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数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，体现数学的文化价值以及数学对推动社会发展所发挥的作用，明确数学是人类文化的重要组成部分，学习数学的科学思想体系、数学的美学价值以及数学家的创新精神。在数学课堂教学中，教师可利用数学之美实施审美教育，培养学生的审美情趣，引导学生发现美，使他们树立正确的审美观念。生态数学课堂倡导“顺应自然、尊重个性、返璞归真、教学相长”的教学理念，不仅可以充分展示教学内容的美学价值，还可以让学生在平等、和谐、有生命的课堂中感受美的情趣，产生表达美、创造美的强烈愿望，进而通过数学特有的美来陶冶学生，为学生的未来学习和终身发展奠定基础。
一、行走在价值多元化的时代，正确认识真善美
要提高学生的文化修养，切实改进学校的美育教学，要求每一位数学教师充分挖掘教材中的美育因素，培养学生正确的审美观。2015年9月，国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进学校美育工作的意见》，吹响了教育事业挺进“美育”新时代的号角。《国家教育事业发展“十三五”规划》明确指出：深入挖掘课程教材的育人作用，廣泛运用情境教学、现场教学、社会实践等方式，关注学生情感体验过程，引导和组织学生通过各种社会实践活动践行社会主义核心价值观，开展自我教育。
走进数学世界，数学抽象的理论性与应用的广泛性，逻辑的严谨性与结构的协调性，形式的对称性与和谐性，内容的丰富性与深刻性，无不给人以美的情趣、美的享受、美的激励、美的追求。在数学教学中进行美育教育，就要揭示出丰富的数学内容中蕴含的数学美，教师可以在提出数学问题时揭示数学的美，也可以在分析问题与解决问题时揭示数学的美，还可以在知识整理过程中揭示数学的美，从而激发学生强烈的学习好奇心，提高学生的数学素养。
二、演绎数学世界的内在规律，发现数学的逻辑美
音乐的殿堂里，优美动听的乐曲让你感受到音乐带给你“美”的享受，文学园地里精辟绝妙的语句让你体味文学带给你“美”的大餐，而数学王国里简约奇异的模型却让你感悟到数学特有的理性之“美”。这种“美”是启迪智慧的“美”。“哪里有数学，哪里就有美”，这是古代哲学家对数学美的态度。只要我们用心观察世界、思考世界、表达世界，数学的美就会呈现出来，就会陶冶我们的情操。
1.数学的抽象美。
R.D.Carmicheal认为：数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。抽象是对某类事物共性的描述。数学概念是从众多事物共同属性中抽象出来的。抽象是对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化的过程。数学的抽象性在很大程度上表现在数学的简约性。在教学中，教师要引领学生感受数学抽象美，必须从具体实物感知入手，注重建立表象，不断从不同模型表征中抽象出最简约的表征方式。
例如，在《认识三角形》一课的教学中，教师首先呈现大量的生活图片，让学生欣赏并找出学过的图形，感受三角形运用之美以及美无处不在，从而使学生产生浓厚的学习兴趣。接着，教师让学生把一根吸管用剪刀剪成三段，看看能不能围成三角形。学生通过动手操作和小组交流发现，有的能够围成三角形，有的不能围成三角形。教师进而组织学生探究能够围成三角形的情况，发现只有当两边之和大于第三边的时候，剪成的三段吸管才能够围成三角形。从而明白把一根吸管用剪刀剪成三段的时候，第一刀要剪在吸管中间多（或少）一些的地方，第二刀要把第一次剪的吸管更长的一段剪成两段，归纳出：由三条线段围成的图形叫三角形。
在这个教学片段中，教师从生活入手，提供充分的感知材料，让学生动手剪吸管，充分感受三角形三边的关系，在理解“三角形”这一抽象的数学概念的同时，深刻体会到数学的抽象之美。
2.数学的推理美。
《数学课程标准》明确指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是学生学习数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。在小学数学教学中，构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。教师应通过多样化的活动培养学生的推理能力。
例如，在《长方形和正方形》一课的教学中，教师可以组织学生通过以下三个数学活动经历合情推理与演绎推理的过程，从而感悟出长方形与正方形的特征。
活动一：摆小棒中产生猜想。
同桌学生合作，用12根小棒（三种不同长度）摆出长方形和正方形各一个。
学生展示。
反思：为什么你认为你摆出的图形就是长方形？为什么你认为你摆出的图形就是正方形？
根据学生的回答进行板书。
长方形：上下两边相等，左右两边相等；四个角都是直角。
正方形：四条边都相等；四个角都是直角。
反思：这个长方形它上下边在哪？（注：出示非标准状态下的长方形质疑，引起认知冲突，认识引入“对边”的必要性，把上面的板书改为“对边相等”。同时介绍：长方形有对边，也有邻边。长方形中相邻的两条边，或者说组成长方形每一个直角的两条边，就是长方形的一组邻边。）
活动二：用量一量、折一折等多种方法验证猜想。
（1）用量一量、折一折的方法，验证你们的发现，并把经过验证的结论填写到课本第72页上。
（2）学生扮演教师的角色展示汇报验证的过程。
（3）教师讲解：长方形两组对边分别相等，所以，长方形的四条边只有两种长度，较长的边叫做长，较短的边叫做宽。长方形的一条长与一条宽组成长方形的一组邻边。
正方形的四条边都相等，所以，正方形的四条边只有一种长度，任何一条边都叫边。
作为一名数学教师应当抓住时机，设计恰当的教学内容，让学生积极地参与数学活动，体会数学知识的形成过程，让学生感悟到推理的方法和效能，充分展现人的想象能力、抽象能力，充分展现人的智慧。这个教学案例中，教师充分发挥学生的主体性，采用猜想验证等多种教学方法，改变传统的教学观念，提高学生的学习兴趣，尽可能摆脱限制因子的束缚，让课堂教学呈现别样活力。牛顿说：“没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现。”猜想是学生感知事物作出初步的未经证实的判断，它是学生获取知识过程中的重要环节，它不是凭空猜想，是以一定的数学知识、经验知识和思维方法为基础的一种合理猜想，而不是“瞎猜”。这节课中设计了两次数学活动，首先是让学生通过3种不同长度的12根小棒进行直观操作，让低年级学生在摆长方形和正方形的操作活动中，借助观察和操作等活动产生图形特征的猜想，营造出探究长方形、正方形特征的学习氛围，激起学生饱满的热情和积极的思维。接着让学生通过折一折、量一量、比一比等操作活动来验证自己对图形特征的猜想，在猜想、转换中理解图形间的关系，从而发展学生的空间观念，合情推理与演绎推理相辅相成，一种推理之美油然而生。 3.數学的建模美。
数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。数学建模就是通过建立模型的方法求得问题解决的数学活动过程。要提高学生数学建模能力，除了在教学中潜移默化地培养学生的数学应用意识外，还需要立足课本，夯实所学的基础知识。如果学生对所学的数学知识不及时加以巩固，则提高建模能力根本无从谈起。数学建模能力是学生解答数学问题的一种综合能力。无知便无能，部分学生在建模时所遇到的困难与所学课本知识不牢固有直接关系。
例如，在教学《圆柱的表面积和体积的练习》一课时，学生已经认识了圆柱的特征，掌握了圆柱表面积、体积的计算方法，懂得运用公式解决有关的实际问题。在此基础上我们设计了一节“圆柱的表面积和体积的练习”课，打破重复机械练习的格局，打破“死套公式”的形式，用一张长方形纸让学生充分发挥想象创造出圆柱，观察比较中发现“侧面积不变，底面积越大，表面积、体积越大”，鼓励学生应用所学的圆柱的表面积和体积的知识探索规律，体会变量之间的关系。学生经历了以下三个层次：
教师：每个同学手中都有一张长方形纸，两个人合作用这张纸变出不同的圆柱，看哪一组变得多？
展示汇报，探索规律。（1）学生汇报展示变出的不同圆柱体，沟通与长方形纸之间的关系。（2）解决沿着长边围成的圆柱与沿着宽边围成的圆柱表面积与体积的变化情况。（3）解决绕着长边旋转的圆柱与绕着宽边旋转的圆柱表面积与体积的变化情况。（4）解决分别绕着长方形两条对称轴旋转得到的圆柱表面积与体积的变化情况。
拓展提升，建立模型。教师引导学生研究“当圆柱侧面积一定时，底面积越大，表面积、体积也就越大”产生的原因。
教师：这是我们在有限的时间里，研究三组圆柱得到的结论，通过一张长方形纸围或旋转得到的每组圆柱，我们发现：每组圆柱侧面积相等，底面积越大，表面积和体积越大，我们还能用其他办法验证这个结论吗？
生1：我用一张长10厘米宽5厘米的长方形纸变出圆柱来验证。
生2：我用长25厘米宽12厘米的纸变出圆柱验证。
师：说得完吗？应该怎么办？
生3：老师，可以用字母代替。
师：好办法，如果长用a宽用b，你能算出B组两个圆柱体积比吗？
（学生计算、汇报后教师出示课件）
师：今天回去后大家能否用刚才学过的办法算出A组C组的两个圆柱的比？
师：同学们，你们即将升入中学，在中学的数学里很多时候要用定义定理来证明结论，今天的学习对你们未来的学习是很有帮助的。
一张长方形纸可以通过围、旋转等方式变化出圆柱，从二维到三维的想象，放飞学生的思维，让学生在自己头脑想象的过程中构建图形表象，发展空间观念。学生在探究“侧面积不变，底面积越大，表面积、体积越大”中巩固圆柱侧面积、表面积、体积的相关知识，经历观察、比较、猜想、验证，培养数学思想方法。由合情推理到演绎推理的证明，数学模型的建立可以让优秀的学生跳一跳摘得到，为升入中学的学习做好铺垫。这样的一节练习课，以往教师把精力放在计算方面，但我要说的是：数学思维比数学运算更重要，上帝造物都很简单，所有的问题都可以用数学公式来表达，这是应用数学家们的一个信仰。这就是数学的建模之美。
三、追寻数学大国的历史脉络，感受数学的人文美
波澜壮阔的中华文明史中最亮丽的篇章就是中国数学史。纵观古代数学史，中国数学对于世界的卓越贡献如盛开着的中国文明之花，一朵朵展现开来。数学家都把对数学的研究、追求当作有着艺术享受的快乐。在小学阶段教师应挖掘教材中的数学文化，从小让学生体验到我国数学文化的精髓。如，教学《圆的周长》时结合介绍祖冲之小时候酷爱数学和天文，学习非常刻苦，“专攻数术，搜拣古今”的故事；在开设的数学综合实践活动课中广泛讲述引以为傲的数学史，让学生感受到作为一门科学的数学所表现出来的文化美。
数学的文化美、科学美、逻辑美，推动着生产发展、改变着人们的生活方式，影响着人类精神文明的发展。在生态的数学课堂中，教师应关注课堂生态环境，做到放与收、动与静、得与失、死与活四个方面的和谐统一，实现教师、学生、环境的可持续发展。教师要时时反思自己的教学观念和行为，充分发挥学生的主体性，采用多种教学手段和评价方法，改变传统的教学观念，提高学生的学习兴趣。尽可能摆脱限制因子的束缚，让课堂教学呈现别样活力。在这样的课堂中，要注意美育渗透，让学生在轻松愉悦中提高学习兴趣及应用数学的能力。
（本文系教育部福建师范大学基础教育课程研究中心开放课题“构建生态的数学课堂”研究成果）
（作者单位：福建省福州实验小学）
（责任编辑 冉 然）
一、行走在价值多元化的时代，正确认识真善美
要提高学生的文化修养，切实改进学校的美育教学，要求每一位数学教师充分挖掘教材中的美育因素，培养学生正确的审美观。2015年9月，国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进学校美育工作的意见》，吹响了教育事业挺进“美育”新时代的号角。《国家教育事业发展“十三五”规划》明确指出：深入挖掘课程教材的育人作用，廣泛运用情境教学、现场教学、社会实践等方式，关注学生情感体验过程，引导和组织学生通过各种社会实践活动践行社会主义核心价值观，开展自我教育。
走进数学世界，数学抽象的理论性与应用的广泛性，逻辑的严谨性与结构的协调性，形式的对称性与和谐性，内容的丰富性与深刻性，无不给人以美的情趣、美的享受、美的激励、美的追求。在数学教学中进行美育教育，就要揭示出丰富的数学内容中蕴含的数学美，教师可以在提出数学问题时揭示数学的美，也可以在分析问题与解决问题时揭示数学的美，还可以在知识整理过程中揭示数学的美，从而激发学生强烈的学习好奇心，提高学生的数学素养。
二、演绎数学世界的内在规律，发现数学的逻辑美
音乐的殿堂里，优美动听的乐曲让你感受到音乐带给你“美”的享受，文学园地里精辟绝妙的语句让你体味文学带给你“美”的大餐，而数学王国里简约奇异的模型却让你感悟到数学特有的理性之“美”。这种“美”是启迪智慧的“美”。“哪里有数学，哪里就有美”，这是古代哲学家对数学美的态度。只要我们用心观察世界、思考世界、表达世界，数学的美就会呈现出来，就会陶冶我们的情操。
1.数学的抽象美。
R.D.Carmicheal认为：数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。抽象是对某类事物共性的描述。数学概念是从众多事物共同属性中抽象出来的。抽象是对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化的过程。数学的抽象性在很大程度上表现在数学的简约性。在教学中，教师要引领学生感受数学抽象美，必须从具体实物感知入手，注重建立表象，不断从不同模型表征中抽象出最简约的表征方式。
例如，在《认识三角形》一课的教学中，教师首先呈现大量的生活图片，让学生欣赏并找出学过的图形，感受三角形运用之美以及美无处不在，从而使学生产生浓厚的学习兴趣。接着，教师让学生把一根吸管用剪刀剪成三段，看看能不能围成三角形。学生通过动手操作和小组交流发现，有的能够围成三角形，有的不能围成三角形。教师进而组织学生探究能够围成三角形的情况，发现只有当两边之和大于第三边的时候，剪成的三段吸管才能够围成三角形。从而明白把一根吸管用剪刀剪成三段的时候，第一刀要剪在吸管中间多（或少）一些的地方，第二刀要把第一次剪的吸管更长的一段剪成两段，归纳出：由三条线段围成的图形叫三角形。
在这个教学片段中，教师从生活入手，提供充分的感知材料，让学生动手剪吸管，充分感受三角形三边的关系，在理解“三角形”这一抽象的数学概念的同时，深刻体会到数学的抽象之美。
2.数学的推理美。
《数学课程标准》明确指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是学生学习数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。在小学数学教学中，构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。教师应通过多样化的活动培养学生的推理能力。
例如，在《长方形和正方形》一课的教学中，教师可以组织学生通过以下三个数学活动经历合情推理与演绎推理的过程，从而感悟出长方形与正方形的特征。
活动一：摆小棒中产生猜想。
同桌学生合作，用12根小棒（三种不同长度）摆出长方形和正方形各一个。
学生展示。
反思：为什么你认为你摆出的图形就是长方形？为什么你认为你摆出的图形就是正方形？
根据学生的回答进行板书。
长方形：上下两边相等，左右两边相等；四个角都是直角。
正方形：四条边都相等；四个角都是直角。
反思：这个长方形它上下边在哪？（注：出示非标准状态下的长方形质疑，引起认知冲突，认识引入“对边”的必要性，把上面的板书改为“对边相等”。同时介绍：长方形有对边，也有邻边。长方形中相邻的两条边，或者说组成长方形每一个直角的两条边，就是长方形的一组邻边。）
活动二：用量一量、折一折等多种方法验证猜想。
（1）用量一量、折一折的方法，验证你们的发现，并把经过验证的结论填写到课本第72页上。
（2）学生扮演教师的角色展示汇报验证的过程。
（3）教师讲解：长方形两组对边分别相等，所以，长方形的四条边只有两种长度，较长的边叫做长，较短的边叫做宽。长方形的一条长与一条宽组成长方形的一组邻边。
正方形的四条边都相等，所以，正方形的四条边只有一种长度，任何一条边都叫边。
作为一名数学教师应当抓住时机，设计恰当的教学内容，让学生积极地参与数学活动，体会数学知识的形成过程，让学生感悟到推理的方法和效能，充分展现人的想象能力、抽象能力，充分展现人的智慧。这个教学案例中，教师充分发挥学生的主体性，采用猜想验证等多种教学方法，改变传统的教学观念，提高学生的学习兴趣，尽可能摆脱限制因子的束缚，让课堂教学呈现别样活力。牛顿说：“没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现。”猜想是学生感知事物作出初步的未经证实的判断，它是学生获取知识过程中的重要环节，它不是凭空猜想，是以一定的数学知识、经验知识和思维方法为基础的一种合理猜想，而不是“瞎猜”。这节课中设计了两次数学活动，首先是让学生通过3种不同长度的12根小棒进行直观操作，让低年级学生在摆长方形和正方形的操作活动中，借助观察和操作等活动产生图形特征的猜想，营造出探究长方形、正方形特征的学习氛围，激起学生饱满的热情和积极的思维。接着让学生通过折一折、量一量、比一比等操作活动来验证自己对图形特征的猜想，在猜想、转换中理解图形间的关系，从而发展学生的空间观念，合情推理与演绎推理相辅相成，一种推理之美油然而生。 3.數学的建模美。
数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。数学建模就是通过建立模型的方法求得问题解决的数学活动过程。要提高学生数学建模能力，除了在教学中潜移默化地培养学生的数学应用意识外，还需要立足课本，夯实所学的基础知识。如果学生对所学的数学知识不及时加以巩固，则提高建模能力根本无从谈起。数学建模能力是学生解答数学问题的一种综合能力。无知便无能，部分学生在建模时所遇到的困难与所学课本知识不牢固有直接关系。
例如，在教学《圆柱的表面积和体积的练习》一课时，学生已经认识了圆柱的特征，掌握了圆柱表面积、体积的计算方法，懂得运用公式解决有关的实际问题。在此基础上我们设计了一节“圆柱的表面积和体积的练习”课，打破重复机械练习的格局，打破“死套公式”的形式，用一张长方形纸让学生充分发挥想象创造出圆柱，观察比较中发现“侧面积不变，底面积越大，表面积、体积越大”，鼓励学生应用所学的圆柱的表面积和体积的知识探索规律，体会变量之间的关系。学生经历了以下三个层次：
教师：每个同学手中都有一张长方形纸，两个人合作用这张纸变出不同的圆柱，看哪一组变得多？
展示汇报，探索规律。（1）学生汇报展示变出的不同圆柱体，沟通与长方形纸之间的关系。（2）解决沿着长边围成的圆柱与沿着宽边围成的圆柱表面积与体积的变化情况。（3）解决绕着长边旋转的圆柱与绕着宽边旋转的圆柱表面积与体积的变化情况。（4）解决分别绕着长方形两条对称轴旋转得到的圆柱表面积与体积的变化情况。
拓展提升，建立模型。教师引导学生研究“当圆柱侧面积一定时，底面积越大，表面积、体积也就越大”产生的原因。
教师：这是我们在有限的时间里，研究三组圆柱得到的结论，通过一张长方形纸围或旋转得到的每组圆柱，我们发现：每组圆柱侧面积相等，底面积越大，表面积和体积越大，我们还能用其他办法验证这个结论吗？
生1：我用一张长10厘米宽5厘米的长方形纸变出圆柱来验证。
生2：我用长25厘米宽12厘米的纸变出圆柱验证。
师：说得完吗？应该怎么办？
生3：老师，可以用字母代替。
师：好办法，如果长用a宽用b，你能算出B组两个圆柱体积比吗？
（学生计算、汇报后教师出示课件）
师：今天回去后大家能否用刚才学过的办法算出A组C组的两个圆柱的比？
师：同学们，你们即将升入中学，在中学的数学里很多时候要用定义定理来证明结论，今天的学习对你们未来的学习是很有帮助的。
一张长方形纸可以通过围、旋转等方式变化出圆柱，从二维到三维的想象，放飞学生的思维，让学生在自己头脑想象的过程中构建图形表象，发展空间观念。学生在探究“侧面积不变，底面积越大，表面积、体积越大”中巩固圆柱侧面积、表面积、体积的相关知识，经历观察、比较、猜想、验证，培养数学思想方法。由合情推理到演绎推理的证明，数学模型的建立可以让优秀的学生跳一跳摘得到，为升入中学的学习做好铺垫。这样的一节练习课，以往教师把精力放在计算方面，但我要说的是：数学思维比数学运算更重要，上帝造物都很简单，所有的问题都可以用数学公式来表达，这是应用数学家们的一个信仰。这就是数学的建模之美。
三、追寻数学大国的历史脉络，感受数学的人文美
波澜壮阔的中华文明史中最亮丽的篇章就是中国数学史。纵观古代数学史，中国数学对于世界的卓越贡献如盛开着的中国文明之花，一朵朵展现开来。数学家都把对数学的研究、追求当作有着艺术享受的快乐。在小学阶段教师应挖掘教材中的数学文化，从小让学生体验到我国数学文化的精髓。如，教学《圆的周长》时结合介绍祖冲之小时候酷爱数学和天文，学习非常刻苦，“专攻数术，搜拣古今”的故事；在开设的数学综合实践活动课中广泛讲述引以为傲的数学史，让学生感受到作为一门科学的数学所表现出来的文化美。
数学的文化美、科学美、逻辑美，推动着生产发展、改变着人们的生活方式，影响着人类精神文明的发展。在生态的数学课堂中，教师应关注课堂生态环境，做到放与收、动与静、得与失、死与活四个方面的和谐统一，实现教师、学生、环境的可持续发展。教师要时时反思自己的教学观念和行为，充分发挥学生的主体性，采用多种教学手段和评价方法，改变传统的教学观念，提高学生的学习兴趣。尽可能摆脱限制因子的束缚，让课堂教学呈现别样活力。在这样的课堂中，要注意美育渗透，让学生在轻松愉悦中提高学习兴趣及应用数学的能力。
（本文系教育部福建师范大学基础教育课程研究中心开放课题“构建生态的数学课堂”研究成果）
（作者单位：福建省福州实验小学）
（责任编辑 冉 然）