论文部分内容阅读
摘 要：《抛物线的标准方程》是课题《粤北山区中学数学几何学典型课例研究》中概念教学的典型课例，是课题组经过反复打磨，精心准备后上的一节课。本文是对《圆的标准方程》《椭圆及标准方程》《双曲线及标准方程》研究探索后，得到一些几何学概念教学的心得。
章建跃博士认为：“概念教学的核心是引导学生开展概念活动，将凝结在数学概念中的数学思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概括过程。”
几何学概念教学是高中几何学非常重要的内容，是学生学习基础知识和基本技能的重要基础，正确理解概念是学好数学的核心。以往的教学中经常出现的这样的现象：“一个定义，三项注意”，不讲概念产生的实际背景，也没有概念的概括过程，仅从逻辑意义列举“概念要素”和“注意事项”，忽视概念所反映的数学思想方法。这样的教学会导致学生难以达成对概念的实质性理解，从而无法形成相应的“心理意义”。为解决这这个问题，本文将以《抛物线的标准方程》为例，来说说关于几何学概念教学的一些做法。
1.首先钻研教材、琢磨自己所教的学生认知基础，确定教学目标。数学概念一般比较抽象。要想做好概念教学一定要先判断所教学生的认知基础，才能确定让学生容易接受的教学方式方法，确定好本节课的教学目标。例如：在进行《抛物线的标准方程》的教学前，我们做了以下备课：
1.1教材解读。抛物线在实际生活中有着广泛的应用，也是学生非常熟悉的一种曲线，教材注重引导学生从实际出发，发现问题和提出问题，教师需要带领学生分析问题和解决问题，在此过程中可以培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
1.2学情分析。我教的班级是文科班，对抽象的概念理解一直不是很好。在此之前已经学习了椭圆与双曲线，掌握了研究曲线的基本方法，大多数同学有一定的自主学习能力，但在数学思想方法的形成上尚有不足，因此要引导学生主动探究，让学生能主动发现问题、主动寻求解决问题的策略，努力发展学生的数学核心素养。
1.3确定教学目标。知识目标：理解抛物线的定义，明确焦点、准线的概念，了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系;能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点;情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。
1.4确定教学重点和难点。重点：抛物线的定义;根据具体条件求出抛物线的标准方程;根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。难点：抛物线的标准方程的推导。
2.瞄准教学方向，确定教学的起点。一般情况下，抛物线的概念的形成是由特殊到一般，由具体到抽象的过程，可以采用概念的形成方式学习，其教学过程为：提供具体实例;抽象概念本质属性;形成初步概念;概念的深化;概念的运用。依据学生的已有认知，确定教学的起点。例如：在进行《抛物线的标准方程》的教学时，我们这样进行：
2.1观察一组生活中的抛物线
2.2情感迁移。课堂实录如下：
师：像上图的抛物线在以前的学习中见过吗？在学习什么知识的学习过呢？
生：见过，是在初中学习二次函数的时候学习过。（学生开始思考和抛物线有关的知识）
师：二次函数y=ax2+bx+c的图像是如何画出来的呢？
生：通过列表、描点、连线得到
师：通过二次函数的表达式画出来的抛物线，仅仅是用来解释二次函数的特征，你有专门研究过抛物线吗？
生：没有。
师：这节课就来研究抛物线（引出现在专门要研究抛物线这个图形了）
2.3互动探究，概念生成
师：借助几何画板，展示抛物线的生成过程，特别提醒学生注意观察动点到定直线和定点的距离的关系（低起点）。要求学生类比之前学习过椭圆、双曲线的概念，总结抛物线的定义。
生1：动点到定点的距离与到定直线的距离相等。
师：这各位同学说出动点的特征。那谁能把概念补充的更完整呢？
生2：我们把平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
师：能否给定点和定直线一个名称呢？
生2：那就叫定点F，定直线为l吧。
师：定点F能否在定直线l上呢？
生：不能，如果定点F在定直线l上，则動点的轨迹为直线。
师：好，那我们把所有同学的回答汇总到一起就是抛物线的定义了：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线;点 F 叫做抛物线的焦点;直线 l 叫做抛物线的准线。定点和定直线我们也都给他一个名称。
通过一系列的师生活动学生更容易掌握抛物线的定义的本质。这就是：由特殊到一般，由具体到抽象的过程。由于我班的学生的思维水平还不善于把抽象的概念和具体实例练习起来，因此，在教学中还需要实际操作演示，引导学生理解抛物线，抽象处抛物线的概念。
3.揭示联系，理解深化概念，形成知识体系
根据奥苏泊尔的理论，任何一个新知识，均可依附上位概念和下位概念作为新概念的支撑点。因此学习新的有必要先认识学生原有认知结构，原有的知识经验储备是理解新概念的重要基础。
抛物线概念的理解是在原有感知的基础上形成的。学生运用已有圆、椭圆、双曲线的知识经验去认识抛物线，并借助其中的种种联系，认识其本质规律，这是逐步深入的思维活动。课堂实录如下： 3.1联系已有知识，联知成系
师：既然研究了抛物线的图形，也知道了他的本质，那必不可少的就要研究他的方程，联系以前的椭圆、双曲线的知识，怎么得到他的方程呢？
生：建系、设点......
师：建系过程中，坐标轴怎么放置呢？
生...：回答各种建系的方式。
师：引导学生以“最简为原则”建系。比较之后发现最简的是第三种，即：抛物线顶点在坐标原点上。
.........
3.2問题引导、层层深入
师：这个就是焦点在x轴正半轴上的标准方程。抛物线的开口可以向左吗？方程怎么样？
生：加一个符号。
师：为什么加一个负号？你用什么理论解释他？
生：对称性。
师：关于y轴对称，所以y2=-2px。有没有可能开口方向向上呢？
生：有。
师：回忆椭圆、双曲线是怎么研究的？
生：旋转90o，x2=2py（p>0）。
师：开口方向向下呢？
生：x2=-2py（p>0）
师：这又是什么理论呢？
生：对称性。
.......
带领学生体会不同的建系情况下得到的抛物线的方程。展示抛物线标准方程的推导过程，引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程。这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍。
4.活学活用，加深概念理解。概念的应用是概念学习的最高层次，它使刚刚学习到的概念，得到检验和发展，是抽象知识化为具体应用的过程。《抛物线的标准方程》课堂练习如下
例1：已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。
练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2=20x （2）y=2x2; （3）2y2+5x=0; （4） x2+8y=0.
例2：试求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点（-3，2）;（2）焦点在直线x-2y-4=0上。
练习2. 分别根据下列条件求抛物线的标准方程.
（1）准线方程为y=;（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。
在几何学概念教学中，特别要注意让学生对概念的认识构成系统，不能割裂，否则将成为机械的、孤立的记忆。教学中，我们要不断理解研读教材，利用概念的变式，从多角度，多方式去深度整体把握。学生对数学核心概念的理解，一定不能只局限于概念的表面形式，而是要引导学生多角度，多层次的去理清和理解概念的本质，对数学概念进行拓展延伸和变式迁移，分析找到概念间的内在联系，使学生概念本身的特征认识所学概念。在教学过程中，还要引导学生构建网络结构，以便运用时得心应手，让课堂教学成为有效课堂、高效课堂。
章建跃博士认为：“概念教学的核心是引导学生开展概念活动，将凝结在数学概念中的数学思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概括过程。”
几何学概念教学是高中几何学非常重要的内容，是学生学习基础知识和基本技能的重要基础，正确理解概念是学好数学的核心。以往的教学中经常出现的这样的现象：“一个定义，三项注意”，不讲概念产生的实际背景，也没有概念的概括过程，仅从逻辑意义列举“概念要素”和“注意事项”，忽视概念所反映的数学思想方法。这样的教学会导致学生难以达成对概念的实质性理解，从而无法形成相应的“心理意义”。为解决这这个问题，本文将以《抛物线的标准方程》为例，来说说关于几何学概念教学的一些做法。
1.首先钻研教材、琢磨自己所教的学生认知基础，确定教学目标。数学概念一般比较抽象。要想做好概念教学一定要先判断所教学生的认知基础，才能确定让学生容易接受的教学方式方法，确定好本节课的教学目标。例如：在进行《抛物线的标准方程》的教学前，我们做了以下备课：
1.1教材解读。抛物线在实际生活中有着广泛的应用，也是学生非常熟悉的一种曲线，教材注重引导学生从实际出发，发现问题和提出问题，教师需要带领学生分析问题和解决问题，在此过程中可以培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
1.2学情分析。我教的班级是文科班，对抽象的概念理解一直不是很好。在此之前已经学习了椭圆与双曲线，掌握了研究曲线的基本方法，大多数同学有一定的自主学习能力，但在数学思想方法的形成上尚有不足，因此要引导学生主动探究，让学生能主动发现问题、主动寻求解决问题的策略，努力发展学生的数学核心素养。
1.3确定教学目标。知识目标：理解抛物线的定义，明确焦点、准线的概念，了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系;能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点;情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。
1.4确定教学重点和难点。重点：抛物线的定义;根据具体条件求出抛物线的标准方程;根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。难点：抛物线的标准方程的推导。
2.瞄准教学方向，确定教学的起点。一般情况下，抛物线的概念的形成是由特殊到一般，由具体到抽象的过程，可以采用概念的形成方式学习，其教学过程为：提供具体实例;抽象概念本质属性;形成初步概念;概念的深化;概念的运用。依据学生的已有认知，确定教学的起点。例如：在进行《抛物线的标准方程》的教学时，我们这样进行：
2.1观察一组生活中的抛物线
2.2情感迁移。课堂实录如下：
师：像上图的抛物线在以前的学习中见过吗？在学习什么知识的学习过呢？
生：见过，是在初中学习二次函数的时候学习过。（学生开始思考和抛物线有关的知识）
师：二次函数y=ax2+bx+c的图像是如何画出来的呢？
生：通过列表、描点、连线得到
师：通过二次函数的表达式画出来的抛物线，仅仅是用来解释二次函数的特征，你有专门研究过抛物线吗？
生：没有。
师：这节课就来研究抛物线（引出现在专门要研究抛物线这个图形了）
2.3互动探究，概念生成
师：借助几何画板，展示抛物线的生成过程，特别提醒学生注意观察动点到定直线和定点的距离的关系（低起点）。要求学生类比之前学习过椭圆、双曲线的概念，总结抛物线的定义。
生1：动点到定点的距离与到定直线的距离相等。
师：这各位同学说出动点的特征。那谁能把概念补充的更完整呢？
生2：我们把平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
师：能否给定点和定直线一个名称呢？
生2：那就叫定点F，定直线为l吧。
师：定点F能否在定直线l上呢？
生：不能，如果定点F在定直线l上，则動点的轨迹为直线。
师：好，那我们把所有同学的回答汇总到一起就是抛物线的定义了：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线;点 F 叫做抛物线的焦点;直线 l 叫做抛物线的准线。定点和定直线我们也都给他一个名称。
通过一系列的师生活动学生更容易掌握抛物线的定义的本质。这就是：由特殊到一般，由具体到抽象的过程。由于我班的学生的思维水平还不善于把抽象的概念和具体实例练习起来，因此，在教学中还需要实际操作演示，引导学生理解抛物线，抽象处抛物线的概念。
3.揭示联系，理解深化概念，形成知识体系
根据奥苏泊尔的理论，任何一个新知识，均可依附上位概念和下位概念作为新概念的支撑点。因此学习新的有必要先认识学生原有认知结构，原有的知识经验储备是理解新概念的重要基础。
抛物线概念的理解是在原有感知的基础上形成的。学生运用已有圆、椭圆、双曲线的知识经验去认识抛物线，并借助其中的种种联系，认识其本质规律，这是逐步深入的思维活动。课堂实录如下： 3.1联系已有知识，联知成系
师：既然研究了抛物线的图形，也知道了他的本质，那必不可少的就要研究他的方程，联系以前的椭圆、双曲线的知识，怎么得到他的方程呢？
生：建系、设点......
师：建系过程中，坐标轴怎么放置呢？
生...：回答各种建系的方式。
师：引导学生以“最简为原则”建系。比较之后发现最简的是第三种，即：抛物线顶点在坐标原点上。
.........
3.2問题引导、层层深入
师：这个就是焦点在x轴正半轴上的标准方程。抛物线的开口可以向左吗？方程怎么样？
生：加一个符号。
师：为什么加一个负号？你用什么理论解释他？
生：对称性。
师：关于y轴对称，所以y2=-2px。有没有可能开口方向向上呢？
生：有。
师：回忆椭圆、双曲线是怎么研究的？
生：旋转90o，x2=2py（p>0）。
师：开口方向向下呢？
生：x2=-2py（p>0）
师：这又是什么理论呢？
生：对称性。
.......
带领学生体会不同的建系情况下得到的抛物线的方程。展示抛物线标准方程的推导过程，引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程。这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍。
4.活学活用，加深概念理解。概念的应用是概念学习的最高层次，它使刚刚学习到的概念，得到检验和发展，是抽象知识化为具体应用的过程。《抛物线的标准方程》课堂练习如下
例1：已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。
练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2=20x （2）y=2x2; （3）2y2+5x=0; （4） x2+8y=0.
例2：试求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点（-3，2）;（2）焦点在直线x-2y-4=0上。
练习2. 分别根据下列条件求抛物线的标准方程.
（1）准线方程为y=;（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。
在几何学概念教学中，特别要注意让学生对概念的认识构成系统，不能割裂，否则将成为机械的、孤立的记忆。教学中，我们要不断理解研读教材，利用概念的变式，从多角度，多方式去深度整体把握。学生对数学核心概念的理解，一定不能只局限于概念的表面形式，而是要引导学生多角度，多层次的去理清和理解概念的本质，对数学概念进行拓展延伸和变式迁移，分析找到概念间的内在联系，使学生概念本身的特征认识所学概念。在教学过程中，还要引导学生构建网络结构，以便运用时得心应手，让课堂教学成为有效课堂、高效课堂。