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四边形是三角形知识的延续,又是学好相似形和圆的基础.但在解题过程中,经常会出现各种错误,现就几类比较常见的错误举例剖析如下,望同学们能引以为鉴.
一 、无法正确判定图形
例1 一组对边相等,一组对角相等的四边形是否是平行四边形?
错解:是平行四边形.
错因分析:误用了平行四边形的判定方法.
正解:一组对边相等,一组对角相等的四边形不是平行四边形.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,且BD≠DC.作△ADE,使AE=DC,DE=AC,则△ADE≌△DAC,因为∠ACD=∠DEA,AC=DE,且∠B=∠ACD,AB=AC,所以∠B=∠DEA,AB=DE.在四边形ABDE中,虽然AB=DE,∠B=∠DEA,即一组对边相等,一组对角相等,但由于BD≠DC,即BD≠AE,因此四边形ABDE不是平行四边形.
点拨:要熟记平行四边形的判定方法,避免判定时出错.
二 、无法正确理解概念
例2 两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE 如图2所示放置,且AB=BF .求证:四边形BNDM为菱形.
错解: ∵四边形ABCD、BFDE是两个完全相同的矩形,
∴AB=BF=ED,∠A=∠E=90,∠AMB=∠EMD,
∴△ABM≌△EDM,
∴BM=DM.
∵四边形BNDM有一组邻边相等,
∴四边形BNDM是菱形.
错因分析:误以为有一组邻边相等的四边形就是菱形.根据菱形的判定方法,有一组邻边相等的平行四边形才是菱形.因此还须证明四边形BNDM是一个平行四边形.
正解:∵四边形ABCD、BFDE是矩形,
∴ BM∥DN,DM∥BN ,
∴四边形BNDM是平行四边形.
又∵AB=BF=ED,∠A=∠E=90,∠AMB=∠EMD,
∴ △ABM≌△EDM,
∴ BM=DM,
∴四边形BNDM是菱形.
点拨:平行四边形包括特殊的平行四边形,如菱形.应熟练掌握这些特殊平行四边形的概念,并能正确理解.
三、无法正确添加辅助线
例3如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B与∠C互余,E、F分别为AD、BC的中点,试说明EF=(BC-AD).
错解:延长BA、CD交于点O,连结OE.
∵∠B与∠C互余, ∴∠BOC=90,
∵E、F分别为AD、BC的中点,
∴OE=AD , OF=BC,
∴EF=OF-OE=(BC-AD).
错因分析:错误地连接辅助线OE,并以为O、E、F三点共线.
正解:如图4,过E作EG∥AB,EH∥DC,分别交BC于点G、H.所以AE=BG,DE=CH,所以∠B=∠1,∠C=∠2.因为∠B与∠C互余,所以∠1与∠2互余.所以∠GEH=90.因为点F为GH的中点,所以 GF=FH,所以EF=GH. 又因为GH=BC-(BG+HC),BG+HC=AE+ED=AD,所以EF=(BC-AD).
点拨:在解题过程中,正确使用辅助线可以达到快速解题的目的,否则会适得其反.
四、无法找出所有正解
例4 如图5,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4AD= 4,∠B=45. 直角三角板含45角的顶点E在边BC上移动,一直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F,若△ABE为等腰三角形,试求CF的长.
错解:如图6,此时AE=BE,因为∠B=45,所以AE=BE.因为BC=4AD= 4,所以AE=BE=(BC-AD)=.在Rt△ABE中,AB==3,因为∠AEF=45,∠DCE=45,∠AEC=90,所以∠CFE=90, 所以EF⊥CD.所以△CEF为等腰直角三角形,EF=CF. 所以CE=BC-BE=4-=.
过点F作FG⊥EC于点G,则EG=CG=FG= ,所以CF= =.
错因分析:由于图形运动,导致△ABE形状不确定,错解只考虑到AE=BE的情况,事实上还有可能出现BA=BE和AB=AE两种情况,因此必须分类讨论.
正解: (1)当AE=BE时,如图6,见错解.
(2)当BA=BE时,如图7.因为∠B=45,所以∠AEB=∠BAE=67.5,因为∠AEF=45,∠C=45,所以∠CEF=∠CFE=67.5,所以△CEF是一个等腰三角形,BE=BA=3[同(1)中求法],所以CF=CE=BC-BE= 4-3.
(3)当AB=AE时,如图8.∠AEB=∠B=45,因为∠C=45,所以AE∥DC,又因为AD∥EC,所以四边形AECD是平行四边形,则CE=AD=.又因为∠AEF=45,所以EF⊥BC,所以△CEF是等腰直角三角形,所以EF=EC= .在Rt△CEF中,CF==2.
综上所述,CF的长为, 4-3或2.
点拨:解题时要认真审题,当题设中没有给出具体的图形或图形处于运动状态时,要对可能存在的各种情况进行分析,才能得出完整的结论.
一 、无法正确判定图形
例1 一组对边相等,一组对角相等的四边形是否是平行四边形?
错解:是平行四边形.
错因分析:误用了平行四边形的判定方法.
正解:一组对边相等,一组对角相等的四边形不是平行四边形.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,且BD≠DC.作△ADE,使AE=DC,DE=AC,则△ADE≌△DAC,因为∠ACD=∠DEA,AC=DE,且∠B=∠ACD,AB=AC,所以∠B=∠DEA,AB=DE.在四边形ABDE中,虽然AB=DE,∠B=∠DEA,即一组对边相等,一组对角相等,但由于BD≠DC,即BD≠AE,因此四边形ABDE不是平行四边形.
点拨:要熟记平行四边形的判定方法,避免判定时出错.
二 、无法正确理解概念
例2 两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE 如图2所示放置,且AB=BF .求证:四边形BNDM为菱形.
错解: ∵四边形ABCD、BFDE是两个完全相同的矩形,
∴AB=BF=ED,∠A=∠E=90,∠AMB=∠EMD,
∴△ABM≌△EDM,
∴BM=DM.
∵四边形BNDM有一组邻边相等,
∴四边形BNDM是菱形.
错因分析:误以为有一组邻边相等的四边形就是菱形.根据菱形的判定方法,有一组邻边相等的平行四边形才是菱形.因此还须证明四边形BNDM是一个平行四边形.
正解:∵四边形ABCD、BFDE是矩形,
∴ BM∥DN,DM∥BN ,
∴四边形BNDM是平行四边形.
又∵AB=BF=ED,∠A=∠E=90,∠AMB=∠EMD,
∴ △ABM≌△EDM,
∴ BM=DM,
∴四边形BNDM是菱形.
点拨:平行四边形包括特殊的平行四边形,如菱形.应熟练掌握这些特殊平行四边形的概念,并能正确理解.
三、无法正确添加辅助线
例3如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B与∠C互余,E、F分别为AD、BC的中点,试说明EF=(BC-AD).
错解:延长BA、CD交于点O,连结OE.
∵∠B与∠C互余, ∴∠BOC=90,
∵E、F分别为AD、BC的中点,
∴OE=AD , OF=BC,
∴EF=OF-OE=(BC-AD).
错因分析:错误地连接辅助线OE,并以为O、E、F三点共线.
正解:如图4,过E作EG∥AB,EH∥DC,分别交BC于点G、H.所以AE=BG,DE=CH,所以∠B=∠1,∠C=∠2.因为∠B与∠C互余,所以∠1与∠2互余.所以∠GEH=90.因为点F为GH的中点,所以 GF=FH,所以EF=GH. 又因为GH=BC-(BG+HC),BG+HC=AE+ED=AD,所以EF=(BC-AD).
点拨:在解题过程中,正确使用辅助线可以达到快速解题的目的,否则会适得其反.
四、无法找出所有正解
例4 如图5,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4AD= 4,∠B=45. 直角三角板含45角的顶点E在边BC上移动,一直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F,若△ABE为等腰三角形,试求CF的长.
错解:如图6,此时AE=BE,因为∠B=45,所以AE=BE.因为BC=4AD= 4,所以AE=BE=(BC-AD)=.在Rt△ABE中,AB==3,因为∠AEF=45,∠DCE=45,∠AEC=90,所以∠CFE=90, 所以EF⊥CD.所以△CEF为等腰直角三角形,EF=CF. 所以CE=BC-BE=4-=.
过点F作FG⊥EC于点G,则EG=CG=FG= ,所以CF= =.
错因分析:由于图形运动,导致△ABE形状不确定,错解只考虑到AE=BE的情况,事实上还有可能出现BA=BE和AB=AE两种情况,因此必须分类讨论.
正解: (1)当AE=BE时,如图6,见错解.
(2)当BA=BE时,如图7.因为∠B=45,所以∠AEB=∠BAE=67.5,因为∠AEF=45,∠C=45,所以∠CEF=∠CFE=67.5,所以△CEF是一个等腰三角形,BE=BA=3[同(1)中求法],所以CF=CE=BC-BE= 4-3.
(3)当AB=AE时,如图8.∠AEB=∠B=45,因为∠C=45,所以AE∥DC,又因为AD∥EC,所以四边形AECD是平行四边形,则CE=AD=.又因为∠AEF=45,所以EF⊥BC,所以△CEF是等腰直角三角形,所以EF=EC= .在Rt△CEF中,CF==2.
综上所述,CF的长为, 4-3或2.
点拨:解题时要认真审题,当题设中没有给出具体的图形或图形处于运动状态时,要对可能存在的各种情况进行分析,才能得出完整的结论.