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[摘 要]数学是人类文化的重要组成部分。发掘数学学科特有的文化意蕴，带领学生经历“再创造”的文化轨迹，可以让数学学习变得更加生动、丰满、厚实。以“三角形面积计算”教学为例，谈谈如何用文化的养分滋养课堂，建立起基于“文化”开掘、传承、发展、创新的教学思维。
[关键词]数学学习 数学文化 三角形面积计算
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-008
著名特级教师张乃达先生认为，“数学是在数学文化背景下的思维活动”，“思维与文化，集中地体现了数学教育在提高学生素质教育中的两项要素，所以也是现代数学教育的两个重要方面”。个人以为，作为数学教育的两翼，思维与文化并不是分离的，而是有机统一体——文化靠思维来打造和提炼，思维就在文化中，思维是数学文化的重要组成部分。本文以“三角形面积计算”为例，谈谈自己在这方面的思考与实践。
研读
多年来，小学教材中关于图形面积计算的学习，有一个比较稳定的逻辑顺序：长方形面积计算——平行四边形面积计算——三角形面积计算——梯形面积计算——圆面积计算。“三角形面积计算”是这个链条的中间环节，因而教材编排思路是用“两个完全一样的三角形”拼成一个平行四边形，三角形的底等同于平行四边形的底，高等同于平行四边形的高，面积等同于平行四边形面积的一半，从而推导出三角形面积计算公式。这样的编排，体现了循序渐进、螺旋上升、新知建立在旧知之上的科学原理。
考虑到学生的认知规律，为更好地体现图形直观的新课改理念，现行教材从一年级下册开始，对两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形或者一个平行四边形能分成两个完全一样的三角形进行了多次铺垫（图1为苏教版二年级上册“平行四边形的初步认识”中的习题），以期学生能从平行四边形面积推导时的“割补”顺畅地转换到凭空再借一个一样的三角形来“拼”。
图1
客观地讲，教材中的这种变化基本上还是在原有的编排框架之中把“戏份”做得更加充分而已，但只增加了“长度”而未能增加“厚度”。
思考
翻开厚厚的数学发展史，我们发现，多边形的面积计算都来自对土地的测量。譬如古埃及的纸草的第三部分讲述了如何确定正方形、矩形、三角形、梯形以及能分割成这些形状的图形的土地面积。随后，人们又发现任意的多边形可以分割成多个三角形来求出面积。正因为土地的形状不太可能出现平行四边形，所以在历史上，起初的三角形的面积计算压根就和平行四边形无关。显然，教材的安排是出于对学生认知难度考虑而作出的一种优化，而优化往往忽略了发展的曲折。
再从数学自身发展中挖掘这一内容的學科魅力。数学家发现三角形面积计算公式后，有个难题摆在了前面：“不知道三角形高的情况下怎么求三角形的面积。”而海伦公式的发现解决了这个难题（注：利用三角形三条边的长度来求三角形的面积）。很明显，如果不按照教材设置的指向，而是让学生像数学家一样思考、争论、探索，那学习是不是有另一番风景呢？但是，在课堂重现历史发展的脚步，还原三角形面积计算的另一种推导，无论从自主发展，还是多种方法的创新思维来说，都是有价值的，同时也是有难度的。
以往的教学经验告诉我们，学生在没有自习书本的情况下，受前一课平行四边形面积计算公式推导的影响，还是能想到“割”的，但往往想不到怎么去“割”。有个以往无法避免的难点在于小学五年级的学生还不知道什么是“中点”。
他山之石可以攻玉！《小学教学参考》2015第4期查人韵老师的尝试给了我灵感的火花。从图2可以看出，借助方格图，可以绕过“中点”这个坑，从而顺利还原古人的思路，从而实现真正多角度的自主探究。
实践
我的教学分三个板块进行。
第一板块“开门见山”，提问“三角形的面积可能和哪个图形有联系？”由于有上一课的经验，学生很容易回答出“长方形或平行四边形”。先规定探究方向，节省时间。
第二板块直接出示先学单（格子图上有3种三角形：底4高6的直角三角形，底6高4的等腰三角形，底6高5的一般三角形，每种图形有三个，期待每个学生有不同的方法），让学生探究三角形的面积是多少。
在开放的探究环境中，真正地体现了思维的差异，方法的多样。数格子的学生在真心实意地数格子，而不是教师指点的“还可以数格子”;对于直角三角形，有学生一下子想到了“拼成一个长方形”……因为借助了格子图，学生直观的思维能力得到了充分地应用，精彩的想法远远超过了教师的预期。可以说，这里的转化来自学生的直觉判断，并不严谨，但是却飘逸灵动。
探究后全班交流：1.自评互评，这个方法好在哪里，不好在哪里？引导横向比较，发现优点和不足。2.比较算式，为什么有4×6÷2，又有3×4？怎么看上去算式不一样？创设困惑，让学生发现一般的公式，其实3×4就是6÷2×4，虽然看起来不一样，但本质是一样的。因为有了充分的探究，学生真正是带着自己的思考，聆听别人的想法，合作探究完全不是“做做样子”。
第三板块介绍“刘徽著《九章算术》中三角形面积的图例（如图3）”，指出：“我们比数学家更厉害，不仅解决了等腰三角形的面积问题，还推广到了一般三角形呢！”
学生发现自己的想法和数学家一样，积极的情感体验带来深刻的自我认同，“我能行”在学生的心中生根发芽！
启示
数学课程标准在“前言”部分提及：数学是人类文化的重要组成部分。作为人类文化的数学，应该充分挖掘数学在产生、发展、丰富、壮大的过程中人们所经历的曲折过程、突破常规的超越、伟大的创造等精髓。让学生像过去的人们、像数学家那样去经历数学的发生、发展过程，会让学生更多地体会到数学的“温情”、传奇、美妙与伟大，这样的数学学习才会印象深刻，令人难忘。
当然，数学文化具有丰富的内涵和多样的姿态，用张齐华老师的话说，就是“探索过程中的执着与坚韧，论证过程中的务实与谨严，数学规则推导过程中的理智与自律，数学创造过程中的开拓与超越，甚至于耐心、责任感、敬业品质、民主精神等都具有独特的‘教化’功能，正是这些，见证着数学更为深沉的文化力量，使数学可以超越知识本身，找寻到更为朴素、更为丰富，也更为动人的内涵”。
有人说，文化的内核是“化人”。用文化的养分滋养数学课堂，文化熏陶终究会转化为文化自觉，让每一个孩子既成为文化的守护者，还成为文化的创造者。
（责编 金 铃）
[关键词]数学学习 数学文化 三角形面积计算
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-008
著名特级教师张乃达先生认为，“数学是在数学文化背景下的思维活动”，“思维与文化，集中地体现了数学教育在提高学生素质教育中的两项要素，所以也是现代数学教育的两个重要方面”。个人以为，作为数学教育的两翼，思维与文化并不是分离的，而是有机统一体——文化靠思维来打造和提炼，思维就在文化中，思维是数学文化的重要组成部分。本文以“三角形面积计算”为例，谈谈自己在这方面的思考与实践。
研读
多年来，小学教材中关于图形面积计算的学习，有一个比较稳定的逻辑顺序：长方形面积计算——平行四边形面积计算——三角形面积计算——梯形面积计算——圆面积计算。“三角形面积计算”是这个链条的中间环节，因而教材编排思路是用“两个完全一样的三角形”拼成一个平行四边形，三角形的底等同于平行四边形的底，高等同于平行四边形的高，面积等同于平行四边形面积的一半，从而推导出三角形面积计算公式。这样的编排，体现了循序渐进、螺旋上升、新知建立在旧知之上的科学原理。
考虑到学生的认知规律，为更好地体现图形直观的新课改理念，现行教材从一年级下册开始，对两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形或者一个平行四边形能分成两个完全一样的三角形进行了多次铺垫（图1为苏教版二年级上册“平行四边形的初步认识”中的习题），以期学生能从平行四边形面积推导时的“割补”顺畅地转换到凭空再借一个一样的三角形来“拼”。
图1
客观地讲，教材中的这种变化基本上还是在原有的编排框架之中把“戏份”做得更加充分而已，但只增加了“长度”而未能增加“厚度”。
思考
翻开厚厚的数学发展史，我们发现，多边形的面积计算都来自对土地的测量。譬如古埃及的纸草的第三部分讲述了如何确定正方形、矩形、三角形、梯形以及能分割成这些形状的图形的土地面积。随后，人们又发现任意的多边形可以分割成多个三角形来求出面积。正因为土地的形状不太可能出现平行四边形，所以在历史上，起初的三角形的面积计算压根就和平行四边形无关。显然，教材的安排是出于对学生认知难度考虑而作出的一种优化，而优化往往忽略了发展的曲折。
再从数学自身发展中挖掘这一内容的學科魅力。数学家发现三角形面积计算公式后，有个难题摆在了前面：“不知道三角形高的情况下怎么求三角形的面积。”而海伦公式的发现解决了这个难题（注：利用三角形三条边的长度来求三角形的面积）。很明显，如果不按照教材设置的指向，而是让学生像数学家一样思考、争论、探索，那学习是不是有另一番风景呢？但是，在课堂重现历史发展的脚步，还原三角形面积计算的另一种推导，无论从自主发展，还是多种方法的创新思维来说，都是有价值的，同时也是有难度的。
以往的教学经验告诉我们，学生在没有自习书本的情况下，受前一课平行四边形面积计算公式推导的影响，还是能想到“割”的，但往往想不到怎么去“割”。有个以往无法避免的难点在于小学五年级的学生还不知道什么是“中点”。
他山之石可以攻玉！《小学教学参考》2015第4期查人韵老师的尝试给了我灵感的火花。从图2可以看出，借助方格图，可以绕过“中点”这个坑，从而顺利还原古人的思路，从而实现真正多角度的自主探究。
实践
我的教学分三个板块进行。
第一板块“开门见山”，提问“三角形的面积可能和哪个图形有联系？”由于有上一课的经验，学生很容易回答出“长方形或平行四边形”。先规定探究方向，节省时间。
第二板块直接出示先学单（格子图上有3种三角形：底4高6的直角三角形，底6高4的等腰三角形，底6高5的一般三角形，每种图形有三个，期待每个学生有不同的方法），让学生探究三角形的面积是多少。
在开放的探究环境中，真正地体现了思维的差异，方法的多样。数格子的学生在真心实意地数格子，而不是教师指点的“还可以数格子”;对于直角三角形，有学生一下子想到了“拼成一个长方形”……因为借助了格子图，学生直观的思维能力得到了充分地应用，精彩的想法远远超过了教师的预期。可以说，这里的转化来自学生的直觉判断，并不严谨，但是却飘逸灵动。
探究后全班交流：1.自评互评，这个方法好在哪里，不好在哪里？引导横向比较，发现优点和不足。2.比较算式，为什么有4×6÷2，又有3×4？怎么看上去算式不一样？创设困惑，让学生发现一般的公式，其实3×4就是6÷2×4，虽然看起来不一样，但本质是一样的。因为有了充分的探究，学生真正是带着自己的思考，聆听别人的想法，合作探究完全不是“做做样子”。
第三板块介绍“刘徽著《九章算术》中三角形面积的图例（如图3）”，指出：“我们比数学家更厉害，不仅解决了等腰三角形的面积问题，还推广到了一般三角形呢！”
学生发现自己的想法和数学家一样，积极的情感体验带来深刻的自我认同，“我能行”在学生的心中生根发芽！
启示
数学课程标准在“前言”部分提及：数学是人类文化的重要组成部分。作为人类文化的数学，应该充分挖掘数学在产生、发展、丰富、壮大的过程中人们所经历的曲折过程、突破常规的超越、伟大的创造等精髓。让学生像过去的人们、像数学家那样去经历数学的发生、发展过程，会让学生更多地体会到数学的“温情”、传奇、美妙与伟大，这样的数学学习才会印象深刻，令人难忘。
当然，数学文化具有丰富的内涵和多样的姿态，用张齐华老师的话说，就是“探索过程中的执着与坚韧，论证过程中的务实与谨严，数学规则推导过程中的理智与自律，数学创造过程中的开拓与超越，甚至于耐心、责任感、敬业品质、民主精神等都具有独特的‘教化’功能，正是这些，见证着数学更为深沉的文化力量，使数学可以超越知识本身，找寻到更为朴素、更为丰富，也更为动人的内涵”。
有人说，文化的内核是“化人”。用文化的养分滋养数学课堂，文化熏陶终究会转化为文化自觉，让每一个孩子既成为文化的守护者，还成为文化的创造者。
（责编 金 铃）