[J].数学学习与研究：教研版，2019（012）：84.
[3]习海珍.新课标下初中数学课堂教学有效性策略[J].新教育时代电子杂志（学生版），2019（41）：204.
[4]邱艳红.探讨提升初中数学课堂教学的有效性[J].中国农村教育，2019（27）：120-121.
[5]张金江，黄德诚.基于数学核心素养背景下二元一次方程的教学探究[J].数学学习与研究，2019（13）：90.
[6]顿继安，黄炜.大概念统摄下的“二元一次方程组”单元教学研究[J].基础教育课程，2019（18）：12-19.
[7]王晴.改变传统教学模式，构建高效学习课堂[J].数学学习与研究，2020（4）：123-124.
[8]王洁.化归思想在初中数学教学中的实践研究[D].合肥：合肥师范学院，2020.
[9]许艳.二元一次方程组在实际问题中的应用[J].科教文汇，2013（24）：144，152.