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作为一名一线教师，通读了《教学月刊·小学版》（数学）2018年第11期文章之后，感受到每一篇文章充满着智慧和艺术，并引起笔者深深的思考与感悟。特别是郑倩老师和郜舒竹教授撰写的《数学学习中的直觉与误解》（见第4至5页），引用了丰富的国外文献，具有广阔的国际视野，并以心理学理论为依据，使研究具有坚实的科学基础;问题描述客观，贴近数学学习实际，有很强的针对性，笔者感触颇为深刻。
触动1：有一种错叫直觉的错
“错误源于误解，误解源于直觉”，学生出现错误的原因很多，有必然性，也有普遍性，在探寻学生出现错误的时候，多了一点对学生的包容之心，那就是学生的错误还有可能源于直觉与误解。
文章中，“以色列学者菲茨拜因在其研究中指出：直觉是基于判断信息种类或关系的思维模式和行为模式。在此思维模式的作用下会形成有规律的行动。菲茨拜因将人的理解和认知过程分为两类：一类是直觉的，一类是逻辑的。学生受初学知识的影响，常因为直觉认知导致最后结果的错误。”[1]
这样的错误，在数学学习中不乏实例，比如：
（一）视觉直观出现的错觉
学生会认为图1鸡与鸭一样多，图2松果比松鼠多1。
出现这种错误的原因是学生在“比多少”时，单凭视觉上的直观就作出了判断（图1鸡和鸭两种动物各自排列都非常整齐，且上下首尾对齐;图2松果和松鼠同样各自排列整齐，且凭直观感觉是多1），两个图都没有采用一一对应的方法比较物体的多少，故意让人从视觉上出现错误。
（二）视觉干扰引发的错觉
在上图中学生会正确地判断出图3①号的面积最大，图4乙的面积大于甲的面积，从而引发错觉，面积越大，周长也越大。特别是在学习了周长之后，学生计算一个物体或一个图形的周长基本上不會有问题，在教完面积时，让学生计算一个物体或一个图形的面积，学生也能十分轻松地完成。但是在后面既有周长又有面积的练习中，学生就容易混淆了，在求周长时受到面积的干扰，无法从二维的面积里剥离出一维的周长。
（三）心智不成熟产生的错觉
这是因为学生在解决问题时，可能只关注到眼前个别信息，从而产生的错觉。他们认为题目中只要出现 “走了、游走、去掉、吃了、用掉”等这样的信息，一定就是用减法解决，笔者认为这是心智不成熟的一种表现。
著名的儿童心理学家、认知心理学家皮亚杰通过研究表明，加减法的学习必须深刻理解对整体和部分的包含逻辑。低段学生对这种理解是有困难的，当呈现1白9棕的木念珠时，问：“这里的木念珠多还是棕色念珠多？”学生会认为棕色的多。当追问：“棕色念珠是木念珠吗？”学生回答：“是。”再次问：“这里的木念珠多还是棕色念珠多？”这个年龄段还有很多人会再次回答棕色念珠多。
皮亚杰通过研究得出结论：四到七岁的学生理解整体和部分包含逻辑有三个层次。
第一层次：坚持说棕色念珠多。
第二层次：在起初回答棕色念珠多，经过教师的追问后，纠正了自己的想法，学生是在直觉水平上或通过试误掌握了这一观念。
第三层次：学生毫不犹豫地回答木念珠多。
当学生处于第一、二层次的理解，所理解的关系是直觉的，依赖实际知觉，不能形成稳定的结合，对理解“已知两个数和与其中一个加数，求另一个加数用减法算”的应用题是有很大障碍的。不达到第三层次的理解，学生会像皮亚杰所说的：“当儿童一注意部分，就忘记整体。当念珠分为棕色和白色两个集合时，全部念珠的集合就消失了。”[2]
（四）知识储备不够造成的错觉
郜舒竹教授在《小学数学这样教》一文的“直观和经验不可靠”一章中提出：在小学六年级数学教学“圆锥体积”时，学生在学习这一内容时，经常会出现一个疑惑：“既然圆柱和圆锥分别是由长方形和直角三角形围绕一条边旋转而成，旋转前三角形的面积是长方形面积的二分之一，那么旋转后的体积为什么不是二分之一，而是三分之一了呢？”（图7）
其实，我们大家知道，如图8，设想一个点距离旋转轴3厘米，一个点距离旋转轴4厘米，那么转出的圆周长不一样，所以旋转出来的体，不仅跟旋转前的面的大小有关，还与这个旋转面到旋转轴的距离有关。但对于面来说（如图9），到旋转轴的距离从面的重心开始，所以图中点M是三角形ABD的重心，N是三角形BCD的重心，线段NH的长度是线段AB长度的三分之一，线段MG的长度是线段AB长度的三分之二，因此，三角形ABD的重心到旋转轴的距离就是三角形BDC重心到旋转轴距离的2倍。因此旋转出来的体积也是2倍关系，也就是说圆锥占整个体积的三分之一。[3]
触动2：有一种教叫从错误开始
从直觉的角度出发，可以帮助我们理解学生错误的合理性，准确地诊断学生的困难所在，可以根据学生出现的直觉错误展开教学。
比如文章中针对三角形内角和的问题时，意识到学生心中存在“三角形越大，内角和越大”的误解。教师可以通过布置任务的方式让学生思考产生这样误解的原因。以小组合作的方式组织教学，首先出示上文中的三个任务，让学生快速地通过直觉进行判断，呈现出错误。接着，鼓励学生主动思考并讨论出现这样错误的原因。通过小组探究，总结出常出现的直觉规律，在今后的学习中尽量避免此类错误的产生。同时，教师鼓励学生不仅依赖于任务的外部特征，更要观察变中的不变，进行严谨的逻辑推理，批判性地看待自己的答案，发展学生的元认知评价能力。[1]
在周长概念中， 关键词是“一周”和“长度”，它们同属于一维空间的测量，但周长却常用在二维图形上，如平面、曲面。也就是说周长是一维的量，却在二维的面里出现和应用，同时，小学生的思维以形象思维为主，空间想象能力比较薄弱。因此，一维的周长与二维的面积容易混淆，对此，教师可以通过以下两种方式进行避免。
（一）呈现有效素材，建立表象 周长属于一维空间（只有“长度”）。在呈现素材时，就应淡化“面”的干扰，突出物体或平面图形边线的长度信息，给学生以视觉冲击，帮助其在大脑中形成周长就是物体或平面图形所有边线的长度之和，这样的一个正确表象。
（二）抓住概念本质，建构模型
周长的本质就是“长度”。史宁中教授在《小学数学教学中的核心问题（基本概念和运算法则）》一书中提到“长度是对一维空间图形的度量”。那么初步认识周长，自然离不开对其长度的测量和计算。测量活动是学生感悟周长的实际含义的有效方式，也是探究周長计算方法的前提。更是符合该年段学生特点的有效学习方式。因此，设计量、描等操作活动是必不可少的。
本期文章中，蒋迪峰老师和夏杭英老师就周长的教学与大家分享了他们的想法，分别是《淡化概念形式 把握概念本质》《聚焦概念本质 锤炼数学思维》。
触动3：有一种错叫老师也会犯
教师在教学当中是否也会犯因直觉与误解引起的错误？当教师以成人的直觉去判断学生可能会出现的问题时，是否已经读懂了学生的背景，读懂了学生的思维？（如图10）
学生的回答有问题吗？那么错误又在哪里呢？
再如图11，为什么要写6月1日？因为前面一个小朋友的生日是5月31日，她把前面的小朋友当作了“党”。[4]
如何避免教师直觉上的错误呢？文章给了我们启示，2006年潘德丽莎、安尼塔和德梅特拉针对“三角形越大，内角和越大”的研究表明：当学生面对两个不同的三角形或四边形时，会优先关注两个图形之间大小这样的显著特征。图形大小的变化影响了学生对内角和的判断。
又如教学“平均分”一课时，导入新课就会出现学生都是平均分的方法，为什么会出现这样的现象呢？笔者曾经做过一个调查（如图12）。
不难发现，学生的生活经验有了平均分的认知水平，我们的设计就不能评直觉去判断。特级教师王建良的设计巧妙地避开了这一现象。
1.投影出示一只狗妈妈和一只狗宝宝的情景。
师：这里有两只可爱的狗， 分别是小狗宝宝和狗妈妈。主人给它们6根骨头， 你建议怎么分比较好呢？
学生可能出现：狗妈妈5根，狗宝宝1根，因为狗妈妈胃口大，狗宝宝胃口小。也有可能会出现：狗宝宝4根，狗妈妈2根，因为狗宝宝正是长身体的时候，狗妈妈会让出自己的骨头给宝宝吃。当然也有可能会出现分成一样多的情况。教师把学生的分法用符号记录下来。
2.如果出现三种分法，教师可设问：“哪一种分法比较特别？特别在哪里？”如果只出现一样多与狗宝宝多（或狗妈妈多）两种分法，则提问：“两种分法有什么不同？”
师：小狗宝宝分得3根，狗妈妈分得3根，像这样的分法你们知道叫什么分吗？（平均分）
师：我们可以说“把6根骨头平均分给了2只狗，每只狗得3根”。
王建良老师的导入让我们眼前一亮，他理解学生的难处所在，理解学生善意淳朴的想法，利用了狗妈妈和狗宝宝这样的生活原型，自然构建出了学生各种个性的思考。在留给学生表达不同见解的空间的同时，也将随意分的方法毫无痕迹地展现出来。
因此，我们要将儿童研究从概念化走向具体化，并细化到儿童的知识技能、活动经验、兴趣爱好等，而不是凭着我们对学生的直觉规律作出判断。
参考文献：
[1] 郑倩，郜舒竹.数学学习中的直觉与误解[J].教学月刊·小学版》（数学），2018（11）：4-5.
[2] （美）R.W.柯普兰.儿童怎样学习数学[M].上海：上海教育出版社，1985：131-134.
[3] 郜舒竹.小学数学这样教[M]上海：华东师范大学出版社，2015：134-137.
（浙江省永嘉县少年艺术学校
触动1：有一种错叫直觉的错
“错误源于误解，误解源于直觉”，学生出现错误的原因很多，有必然性，也有普遍性，在探寻学生出现错误的时候，多了一点对学生的包容之心，那就是学生的错误还有可能源于直觉与误解。
文章中，“以色列学者菲茨拜因在其研究中指出：直觉是基于判断信息种类或关系的思维模式和行为模式。在此思维模式的作用下会形成有规律的行动。菲茨拜因将人的理解和认知过程分为两类：一类是直觉的，一类是逻辑的。学生受初学知识的影响，常因为直觉认知导致最后结果的错误。”[1]
这样的错误，在数学学习中不乏实例，比如：
（一）视觉直观出现的错觉
学生会认为图1鸡与鸭一样多，图2松果比松鼠多1。
出现这种错误的原因是学生在“比多少”时，单凭视觉上的直观就作出了判断（图1鸡和鸭两种动物各自排列都非常整齐，且上下首尾对齐;图2松果和松鼠同样各自排列整齐，且凭直观感觉是多1），两个图都没有采用一一对应的方法比较物体的多少，故意让人从视觉上出现错误。
（二）视觉干扰引发的错觉
在上图中学生会正确地判断出图3①号的面积最大，图4乙的面积大于甲的面积，从而引发错觉，面积越大，周长也越大。特别是在学习了周长之后，学生计算一个物体或一个图形的周长基本上不會有问题，在教完面积时，让学生计算一个物体或一个图形的面积，学生也能十分轻松地完成。但是在后面既有周长又有面积的练习中，学生就容易混淆了，在求周长时受到面积的干扰，无法从二维的面积里剥离出一维的周长。
（三）心智不成熟产生的错觉
这是因为学生在解决问题时，可能只关注到眼前个别信息，从而产生的错觉。他们认为题目中只要出现 “走了、游走、去掉、吃了、用掉”等这样的信息，一定就是用减法解决，笔者认为这是心智不成熟的一种表现。
著名的儿童心理学家、认知心理学家皮亚杰通过研究表明，加减法的学习必须深刻理解对整体和部分的包含逻辑。低段学生对这种理解是有困难的，当呈现1白9棕的木念珠时，问：“这里的木念珠多还是棕色念珠多？”学生会认为棕色的多。当追问：“棕色念珠是木念珠吗？”学生回答：“是。”再次问：“这里的木念珠多还是棕色念珠多？”这个年龄段还有很多人会再次回答棕色念珠多。
皮亚杰通过研究得出结论：四到七岁的学生理解整体和部分包含逻辑有三个层次。
第一层次：坚持说棕色念珠多。
第二层次：在起初回答棕色念珠多，经过教师的追问后，纠正了自己的想法，学生是在直觉水平上或通过试误掌握了这一观念。
第三层次：学生毫不犹豫地回答木念珠多。
当学生处于第一、二层次的理解，所理解的关系是直觉的，依赖实际知觉，不能形成稳定的结合，对理解“已知两个数和与其中一个加数，求另一个加数用减法算”的应用题是有很大障碍的。不达到第三层次的理解，学生会像皮亚杰所说的：“当儿童一注意部分，就忘记整体。当念珠分为棕色和白色两个集合时，全部念珠的集合就消失了。”[2]
（四）知识储备不够造成的错觉
郜舒竹教授在《小学数学这样教》一文的“直观和经验不可靠”一章中提出：在小学六年级数学教学“圆锥体积”时，学生在学习这一内容时，经常会出现一个疑惑：“既然圆柱和圆锥分别是由长方形和直角三角形围绕一条边旋转而成，旋转前三角形的面积是长方形面积的二分之一，那么旋转后的体积为什么不是二分之一，而是三分之一了呢？”（图7）
其实，我们大家知道，如图8，设想一个点距离旋转轴3厘米，一个点距离旋转轴4厘米，那么转出的圆周长不一样，所以旋转出来的体，不仅跟旋转前的面的大小有关，还与这个旋转面到旋转轴的距离有关。但对于面来说（如图9），到旋转轴的距离从面的重心开始，所以图中点M是三角形ABD的重心，N是三角形BCD的重心，线段NH的长度是线段AB长度的三分之一，线段MG的长度是线段AB长度的三分之二，因此，三角形ABD的重心到旋转轴的距离就是三角形BDC重心到旋转轴距离的2倍。因此旋转出来的体积也是2倍关系，也就是说圆锥占整个体积的三分之一。[3]
触动2：有一种教叫从错误开始
从直觉的角度出发，可以帮助我们理解学生错误的合理性，准确地诊断学生的困难所在，可以根据学生出现的直觉错误展开教学。
比如文章中针对三角形内角和的问题时，意识到学生心中存在“三角形越大，内角和越大”的误解。教师可以通过布置任务的方式让学生思考产生这样误解的原因。以小组合作的方式组织教学，首先出示上文中的三个任务，让学生快速地通过直觉进行判断，呈现出错误。接着，鼓励学生主动思考并讨论出现这样错误的原因。通过小组探究，总结出常出现的直觉规律，在今后的学习中尽量避免此类错误的产生。同时，教师鼓励学生不仅依赖于任务的外部特征，更要观察变中的不变，进行严谨的逻辑推理，批判性地看待自己的答案，发展学生的元认知评价能力。[1]
在周长概念中， 关键词是“一周”和“长度”，它们同属于一维空间的测量，但周长却常用在二维图形上，如平面、曲面。也就是说周长是一维的量，却在二维的面里出现和应用，同时，小学生的思维以形象思维为主，空间想象能力比较薄弱。因此，一维的周长与二维的面积容易混淆，对此，教师可以通过以下两种方式进行避免。
（一）呈现有效素材，建立表象 周长属于一维空间（只有“长度”）。在呈现素材时，就应淡化“面”的干扰，突出物体或平面图形边线的长度信息，给学生以视觉冲击，帮助其在大脑中形成周长就是物体或平面图形所有边线的长度之和，这样的一个正确表象。
（二）抓住概念本质，建构模型
周长的本质就是“长度”。史宁中教授在《小学数学教学中的核心问题（基本概念和运算法则）》一书中提到“长度是对一维空间图形的度量”。那么初步认识周长，自然离不开对其长度的测量和计算。测量活动是学生感悟周长的实际含义的有效方式，也是探究周長计算方法的前提。更是符合该年段学生特点的有效学习方式。因此，设计量、描等操作活动是必不可少的。
本期文章中，蒋迪峰老师和夏杭英老师就周长的教学与大家分享了他们的想法，分别是《淡化概念形式 把握概念本质》《聚焦概念本质 锤炼数学思维》。
触动3：有一种错叫老师也会犯
教师在教学当中是否也会犯因直觉与误解引起的错误？当教师以成人的直觉去判断学生可能会出现的问题时，是否已经读懂了学生的背景，读懂了学生的思维？（如图10）
学生的回答有问题吗？那么错误又在哪里呢？
再如图11，为什么要写6月1日？因为前面一个小朋友的生日是5月31日，她把前面的小朋友当作了“党”。[4]
如何避免教师直觉上的错误呢？文章给了我们启示，2006年潘德丽莎、安尼塔和德梅特拉针对“三角形越大，内角和越大”的研究表明：当学生面对两个不同的三角形或四边形时，会优先关注两个图形之间大小这样的显著特征。图形大小的变化影响了学生对内角和的判断。
又如教学“平均分”一课时，导入新课就会出现学生都是平均分的方法，为什么会出现这样的现象呢？笔者曾经做过一个调查（如图12）。
不难发现，学生的生活经验有了平均分的认知水平，我们的设计就不能评直觉去判断。特级教师王建良的设计巧妙地避开了这一现象。
1.投影出示一只狗妈妈和一只狗宝宝的情景。
师：这里有两只可爱的狗， 分别是小狗宝宝和狗妈妈。主人给它们6根骨头， 你建议怎么分比较好呢？
学生可能出现：狗妈妈5根，狗宝宝1根，因为狗妈妈胃口大，狗宝宝胃口小。也有可能会出现：狗宝宝4根，狗妈妈2根，因为狗宝宝正是长身体的时候，狗妈妈会让出自己的骨头给宝宝吃。当然也有可能会出现分成一样多的情况。教师把学生的分法用符号记录下来。
2.如果出现三种分法，教师可设问：“哪一种分法比较特别？特别在哪里？”如果只出现一样多与狗宝宝多（或狗妈妈多）两种分法，则提问：“两种分法有什么不同？”
师：小狗宝宝分得3根，狗妈妈分得3根，像这样的分法你们知道叫什么分吗？（平均分）
师：我们可以说“把6根骨头平均分给了2只狗，每只狗得3根”。
王建良老师的导入让我们眼前一亮，他理解学生的难处所在，理解学生善意淳朴的想法，利用了狗妈妈和狗宝宝这样的生活原型，自然构建出了学生各种个性的思考。在留给学生表达不同见解的空间的同时，也将随意分的方法毫无痕迹地展现出来。
因此，我们要将儿童研究从概念化走向具体化，并细化到儿童的知识技能、活动经验、兴趣爱好等，而不是凭着我们对学生的直觉规律作出判断。
参考文献：
[1] 郑倩，郜舒竹.数学学习中的直觉与误解[J].教学月刊·小学版》（数学），2018（11）：4-5.
[2] （美）R.W.柯普兰.儿童怎样学习数学[M].上海：上海教育出版社，1985：131-134.
[3] 郜舒竹.小学数学这样教[M]上海：华东师范大学出版社，2015：134-137.
（浙江省永嘉县少年艺术学校