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高中数学是高中重要的课程之一，也是高中阶段课程中学生学习难度较大的课程。高中数学含有大量抽象复杂的概念，要求学生具备较强的能力。大量高中数学题的设计存在思维陷阱，学生很容易在解高中数学题时出错，甚至有可能同一问题多次犯错。在实际教学中，教师对错题进行讲解，虽然学生当下明白了错误原因，但并不一定就完全掌握了解题技巧，也未必就会吸取教训。有些学生自身能力不足，难以理解错题的正确解决方法，这也在一定程度上影响了数学教师的教学效率。错题集是针对自身错误的系统汇总，它可以有效提高学生的学习效率，减少错误的重复出现，从一定程度上也是在减轻学生的学习负担。教师可以借助错题集，优化学生的学习思路，帮助他们更加准确地把握知识点及概念，改掉粗心的毛病，突破思维障碍，提高学习成绩。
一、分析错因，深化概念理解
在高中数学教学过程中，教师需要指导学生详细记录自己曾经出现的错题，在每一道错题后面写出错误的解法，并分析出现错误的原因，加强学生对错误的理解能力，对牢固掌握的知识点进行温习，从而深化对概念的理解。制作高质量的错题集，对错误的思维、方法以及存在的知识盲点进行详细探究，将其备注下来，以免日后再出现同样的错误。如果题目的叙述性较强，教师可以提示学生，不要在抄录题目的过程中浪费太多时间，但仍然必须对自己所出现过的问题予以记录，可以通过简化题目、只保留核心的方式来节省时间。
例如，请写出函数f（x）=[x2+x-6]的单调减区间。对于此题，有些学生的求解结果与实际不符，在区间的算法上出现错误。正确的解法为，首先列出该函数的定义域，x?（[-]?，[-]3]U[2，+?），u=[x2]+x[-]6=[（x+12）2][-][254]，图像的对称轴用公式表示为x=[-][12]，图像显示为开口向上的抛物线，因此u在（[-]?，[-]3]这一区间为减函数，而在[2，+?）这一区间则是增函数。y=[u]在[0，+?）区间显示为增函数，因此f（x）的单调减区间在（[-]?，[-]3]。教师在向学生讲解了正确解法后，让学生针对自己的错误进行分析，思考造成错误的具体原因，指导学生将错误记录在错题集中，先记下错误的解法，然后批注原因，最后在下面记录下正确的解题技巧。
二、透析错因，培養严谨思维
严谨的数学思维是学生在高中数学学习过程中必须具备的能力，数学思维是数学发展积累下来的重要财富，熟练掌握数学思维也是高中数学学习的重要目标。在学习高中数学的过程中，学生不仅需要对理论知识有深入的理解，还应具备严谨、完善的数学思维。教师在指导学生进行错题分析的过程中，应始终强调思维的严谨性，指导学生对造成错误的深刻原因进行分析，从而在学习意识和学习精神方面提升学生的能力和水平。
例如，（1）同时抛出三枚硬币，求解两枚硬币正面朝上的出现概率。有些学生会求得这样的结果，即2×2×2=8，因此认为出现两枚硬币正面朝上的概率为[18]。实际上，这一结果是错误的，对所有的结果进行分析可以发现，要保证两枚硬币正面朝上，结果有三种可能性，即正正反、正反正、反正正，而这三种可能的结果都符合题目要求，因此最终结果应为[38]。解此题时产生的错误，主要是因学生概念理解模糊导致的，所有结果的出现可能性相等，如果将三种结果看做一种，则不具有可能性，因此不应采用P=[mn]的方式进行求解。
（2）某产品共100件，其中包含5件次品。现在从所有产品中任意抽取6件，求解正好抽到1件次品的可能性。有些学生会这样理解，次品含量在5%，那么以每次抽取相互独立的性质来看，得到结果为[P6]（1）=[C165100（1-5100）5]=0.2321。其中包含两个错误，一个是5%的次品率和学生所理解的抽中次品的概率根本不是一个概念，还有就是此实验并非独立的重复试验。因此，从100件产品中抽取6件后，可视为抽取6次，每次抽取1个，但每次的抽取结果都将直接影响接下来的抽取，因此正确解法应该为P=[C15C595C6100]=0.243。
三、变式错题，拓展思维广度
教师需要对学生的错题集进行定期检查，从而对学生的错误情况有所了解，对多数学生都会出现的错题进行统计归纳，也可以在部分学生的错题集中挑选出自己认为经典的、具有代表性的例题进行讲解。教师通过变换条件、变换场景、变换角度等策略，针对错题再编制一道类似题目，通过作业、课堂练习等方式发给学生求解，从而测试学生对知识点及解题方法的掌握情况。举例来说：已知集合A={1，3，-[a3]}，B={1，a+2}，求解是否存在实数a，使B?A，如果存在，求解集合A与B；如果不存在，请说明不存在的理由。对于此题的解答，可以通过两种变式的方式得到正确答案，而这一题的意图主要在于考查学生结合参数进行集合运算的能力。此题对于很多学生来说具有一定的难度，如果通过常规方式无法解得正确答案，错误也会千奇百怪，因此建议通过变式的方式求解。
变式一：已知集合A={[-]1，3，2m[-]1}，集合B={3，[ m2]}。如果B?A，那么实数m为多少，求解可以得到[m2]=2m[-]1，得到[m2][-]2m+1=0，从而得到m=1；
变式二：A={x?[x2]+x[-]6=0}，B={x?mx+1=0}，并且A?B=A，那么m的取值范围是多少，求解可以得到A={x?R?[x2]+x[-]6=0}={[-]3，2}，当B=F时，m=0，当m≠0时，x=[-][1m]，因此[-][1m]=2或者[-][1m]=[-]3，因此m=[-][12]或者m=[13]，因此m?{0，[-][12]，[13]}。
通过变式的方式，表面上难度较高的题目，求解过程也会相对容易，而难度的降低能够在一定程度上避免思维及运算过程的失误，从而提高解题正确率。
四、质疑错题，提升创造思维
教师需要对高中数学的各知识点形成充分深入的掌握和记忆，对于教材以及相关的概念、解题技巧等熟练掌握，充分利用学生在学习过程中出现的错误，引导学生提出新的问题，从而培养学生的创造性思维。虽然数学是一门十分强调逻辑性思维的学科，但想象力也是数学教育的重要目标之一，而想象力也是促进学生数学学习水平提升的重要动力。对于高中生来说，通过猜想题目，能够有效突破固定思维的限制，从而引导学生从不同的角度发现问题，并寻求新的解决办法。
例如，已知x、y满足[4x]+[ 16y]=1这一结果，求解x+y最小为多少。很多学生认为，x和y都>0，因此1=[ 4x]+[16y]≥2[4x·16y]=[ 16xy]，也就是说，[xy]≥16，因此x+y≥2[xy]≥32，那么最小值就为32。虽然这一解答结果是错误的，但有些学生在教师讲解出正确解法之前，会对自己的错误产生疑惑。对此，教师可以允许学生提出质疑，并对学生的质疑作出解释，然后逐步引导学生求解得到正确答案。通过运用这种方法，学生在质疑并逐渐走向正确解题思维的过程中，可能会想到新的解题方法，如此一来就能够有效培养学生的创造性思维。
错题集有助于学生了解自己的薄弱环节，认识自己的不足，从而有助于之后学习水平的提升和解题态度的扭转，能够有效提升学生的数学学习能力及水平。因此错题集应用于高中数学教学，是极其有必要的。它是一种非常宝贵的教学材料和复习材料，低消耗，高效率，让书本由厚变薄，不仅是教师的教学法宝，也是学生学习通关的“秘密武器”，如果学生能养成做易错题的习惯，它必定能成为教师教学和学生学习中的一盏“节能灯”。
（作者单位：江苏省江阴市要塞中学）
（责任编辑 冉 然）
一、分析错因，深化概念理解
在高中数学教学过程中，教师需要指导学生详细记录自己曾经出现的错题，在每一道错题后面写出错误的解法，并分析出现错误的原因，加强学生对错误的理解能力，对牢固掌握的知识点进行温习，从而深化对概念的理解。制作高质量的错题集，对错误的思维、方法以及存在的知识盲点进行详细探究，将其备注下来，以免日后再出现同样的错误。如果题目的叙述性较强，教师可以提示学生，不要在抄录题目的过程中浪费太多时间，但仍然必须对自己所出现过的问题予以记录，可以通过简化题目、只保留核心的方式来节省时间。
例如，请写出函数f（x）=[x2+x-6]的单调减区间。对于此题，有些学生的求解结果与实际不符，在区间的算法上出现错误。正确的解法为，首先列出该函数的定义域，x?（[-]?，[-]3]U[2，+?），u=[x2]+x[-]6=[（x+12）2][-][254]，图像的对称轴用公式表示为x=[-][12]，图像显示为开口向上的抛物线，因此u在（[-]?，[-]3]这一区间为减函数，而在[2，+?）这一区间则是增函数。y=[u]在[0，+?）区间显示为增函数，因此f（x）的单调减区间在（[-]?，[-]3]。教师在向学生讲解了正确解法后，让学生针对自己的错误进行分析，思考造成错误的具体原因，指导学生将错误记录在错题集中，先记下错误的解法，然后批注原因，最后在下面记录下正确的解题技巧。
二、透析错因，培養严谨思维
严谨的数学思维是学生在高中数学学习过程中必须具备的能力，数学思维是数学发展积累下来的重要财富，熟练掌握数学思维也是高中数学学习的重要目标。在学习高中数学的过程中，学生不仅需要对理论知识有深入的理解，还应具备严谨、完善的数学思维。教师在指导学生进行错题分析的过程中，应始终强调思维的严谨性，指导学生对造成错误的深刻原因进行分析，从而在学习意识和学习精神方面提升学生的能力和水平。
例如，（1）同时抛出三枚硬币，求解两枚硬币正面朝上的出现概率。有些学生会求得这样的结果，即2×2×2=8，因此认为出现两枚硬币正面朝上的概率为[18]。实际上，这一结果是错误的，对所有的结果进行分析可以发现，要保证两枚硬币正面朝上，结果有三种可能性，即正正反、正反正、反正正，而这三种可能的结果都符合题目要求，因此最终结果应为[38]。解此题时产生的错误，主要是因学生概念理解模糊导致的，所有结果的出现可能性相等，如果将三种结果看做一种，则不具有可能性，因此不应采用P=[mn]的方式进行求解。
（2）某产品共100件，其中包含5件次品。现在从所有产品中任意抽取6件，求解正好抽到1件次品的可能性。有些学生会这样理解，次品含量在5%，那么以每次抽取相互独立的性质来看，得到结果为[P6]（1）=[C165100（1-5100）5]=0.2321。其中包含两个错误，一个是5%的次品率和学生所理解的抽中次品的概率根本不是一个概念，还有就是此实验并非独立的重复试验。因此，从100件产品中抽取6件后，可视为抽取6次，每次抽取1个，但每次的抽取结果都将直接影响接下来的抽取，因此正确解法应该为P=[C15C595C6100]=0.243。
三、变式错题，拓展思维广度
教师需要对学生的错题集进行定期检查，从而对学生的错误情况有所了解，对多数学生都会出现的错题进行统计归纳，也可以在部分学生的错题集中挑选出自己认为经典的、具有代表性的例题进行讲解。教师通过变换条件、变换场景、变换角度等策略，针对错题再编制一道类似题目，通过作业、课堂练习等方式发给学生求解，从而测试学生对知识点及解题方法的掌握情况。举例来说：已知集合A={1，3，-[a3]}，B={1，a+2}，求解是否存在实数a，使B?A，如果存在，求解集合A与B；如果不存在，请说明不存在的理由。对于此题的解答，可以通过两种变式的方式得到正确答案，而这一题的意图主要在于考查学生结合参数进行集合运算的能力。此题对于很多学生来说具有一定的难度，如果通过常规方式无法解得正确答案，错误也会千奇百怪，因此建议通过变式的方式求解。
变式一：已知集合A={[-]1，3，2m[-]1}，集合B={3，[ m2]}。如果B?A，那么实数m为多少，求解可以得到[m2]=2m[-]1，得到[m2][-]2m+1=0，从而得到m=1；
变式二：A={x?[x2]+x[-]6=0}，B={x?mx+1=0}，并且A?B=A，那么m的取值范围是多少，求解可以得到A={x?R?[x2]+x[-]6=0}={[-]3，2}，当B=F时，m=0，当m≠0时，x=[-][1m]，因此[-][1m]=2或者[-][1m]=[-]3，因此m=[-][12]或者m=[13]，因此m?{0，[-][12]，[13]}。
通过变式的方式，表面上难度较高的题目，求解过程也会相对容易，而难度的降低能够在一定程度上避免思维及运算过程的失误，从而提高解题正确率。
四、质疑错题，提升创造思维
教师需要对高中数学的各知识点形成充分深入的掌握和记忆，对于教材以及相关的概念、解题技巧等熟练掌握，充分利用学生在学习过程中出现的错误，引导学生提出新的问题，从而培养学生的创造性思维。虽然数学是一门十分强调逻辑性思维的学科，但想象力也是数学教育的重要目标之一，而想象力也是促进学生数学学习水平提升的重要动力。对于高中生来说，通过猜想题目，能够有效突破固定思维的限制，从而引导学生从不同的角度发现问题，并寻求新的解决办法。
例如，已知x、y满足[4x]+[ 16y]=1这一结果，求解x+y最小为多少。很多学生认为，x和y都>0，因此1=[ 4x]+[16y]≥2[4x·16y]=[ 16xy]，也就是说，[xy]≥16，因此x+y≥2[xy]≥32，那么最小值就为32。虽然这一解答结果是错误的，但有些学生在教师讲解出正确解法之前，会对自己的错误产生疑惑。对此，教师可以允许学生提出质疑，并对学生的质疑作出解释，然后逐步引导学生求解得到正确答案。通过运用这种方法，学生在质疑并逐渐走向正确解题思维的过程中，可能会想到新的解题方法，如此一来就能够有效培养学生的创造性思维。
错题集有助于学生了解自己的薄弱环节，认识自己的不足，从而有助于之后学习水平的提升和解题态度的扭转，能够有效提升学生的数学学习能力及水平。因此错题集应用于高中数学教学，是极其有必要的。它是一种非常宝贵的教学材料和复习材料，低消耗，高效率，让书本由厚变薄，不仅是教师的教学法宝，也是学生学习通关的“秘密武器”，如果学生能养成做易错题的习惯，它必定能成为教师教学和学生学习中的一盏“节能灯”。
（作者单位：江苏省江阴市要塞中学）
（责任编辑 冉 然）