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[摘 要]学生在学习圆的面积之前，已经积累了一定的推导面积计算公式的经验。针对推导圆的面积计算公式时存在的转化方法单一的现象，在推导圆的面积计算公式时，教师要给予学生足够的时间与空间，引导学生积极、主动地进行探究，进一步感悟“转化”的数学思想，从而促进探究能力的发展。
[关键词]操作;转化;相异构想;圆的面积
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）14-0019-03
一、缘起
“圆的面积”是小学阶段学习的最后一个平面图形的面积，在此之前，学生已经积累了一定的学习平面图形面积的经验，特别是对“转化”的思想方法有了初步的认识和理解。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式;探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。可见，在学习圆的周长和面积时，需要引导学生自主地进行“探索”。
当前的教学中，对圆的面积计算公式的推导，存在以下三种现象：1.教师操作代替学生操作。不少教师为了节约时间，在推导圆的面积计算公式时，直接借助教具演示和讲解圆的面积计算公式。2.课件演示代替学生思考。有些教师没有实物操作，直接在课件动态演示的基础上通过归纳和比较得出圆的面积计算公式。3.推导方式单一。由于受教材的限制，学生在推导时都把圆转化成平行四边形。
可见，学生在探究圆的面积计算公式的推导过程中，缺乏主动性——要么没有真切的经验积累，要么操作方式单一，“走走过场”;教师把主要的时间花在了让学生应用公式计算圆的面积，进而熟记计算公式上。这样的教学方式带有鲜明的“应试”烙印，学生的主动性、创造性和创新性根本得不到培养和发展，长此以往，将会使学生的思维僵化，不利于学生个性化的发展。
二、对学生相异构想的评估
1.实施前测，统计结果（前测数：47人;前测方法：访谈法、观察法）
第一题：圆的面积指什么？请你指一指。（提供一个标有圆心的圆形纸片）
第二题：这个圆的面积有多大？你会解决吗？（提供笔、尺、纸、剪刀）
对于回答“会的”37名学生再给出三个问题：
追问一：怎么解决的？请你试一试。（提供半径为3厘米的圆形纸片）
追问二：你是怎么知道计算圆的面积计算方法的？
追问三：你能推导圆的面积计算公式吗？试一试。
2.分析学生的学习起点
（1）基础知识：在完全理解圆的面积的意义的基础上，有72.4%的学生能通过测量、计算得出圆的面积，说明他们已初步掌握圆的面积的计算方法。
（2）基本技能：有51.1%的学生能通过剪拼成近似的长方形（或平行四边形）推导圆的面积计算公式;有18.3%的学生会计算圆的面积，不会推导计算公式。
（3）基本活动经验：课外辅导班对学生的学习影响深远，但仅限于把圆转化成近似的长方形或平行四边形来推导，转化方式比较单一。
（4）基本的思想方法：63.7%的学生已基本形成“转化”的思想方法，但仍有36.3%的学生没有想到可通过“转化”进行推导。
3.基于上述分析，评估学生的相异构想
相异构想1：“转化”的思想方法没有完全形成。
调整策略——通过回顾平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程，唤醒“转化”的经验，并利用这一经验进行圆的面积的计算公式推导，进一步理解、巩固“转化”的思想方法。
相异构想2：转化方法单一。
调整策略——引导学生经历把圆形纸片剪、拼成不同的图形来推导面积计算公式的过程，感悟推导方法的多样性，发展推理能力。
三、教学实践
学具准备：每人一把剪刀、2个圆形纸片。
【片段1】基本操作——把圆转化成平行四边形（或长方形）
师：我们一起来回顾，在推导平面图形面积计算公式时，用的是什么方法？请举例说明。（课件展示推导平面图形面积计算公式时的“转化”方法）能不能用这种方法推导圆的面积的计算公式呢？先想一想准备怎么转化，再动手试一试。（有一半左右的学生会操作）
师：操作成功了吗？请说说你的想法。
生1：我先把这个圆形纸片平均分成8份，这8份可以拼成一个平行四边形（如图1）。
师：这是一个标准的平行四边形吗？
生1：不是的，它是一个近似的平行四边形。
师：还有谁也是把圆转化成平行四边形？（大多数学生都举起了手）
师（出示图2）：这是几个同学“转化”的结果，我们一起来看看。
师：你们有什么发现？
生2：看上去越来越像平行四边形了。
师：请想象一下，如果平均分的份数越来越多，它就——
生（齐）：越来越像平行四边形。
师：你们为什么想到要把圆转化成平行四边形呢？
生3：这样就可以推导圆的面积的计算公式了，我还画了图（如图3）。平行四边形的底正好是圆的周长的一半，高就是半径，平行四边形的面积计算公式是底乘高，那圆的面积就是πr2。
生4：平均分的份數越多，也越来越像长方形了。
师：通过刚才的研究，把圆转化成了近似的平行四边形或长方形，就可以推导圆的面积计算公式是S=πr2。
【片段2】拓展性操作——把圆转化成三角形和梯形
师：还有没有不同的推导方法？（没有学生回应）我们已经学习了哪些图形的面积计算方法？（板书：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）我们已经成功地把圆转化成了平行四边形和长方形来推导面积计算公式，可不可以将圆转化成其他图形呢？请试一试。 学生介绍：
师：圆不但能转化成平行四边形或长方形，也能转化成梯形和三角形。那有没有成功转化成正方形的？
生1：我做到了。（如图5）
生2：你转化的图形看上去有点像正方形，但不是正方形。你这个图形下面的底是圆周长的[14]，可以用[12]πr表示，高是2r，[12]πr和2r是不相等的，所以不是正方形。
生1：确实不是正方形。
生3：我拼成的是三角形，我的同桌拼成的是梯形。但我却拼不成梯形，他也拼不成三角形，这是怎么回事？
师：一起展示你们的作品，我们来看看。（两人把圆分别进行 8等分和9等分。）
生4：他们平均分的份数不一样，就会影响拼的结果。
师：看样子要拼成梯形或三角形，对平均分的份数是有要求的。有什么要求呢？请你们课后继续研究。现在思考一下，对拼成平行四边形或长方形有份数要求吗？
生（齐）：没有！
师：我们已经成功地把圆转化成了三角形或梯形，请把转化的结果用草图的形式画下来，并写出推导过程。
【片段3】创造性操作——选取部分转化、推导
师：大家真的很会想办法，能把圆转化成不同的图形后推导出圆的面积的计算公式……
生1：我还有不同的方法。我把圆边平均分成了8份，我只取了1份，它是一个近似的三角形，底是圆周长的[18]，高是半径r，根据三角形的面积计算方法可以知道它的面积是[18]πr2，因为有8份，再乘8就是πr2了。（如图6）
师：你真厉害！只用了圆的一部分就推导出圆的面积的计算公式了！
生2：我也有跟他差不多的方法。我在将圆八等分后取了其中的4块，这样可以拼成一个近似的三角形，也能推导出圆的面积计算公式。（如图7）
四、思考
一节圆的面积计算公式的推导课在学生意犹未尽的操作中结束了，不少学生还沉浸在推导的过程中，仿佛都忘却了时间，只有不停地探索、验证。“转化”的思想在操作中得以深化。这节课，引发了我诸多思考。
思考一：要相信学生具有主动探究的能力。
学生的探究活动是建立在一定的知识经验基础上的，学生的学习过程可用图8表示：
小学六年级的学生，已经具备了主动探究的能力（结合前测分析可知），特别是对“转化”数学思想，已有一定的感悟，但还不稳定。此外，不少学生已通过多种渠道学习了圆的面积的计算方法，但存在两个问题：一是重计算轻操作;二是操作、推导方法单一，只会把圆转化成平行四边形或长方形后再推导。为此，在教学中，我在所有学生掌握了基本的推导方法后，引导学生思考“可不可以转化成其他图形进行推导？”。学生通过思考、尝试，“惊喜”地发现：能转化成三角形、梯形后进行推导。对他们来说，这是他们自己发现的，特别有成就感，探究的兴趣就更浓了。难怪下课后，有学生说：“这节课过得真快啊！”
思考二：要给予学生足够的探究时空。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。反观日常教学，很多教师往往为了赶进度而大大缩短操作探究的时间，即使课程标准中强调“四基”，但实际的教学中还是以“双基”作为教学目标。这样将导致学生操作经验匮乏，探究能力和推理能力得不到提升，不利于学生的后续发展。在上述课例中，我根据实际情况，只以“探究圆的面积的计算公式”为学习目标，给予学生足够的时间与空间——50分钟，引导他们经历了三个层次的探究。由于时间充足，学生一边思考，一边尝试，有诸多发现：为什么有些不能转化成三角形或梯形？为什么不能转化成正方形？……这是他们操作、观察后感悟的结果。这样，在推导圆的面积计算公式的同时，他们的探究能力得到了提升，活动经验得到了丰富。
思考三：要把数学思想的渗透与活动结合起来。
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果;是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，具有抽象性、内隐性。可见，数学思想不能灌输，需要渗透，要与具体的活动结合起来，使得学生能在活动过程中感知和感悟，并逐步构建。在“圆的面积”一课中，主要呈现两个数学思想：极限思想与转化思想。
极限思想的渗透。极限思想需要以直观的实物为观察对象，并借助想象加以理解。学生通过观察把圆平均分成4份、8份、12份、16份、32份后拼成的近似的平行四边形后，能够发现“分的份数越多，越接近平行四边形”。此时教师再引导学生想象：“如果一直这样分下去会怎样？”学生立足直观、借助想象，很容易就感悟到極限思想。
转化思想的渗透。“转化”不但是重要的数学思想，也是一种非常有效的学习方法。在此之前，学生在学习平面图形的面积、理解小数乘除法的算理时，已多次感悟了这一思想。在本课中，学生借助操作和经验，不但顺利地把圆转化成了已学过的平面图形，成功地进行了面积计算公式的推导，还“创造性”地选取圆的一部分进行推导，这是他们对“转化”思想的理解达到一定高度的结果。
（责编 金 铃）
[关键词]操作;转化;相异构想;圆的面积
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）14-0019-03
一、缘起
“圆的面积”是小学阶段学习的最后一个平面图形的面积，在此之前，学生已经积累了一定的学习平面图形面积的经验，特别是对“转化”的思想方法有了初步的认识和理解。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式;探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。可见，在学习圆的周长和面积时，需要引导学生自主地进行“探索”。
当前的教学中，对圆的面积计算公式的推导，存在以下三种现象：1.教师操作代替学生操作。不少教师为了节约时间，在推导圆的面积计算公式时，直接借助教具演示和讲解圆的面积计算公式。2.课件演示代替学生思考。有些教师没有实物操作，直接在课件动态演示的基础上通过归纳和比较得出圆的面积计算公式。3.推导方式单一。由于受教材的限制，学生在推导时都把圆转化成平行四边形。
可见，学生在探究圆的面积计算公式的推导过程中，缺乏主动性——要么没有真切的经验积累，要么操作方式单一，“走走过场”;教师把主要的时间花在了让学生应用公式计算圆的面积，进而熟记计算公式上。这样的教学方式带有鲜明的“应试”烙印，学生的主动性、创造性和创新性根本得不到培养和发展，长此以往，将会使学生的思维僵化，不利于学生个性化的发展。
二、对学生相异构想的评估
1.实施前测，统计结果（前测数：47人;前测方法：访谈法、观察法）
第一题：圆的面积指什么？请你指一指。（提供一个标有圆心的圆形纸片）
第二题：这个圆的面积有多大？你会解决吗？（提供笔、尺、纸、剪刀）
对于回答“会的”37名学生再给出三个问题：
追问一：怎么解决的？请你试一试。（提供半径为3厘米的圆形纸片）
追问二：你是怎么知道计算圆的面积计算方法的？
追问三：你能推导圆的面积计算公式吗？试一试。
2.分析学生的学习起点
（1）基础知识：在完全理解圆的面积的意义的基础上，有72.4%的学生能通过测量、计算得出圆的面积，说明他们已初步掌握圆的面积的计算方法。
（2）基本技能：有51.1%的学生能通过剪拼成近似的长方形（或平行四边形）推导圆的面积计算公式;有18.3%的学生会计算圆的面积，不会推导计算公式。
（3）基本活动经验：课外辅导班对学生的学习影响深远，但仅限于把圆转化成近似的长方形或平行四边形来推导，转化方式比较单一。
（4）基本的思想方法：63.7%的学生已基本形成“转化”的思想方法，但仍有36.3%的学生没有想到可通过“转化”进行推导。
3.基于上述分析，评估学生的相异构想
相异构想1：“转化”的思想方法没有完全形成。
调整策略——通过回顾平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程，唤醒“转化”的经验，并利用这一经验进行圆的面积的计算公式推导，进一步理解、巩固“转化”的思想方法。
相异构想2：转化方法单一。
调整策略——引导学生经历把圆形纸片剪、拼成不同的图形来推导面积计算公式的过程，感悟推导方法的多样性，发展推理能力。
三、教学实践
学具准备：每人一把剪刀、2个圆形纸片。
【片段1】基本操作——把圆转化成平行四边形（或长方形）
师：我们一起来回顾，在推导平面图形面积计算公式时，用的是什么方法？请举例说明。（课件展示推导平面图形面积计算公式时的“转化”方法）能不能用这种方法推导圆的面积的计算公式呢？先想一想准备怎么转化，再动手试一试。（有一半左右的学生会操作）
师：操作成功了吗？请说说你的想法。
生1：我先把这个圆形纸片平均分成8份，这8份可以拼成一个平行四边形（如图1）。
师：这是一个标准的平行四边形吗？
生1：不是的，它是一个近似的平行四边形。
师：还有谁也是把圆转化成平行四边形？（大多数学生都举起了手）
师（出示图2）：这是几个同学“转化”的结果，我们一起来看看。
师：你们有什么发现？
生2：看上去越来越像平行四边形了。
师：请想象一下，如果平均分的份数越来越多，它就——
生（齐）：越来越像平行四边形。
师：你们为什么想到要把圆转化成平行四边形呢？
生3：这样就可以推导圆的面积的计算公式了，我还画了图（如图3）。平行四边形的底正好是圆的周长的一半，高就是半径，平行四边形的面积计算公式是底乘高，那圆的面积就是πr2。
生4：平均分的份數越多，也越来越像长方形了。
师：通过刚才的研究，把圆转化成了近似的平行四边形或长方形，就可以推导圆的面积计算公式是S=πr2。
【片段2】拓展性操作——把圆转化成三角形和梯形
师：还有没有不同的推导方法？（没有学生回应）我们已经学习了哪些图形的面积计算方法？（板书：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）我们已经成功地把圆转化成了平行四边形和长方形来推导面积计算公式，可不可以将圆转化成其他图形呢？请试一试。 学生介绍：
师：圆不但能转化成平行四边形或长方形，也能转化成梯形和三角形。那有没有成功转化成正方形的？
生1：我做到了。（如图5）
生2：你转化的图形看上去有点像正方形，但不是正方形。你这个图形下面的底是圆周长的[14]，可以用[12]πr表示，高是2r，[12]πr和2r是不相等的，所以不是正方形。
生1：确实不是正方形。
生3：我拼成的是三角形，我的同桌拼成的是梯形。但我却拼不成梯形，他也拼不成三角形，这是怎么回事？
师：一起展示你们的作品，我们来看看。（两人把圆分别进行 8等分和9等分。）
生4：他们平均分的份数不一样，就会影响拼的结果。
师：看样子要拼成梯形或三角形，对平均分的份数是有要求的。有什么要求呢？请你们课后继续研究。现在思考一下，对拼成平行四边形或长方形有份数要求吗？
生（齐）：没有！
师：我们已经成功地把圆转化成了三角形或梯形，请把转化的结果用草图的形式画下来，并写出推导过程。
【片段3】创造性操作——选取部分转化、推导
师：大家真的很会想办法，能把圆转化成不同的图形后推导出圆的面积的计算公式……
生1：我还有不同的方法。我把圆边平均分成了8份，我只取了1份，它是一个近似的三角形，底是圆周长的[18]，高是半径r，根据三角形的面积计算方法可以知道它的面积是[18]πr2，因为有8份，再乘8就是πr2了。（如图6）
师：你真厉害！只用了圆的一部分就推导出圆的面积的计算公式了！
生2：我也有跟他差不多的方法。我在将圆八等分后取了其中的4块，这样可以拼成一个近似的三角形，也能推导出圆的面积计算公式。（如图7）
四、思考
一节圆的面积计算公式的推导课在学生意犹未尽的操作中结束了，不少学生还沉浸在推导的过程中，仿佛都忘却了时间，只有不停地探索、验证。“转化”的思想在操作中得以深化。这节课，引发了我诸多思考。
思考一：要相信学生具有主动探究的能力。
学生的探究活动是建立在一定的知识经验基础上的，学生的学习过程可用图8表示：
小学六年级的学生，已经具备了主动探究的能力（结合前测分析可知），特别是对“转化”数学思想，已有一定的感悟，但还不稳定。此外，不少学生已通过多种渠道学习了圆的面积的计算方法，但存在两个问题：一是重计算轻操作;二是操作、推导方法单一，只会把圆转化成平行四边形或长方形后再推导。为此，在教学中，我在所有学生掌握了基本的推导方法后，引导学生思考“可不可以转化成其他图形进行推导？”。学生通过思考、尝试，“惊喜”地发现：能转化成三角形、梯形后进行推导。对他们来说，这是他们自己发现的，特别有成就感，探究的兴趣就更浓了。难怪下课后，有学生说：“这节课过得真快啊！”
思考二：要给予学生足够的探究时空。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。反观日常教学，很多教师往往为了赶进度而大大缩短操作探究的时间，即使课程标准中强调“四基”，但实际的教学中还是以“双基”作为教学目标。这样将导致学生操作经验匮乏，探究能力和推理能力得不到提升，不利于学生的后续发展。在上述课例中，我根据实际情况，只以“探究圆的面积的计算公式”为学习目标，给予学生足够的时间与空间——50分钟，引导他们经历了三个层次的探究。由于时间充足，学生一边思考，一边尝试，有诸多发现：为什么有些不能转化成三角形或梯形？为什么不能转化成正方形？……这是他们操作、观察后感悟的结果。这样，在推导圆的面积计算公式的同时，他们的探究能力得到了提升，活动经验得到了丰富。
思考三：要把数学思想的渗透与活动结合起来。
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果;是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，具有抽象性、内隐性。可见，数学思想不能灌输，需要渗透，要与具体的活动结合起来，使得学生能在活动过程中感知和感悟，并逐步构建。在“圆的面积”一课中，主要呈现两个数学思想：极限思想与转化思想。
极限思想的渗透。极限思想需要以直观的实物为观察对象，并借助想象加以理解。学生通过观察把圆平均分成4份、8份、12份、16份、32份后拼成的近似的平行四边形后，能够发现“分的份数越多，越接近平行四边形”。此时教师再引导学生想象：“如果一直这样分下去会怎样？”学生立足直观、借助想象，很容易就感悟到極限思想。
转化思想的渗透。“转化”不但是重要的数学思想，也是一种非常有效的学习方法。在此之前，学生在学习平面图形的面积、理解小数乘除法的算理时，已多次感悟了这一思想。在本课中，学生借助操作和经验，不但顺利地把圆转化成了已学过的平面图形，成功地进行了面积计算公式的推导，还“创造性”地选取圆的一部分进行推导，这是他们对“转化”思想的理解达到一定高度的结果。
（责编 金 铃）