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【案例呈现】
今天上“分数比大小”一课，上课之前我想：在昨天通分的学习基础上，今天的内容是“小菜一碟”，同学们应该掌握的很快。
果然，课堂中我抛出例题后，采取了让学生自主探究来学习分数比大小方法。同学们4人小组，热烈地讨论起来。有同学很快想到通分的方法：35和49比大小，35=2745，49=2045，因为2745＞2045，所以35＞49。我心想：看来上节课，同学们掌握的还是不错的。
“还有其他的想法吗？”我顺势问道。这时班级中又高高地举起了双双小手。一生站起道：“我们前面学习了分数化小数的方法，我们可以把这两个分数都化成小数来比大小。”其他学生欣然点头。“好，请你来具体说说”。“35=0.6，49≈0.44，因为0.6＞0.44，所以35＞49。”
又一生站起道：“我是这样想的，35比一半（2.55）大，而49比一半（4.59）小，所以35＞49。”我请他上台来板书给同学们看。“因为35＞12，49＜12，所以35＞49。”课上到这儿，时间还只花去15分钟，我很高兴地想，书上的几种解题策略，学生基本上都已出来，看来这节课上的很顺利啊。
下面按照教学设计的流程应该进行练习，在练习中进一步巩固“分数通分比大小”的方法。谁知，又一双小手高高地举起，我定睛一看，哎，这位同学是一位思维比较活跃的优生，难道他会有什么问题吗？“你有什么问题？”我指名问道。“老师，我还有一种分数比大小的方法，”“是让他尽兴讲下去？还是打断他的想法，继续今天的教学内容？”此时，我的头脑里两种想法在竞争，“以人为本、以学生为主”的思想占了上风。
“好，就请你来说说看”，该生见我让他大胆地发表意见，高兴地说：“我发现了一种简便的方法来比较分数的大小”，话音刚落，立即吸引了全班同学的眼球，大家都全神贯注地听他讲下去，他说道：“我们可以比较分数的分子、分母交叉相乘的积，积大的那个分子所在的分数就大。例如35和49比大小，35和49的分子和分母交叉相乘，即是：3×9=27，4×5=20，因为27＞20，所以35＞49”。话音刚落，班级里好似“一石激起千层浪”，同学们议论纷纷，“可以这样比较分数大小吗？”同学们都带着疑问的眼神看着我。我笑笑说道：“同学们，要想知道这样一种比较分数的大小方法对不对？我们可以怎么办？”“验证这种想法”，大家异口同声说道。“好，请每位同学自己出一道异分母比大小的题目，请先用你常用的方法来比较大小，再用刚才这位同学的方法来验证”，大家的兴趣一起调动起来，纷纷动手来验证。
“同学们可以互相交流，你有什么样的想法来比较分数的大小？”，班级的气氛一下达到高潮。
“谁来汇报？”唰的一声，双双小手举得高高。
一生说：“我想到通分是化成分母相同的分数去比大小，我们还可以化成同分子的分数来比较大小。例如：311和467比大小，311=1244，467=12201，因为1244＞12201，所以311＞467。”
一生说：“我想到把分数扩大成整数去比较：例如：23和58比大小，我们可以把这两个分数分别乘两个分母的积，23×3×8=16，58×3×8=15，因为16＞15，所以23＞58。”大家不约而同地又给他鼓起掌。
“我来！我来！”又一生站起说：“我想到用1去减这两个分数，剩余数大的原分数小，剩余数小的原分数大。举例来说：比较1718和2021的大小，通分比较麻烦，如果用1去减它们呢，1-1718=118，1-2021=121，因为118＞121，所以1718＜2021。”
“其实，像1718和2021这样的两个分子和分母是相邻自然数的真分数，分母大的或分子大的分数就大。例如：1718＜2021、78＜89。”
“老师，我们有时还可以画图来比较分数的大小。”
“老师，我来总结一下：分数比较大小，同分母的分数，分子大的那个分数就大；同分子的分数，分母小的那个分数就大；如果分母、分子均不同，我们可以采用多种方法来进行比较，有通分、约分、化小数等等。”下课铃声响起，但是同学们的思维却停滞不住更加活跃。
【解析反思】
《异分母分数比大小》一课是让学生经历分数大小比较方法的探索过程，从而掌握比较方法，能正确进行分数大小的比较；进一步发展学生的数感，培养学生的观察、比较、概括、探究、以及理解、推理的能力。本节课教师并没有一味地“走教案”，而是从学生的实际需要出发，通过引导学生运用自主探索、合作交流、积极思考等方式、学生自主观察讨论解决问题的策略多样化，获得了对分数比较大小的理解和方法的掌握。通过这种教学方式，最大收益不在于问题解决本身，而在于学生发现隐含于问题背后的各种关系和科学知识，形成对某些问题的更深理解，从而发展学生的个性化思维水平，提高自主学习的能力。
不同的学生有不同的的思维方式、不同的兴趣爱好以及不同的发展潜能，他们在认识方法上存在着差异，他们有不同的认识方式和解决问题的策略，这就是我们学校所提倡的“个别化教学”。课程个别化的内涵是植根在对学生个性的尊重基础上，变以教材、教师为中心的教育为以学生为中心，真切关照每个学生潜能开发、个性发展的课程。我们的教师似乎已经习惯通过例题的讲解得出法则，再让学生依据法则进行反复的操练，这样的课不仅对学生适应于未来生活没有太大的帮助，而且会影响到学生数学能力的发展和积极情感的体验。因此在教学中应跳出认知技能的框框，不把法则的得出、技能的形成作为唯一的目标，而是关注学生的学习过程，让学生在自身实践的探索的过程中实现发展性领域目标。所以在本节课的教学中，教师放弃“教案上锁定的教学内容”，鼓励学生从不同的角度、不同的途径来思考和解决“异分母分数比大小”这一问题。教师在教学中把握不同层次学生思维方式的多样化和思维水平，还应联系生活实际，调动学生的知识储备和生活经验，采用灵活多样的方法来比较异分母分数的大小。鼓励学生解决问题方法的多样化，就是要让学生成为学习的主人，教师要把更多思考的空间和时间留给学生。教师工作贵在启发，重在信任，要充分让学生有表现自己才干的机会。学生是数学学习主体，教师要引导学生主动学习。在教学过程中，教师要激励和尊重学生多样性独立思维方式，提倡个性化学习。
学生在获得解决问题策略多样化的同时要学会选择学习策略，进行策略的优化意识。在课堂教学中我们应力求激活每一个学生的思维，给他们思考的时间和空间，让他们的思维在比较、探讨、交流中真正碰撞一下。本节课教师有意识地引导学生对他们的解题方法进行简单的反思、比较、归类，并让学生在不断用自己的方法和别人的方法进行比较中，认识到差距，形成迫切需要将方法最优化的内在动力。在这个过程中，学生会自觉地对解题方法进行回顾、反思、总结、比较、自我调节。这个过程本身也是一个思维不断发散的过程。通过比较，使学生的思维得到发展，优化意识得到培养。解题策略的多样化和最优化之间并不矛盾，两者是统一的，都是学生主动探索的过程。当然，在引导学生进行方法优化的过程中，不能过早地进行分析、归类、择优，应让学生在不断的练习中，在教师的引导下逐步感悟。因此，数学教学活动要让所有学生都能积极参加讨论，激励学生思维，启发学生大胆、独立运用数学知识来解决问题，培养学生思考和创新的意识、促进学生创造力的提高。
通过“课程个别化”的开发，能有效开发学生智能资源（按多元理论学说，学生各有不同方面的智能），挖掘学生潜能，为学生创造学习特长、发展特长的平台，培养学生的创新精神和实践能力。同时充分尊重和满足学生的差异特点和多样化发展需求，为教师课程意识的提高和专业发展提供了广阔的空间，促进学生个性主动充分的发展，使教师水平和能力不断提高。
今天上“分数比大小”一课，上课之前我想：在昨天通分的学习基础上，今天的内容是“小菜一碟”，同学们应该掌握的很快。
果然，课堂中我抛出例题后，采取了让学生自主探究来学习分数比大小方法。同学们4人小组，热烈地讨论起来。有同学很快想到通分的方法：35和49比大小，35=2745，49=2045，因为2745＞2045，所以35＞49。我心想：看来上节课，同学们掌握的还是不错的。
“还有其他的想法吗？”我顺势问道。这时班级中又高高地举起了双双小手。一生站起道：“我们前面学习了分数化小数的方法，我们可以把这两个分数都化成小数来比大小。”其他学生欣然点头。“好，请你来具体说说”。“35=0.6，49≈0.44，因为0.6＞0.44，所以35＞49。”
又一生站起道：“我是这样想的，35比一半（2.55）大，而49比一半（4.59）小，所以35＞49。”我请他上台来板书给同学们看。“因为35＞12，49＜12，所以35＞49。”课上到这儿，时间还只花去15分钟，我很高兴地想，书上的几种解题策略，学生基本上都已出来，看来这节课上的很顺利啊。
下面按照教学设计的流程应该进行练习，在练习中进一步巩固“分数通分比大小”的方法。谁知，又一双小手高高地举起，我定睛一看，哎，这位同学是一位思维比较活跃的优生，难道他会有什么问题吗？“你有什么问题？”我指名问道。“老师，我还有一种分数比大小的方法，”“是让他尽兴讲下去？还是打断他的想法，继续今天的教学内容？”此时，我的头脑里两种想法在竞争，“以人为本、以学生为主”的思想占了上风。
“好，就请你来说说看”，该生见我让他大胆地发表意见，高兴地说：“我发现了一种简便的方法来比较分数的大小”，话音刚落，立即吸引了全班同学的眼球，大家都全神贯注地听他讲下去，他说道：“我们可以比较分数的分子、分母交叉相乘的积，积大的那个分子所在的分数就大。例如35和49比大小，35和49的分子和分母交叉相乘，即是：3×9=27，4×5=20，因为27＞20，所以35＞49”。话音刚落，班级里好似“一石激起千层浪”，同学们议论纷纷，“可以这样比较分数大小吗？”同学们都带着疑问的眼神看着我。我笑笑说道：“同学们，要想知道这样一种比较分数的大小方法对不对？我们可以怎么办？”“验证这种想法”，大家异口同声说道。“好，请每位同学自己出一道异分母比大小的题目，请先用你常用的方法来比较大小，再用刚才这位同学的方法来验证”，大家的兴趣一起调动起来，纷纷动手来验证。
“同学们可以互相交流，你有什么样的想法来比较分数的大小？”，班级的气氛一下达到高潮。
“谁来汇报？”唰的一声，双双小手举得高高。
一生说：“我想到通分是化成分母相同的分数去比大小，我们还可以化成同分子的分数来比较大小。例如：311和467比大小，311=1244，467=12201，因为1244＞12201，所以311＞467。”
一生说：“我想到把分数扩大成整数去比较：例如：23和58比大小，我们可以把这两个分数分别乘两个分母的积，23×3×8=16，58×3×8=15，因为16＞15，所以23＞58。”大家不约而同地又给他鼓起掌。
“我来！我来！”又一生站起说：“我想到用1去减这两个分数，剩余数大的原分数小，剩余数小的原分数大。举例来说：比较1718和2021的大小，通分比较麻烦，如果用1去减它们呢，1-1718=118，1-2021=121，因为118＞121，所以1718＜2021。”
“其实，像1718和2021这样的两个分子和分母是相邻自然数的真分数，分母大的或分子大的分数就大。例如：1718＜2021、78＜89。”
“老师，我们有时还可以画图来比较分数的大小。”
“老师，我来总结一下：分数比较大小，同分母的分数，分子大的那个分数就大；同分子的分数，分母小的那个分数就大；如果分母、分子均不同，我们可以采用多种方法来进行比较，有通分、约分、化小数等等。”下课铃声响起，但是同学们的思维却停滞不住更加活跃。
【解析反思】
《异分母分数比大小》一课是让学生经历分数大小比较方法的探索过程，从而掌握比较方法，能正确进行分数大小的比较；进一步发展学生的数感，培养学生的观察、比较、概括、探究、以及理解、推理的能力。本节课教师并没有一味地“走教案”，而是从学生的实际需要出发，通过引导学生运用自主探索、合作交流、积极思考等方式、学生自主观察讨论解决问题的策略多样化，获得了对分数比较大小的理解和方法的掌握。通过这种教学方式，最大收益不在于问题解决本身，而在于学生发现隐含于问题背后的各种关系和科学知识，形成对某些问题的更深理解，从而发展学生的个性化思维水平，提高自主学习的能力。
不同的学生有不同的的思维方式、不同的兴趣爱好以及不同的发展潜能，他们在认识方法上存在着差异，他们有不同的认识方式和解决问题的策略，这就是我们学校所提倡的“个别化教学”。课程个别化的内涵是植根在对学生个性的尊重基础上，变以教材、教师为中心的教育为以学生为中心，真切关照每个学生潜能开发、个性发展的课程。我们的教师似乎已经习惯通过例题的讲解得出法则，再让学生依据法则进行反复的操练，这样的课不仅对学生适应于未来生活没有太大的帮助，而且会影响到学生数学能力的发展和积极情感的体验。因此在教学中应跳出认知技能的框框，不把法则的得出、技能的形成作为唯一的目标，而是关注学生的学习过程，让学生在自身实践的探索的过程中实现发展性领域目标。所以在本节课的教学中，教师放弃“教案上锁定的教学内容”，鼓励学生从不同的角度、不同的途径来思考和解决“异分母分数比大小”这一问题。教师在教学中把握不同层次学生思维方式的多样化和思维水平，还应联系生活实际，调动学生的知识储备和生活经验，采用灵活多样的方法来比较异分母分数的大小。鼓励学生解决问题方法的多样化，就是要让学生成为学习的主人，教师要把更多思考的空间和时间留给学生。教师工作贵在启发，重在信任，要充分让学生有表现自己才干的机会。学生是数学学习主体，教师要引导学生主动学习。在教学过程中，教师要激励和尊重学生多样性独立思维方式，提倡个性化学习。
学生在获得解决问题策略多样化的同时要学会选择学习策略，进行策略的优化意识。在课堂教学中我们应力求激活每一个学生的思维，给他们思考的时间和空间，让他们的思维在比较、探讨、交流中真正碰撞一下。本节课教师有意识地引导学生对他们的解题方法进行简单的反思、比较、归类，并让学生在不断用自己的方法和别人的方法进行比较中，认识到差距，形成迫切需要将方法最优化的内在动力。在这个过程中，学生会自觉地对解题方法进行回顾、反思、总结、比较、自我调节。这个过程本身也是一个思维不断发散的过程。通过比较，使学生的思维得到发展，优化意识得到培养。解题策略的多样化和最优化之间并不矛盾，两者是统一的，都是学生主动探索的过程。当然，在引导学生进行方法优化的过程中，不能过早地进行分析、归类、择优，应让学生在不断的练习中，在教师的引导下逐步感悟。因此，数学教学活动要让所有学生都能积极参加讨论，激励学生思维，启发学生大胆、独立运用数学知识来解决问题，培养学生思考和创新的意识、促进学生创造力的提高。
通过“课程个别化”的开发，能有效开发学生智能资源（按多元理论学说，学生各有不同方面的智能），挖掘学生潜能，为学生创造学习特长、发展特长的平台，培养学生的创新精神和实践能力。同时充分尊重和满足学生的差异特点和多样化发展需求，为教师课程意识的提高和专业发展提供了广阔的空间，促进学生个性主动充分的发展，使教师水平和能力不断提高。