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《数学》“2011年版课标”指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。”在这里把用图形描述事物和分析问题解读为几何直观，除了传承过去用直观图表示生活现象和呈现数量关系以外，我们认为还包括了如下一些数学教育性的意义。
一、几何直观是一种国际化视野
在当前提倡个性化和国际化的多元社会背景中，国际社会的日常交往除了需要特殊的产品创造和个性化文化特征的相互欣赏与借鉴外，更多的还要寻找利益的互惠和群落的共生。营造和谐安全的国际生存空间和丰富繁荣的文化交流氛围，是世界人民的共同愿望。我们的数学教育也就需要有这样的意识和策略。如果我们的数学教育过多的只关注人类的个性化，就会造成“我懂你不懂”的现象，在网络化的读图时代就不能迅速获得新信息，研究新问题，从而造成认识产品的落后现象。
目前，很多产品的说明书、许多领域的学术交流等，除了沿用过去的把各国文字印刷上去以外，更多的做法是用图形标注与说明。这样就能使识字和不识字的人都能尽量多把握一些信息，尽快掌握产品使用方法，加快对研究问题的交流。
比如一张学术报告图片和一张路由器说明书，将事件或者结构简洁清晰地展现在读者面前。如果单靠文字说明，无论用哪国语言，都无法做到全面、清晰和快速传递信息。
在日常教学中，比如介绍关于加法的意义，中文说：“Ba liang ge shu he bing cheng yi ge shu de yun suan.(把两个数合并为一个数的运算)。”英文说：“The two numbers are combined into a number of operations.”韩语说：“■ ■.”日语说：“つの数を合併して１つの数の演算.”这样的语音或者文字式的解释，只要从一个国家到另一个国家，或者一个民族到另一个民族，就很难让人互相听懂，更不要说明白其内涵。但是，运用几何直观思想，采用图形或者符号（如图2），就很容易沟通或者理解其含义。
因此，数学上运用图文互补的教育，不仅是一种技术手段或者教学策略，而且是一种开放化的胸怀和国际化的视野。
二、几何直观是一种数学化思维
蒋文蔚先生指出：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。”这给了人们一种理念上的拓展，即几何直观不只是事物的形象化呈现和形式化演示，而是上升为一种思维方式。在数学学习和运用的过程中，几何直观具有非常重要的价值。“新课标”指出：“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”
我们认为，从思维的角度认识几何直观价值主要有两个，一是数学的几何化抽象，二是数学模型化抽象。因为必须运用几何直观的思维方式，才可以通过数学抽象的方式建立起事物之间的真实联系。如点动成线、线动成面和面动成体的运动几何现象，很多人理解起来很成问题。学生大多数不会累积思考图形运动过程。教学点动成线的时候，如果我们让学生从近处看一辆汽车行驶，再让他从远处看一辆汽车行驶，他会有一种什么样的感觉呢？学生就会说：汽车小得像蚂蚁，一丁点儿大了。这样学生会对点的运动建立直观联系，然后联想到一个点的东西照样会运动，甚至很快地运动。因而，教师可以让学生用笔尖点在白纸上将其像看到的汽车行驶一样的移动起来，就会看到运动的路线。汽车跑过就过了，但是运动路线却可以通过画图的形式把路线记录下来。
我们在医院看心电图、脑电图，发现都是运用精密仪器记录的大脑和心脏的电流运动情况。如果单凭想象，谁也无法瞬间凭感觉了解这些情况的。这些常识，在科技领域里运用很广泛，但是要普及到一般的中小学生，就需要用数学抽象的方法才能实现。
数学的模型化抽象，很大程度上都是指概念性的认识。过去我们讲了很多关于数形结合的思想，今天来看就与几何化的数学模型抽象有关。比如有关整数、小数和分数等模型的建立，往往采用几何化抽象来建立。
一千二百四十三 八分之三 零点一和零点零五
几何图形的认识，也需必要的典型化抽象。比如：直线的平行与垂直的关系建立，很大程度上依赖几何化的线性抽象（如图7）。
学生通过这样数学化认知，建立起抽象的数和形的几何性概念模型，才可以借助它们进行逻辑性的判断与推理。
三、几何直观是一种哲学化策略
由于人类历史上信息传播在视觉直观上比较困难，人们长期认为思维是纯抽象的，是以语言文字为载体的内心活动。很多学者认为，人类思维必须借助语言和文字才能实现，在教学中表现为即使学生不出声地对文章进行默读，人脑的神经系统也会以语言为载体接受、存储、调集、判断、反馈庞大的信息流。这种认识导致了我国数学教育大量的以听、抄、背为主的学习方式，将实践、探究、合作的学习方式和经历、体验等数学学习活动拒之门外。
现在，随着影视技术和多媒体技术的介入，在网络、出版和教学方面，以直观性为主的读图时代已经到来。大型展演、高速交流和海量学习，都需要快速度阅读和直观性浏览。过去那种对文字精品细读和字斟句酌的阅读习惯逐渐受到大容量和高速度信息的威胁。因此，我们的数学教育需要一个将人们的认知方式从哲学层面把思维方式来一个图形化的提升，即过去以读文字和听语音信息吸纳方式扩展到语言、文字和图形并行的多元信息吸纳方式，以适应当前乃至今后一段时期的学习需要。
如今很多学生认为数学难学，常常产生厌学情绪，很大程度上就是因为我们数学教育中的信息传播方式不适应学生认知习惯。因为目前的影视技术和网络、多媒体技术的介入，直观阅读和直观思维，占据了学生的大部分头脑。因此，《数学》“2011年版课标”指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”这里明确告诉我们，数学教育也需要具有几何意义的直观化。因此，我们在备课时，除了考虑数学问题生活化的时候，不要忘记数学问题需要带有几何元素的直观化思考。（作者单位：四川省成都市龙泉驿区教育研究培训中心）■
一、几何直观是一种国际化视野
在当前提倡个性化和国际化的多元社会背景中，国际社会的日常交往除了需要特殊的产品创造和个性化文化特征的相互欣赏与借鉴外，更多的还要寻找利益的互惠和群落的共生。营造和谐安全的国际生存空间和丰富繁荣的文化交流氛围，是世界人民的共同愿望。我们的数学教育也就需要有这样的意识和策略。如果我们的数学教育过多的只关注人类的个性化，就会造成“我懂你不懂”的现象，在网络化的读图时代就不能迅速获得新信息，研究新问题，从而造成认识产品的落后现象。
目前，很多产品的说明书、许多领域的学术交流等，除了沿用过去的把各国文字印刷上去以外，更多的做法是用图形标注与说明。这样就能使识字和不识字的人都能尽量多把握一些信息，尽快掌握产品使用方法，加快对研究问题的交流。
比如一张学术报告图片和一张路由器说明书，将事件或者结构简洁清晰地展现在读者面前。如果单靠文字说明，无论用哪国语言，都无法做到全面、清晰和快速传递信息。
在日常教学中，比如介绍关于加法的意义，中文说：“Ba liang ge shu he bing cheng yi ge shu de yun suan.(把两个数合并为一个数的运算)。”英文说：“The two numbers are combined into a number of operations.”韩语说：“■ ■.”日语说：“つの数を合併して１つの数の演算.”这样的语音或者文字式的解释，只要从一个国家到另一个国家，或者一个民族到另一个民族，就很难让人互相听懂，更不要说明白其内涵。但是，运用几何直观思想，采用图形或者符号（如图2），就很容易沟通或者理解其含义。
因此，数学上运用图文互补的教育，不仅是一种技术手段或者教学策略，而且是一种开放化的胸怀和国际化的视野。
二、几何直观是一种数学化思维
蒋文蔚先生指出：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。”这给了人们一种理念上的拓展，即几何直观不只是事物的形象化呈现和形式化演示，而是上升为一种思维方式。在数学学习和运用的过程中，几何直观具有非常重要的价值。“新课标”指出：“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”
我们认为，从思维的角度认识几何直观价值主要有两个，一是数学的几何化抽象，二是数学模型化抽象。因为必须运用几何直观的思维方式，才可以通过数学抽象的方式建立起事物之间的真实联系。如点动成线、线动成面和面动成体的运动几何现象，很多人理解起来很成问题。学生大多数不会累积思考图形运动过程。教学点动成线的时候，如果我们让学生从近处看一辆汽车行驶，再让他从远处看一辆汽车行驶，他会有一种什么样的感觉呢？学生就会说：汽车小得像蚂蚁，一丁点儿大了。这样学生会对点的运动建立直观联系，然后联想到一个点的东西照样会运动，甚至很快地运动。因而，教师可以让学生用笔尖点在白纸上将其像看到的汽车行驶一样的移动起来，就会看到运动的路线。汽车跑过就过了，但是运动路线却可以通过画图的形式把路线记录下来。
我们在医院看心电图、脑电图，发现都是运用精密仪器记录的大脑和心脏的电流运动情况。如果单凭想象，谁也无法瞬间凭感觉了解这些情况的。这些常识，在科技领域里运用很广泛，但是要普及到一般的中小学生，就需要用数学抽象的方法才能实现。
数学的模型化抽象，很大程度上都是指概念性的认识。过去我们讲了很多关于数形结合的思想，今天来看就与几何化的数学模型抽象有关。比如有关整数、小数和分数等模型的建立，往往采用几何化抽象来建立。
一千二百四十三 八分之三 零点一和零点零五
几何图形的认识，也需必要的典型化抽象。比如：直线的平行与垂直的关系建立，很大程度上依赖几何化的线性抽象（如图7）。
学生通过这样数学化认知，建立起抽象的数和形的几何性概念模型，才可以借助它们进行逻辑性的判断与推理。
三、几何直观是一种哲学化策略
由于人类历史上信息传播在视觉直观上比较困难，人们长期认为思维是纯抽象的，是以语言文字为载体的内心活动。很多学者认为，人类思维必须借助语言和文字才能实现，在教学中表现为即使学生不出声地对文章进行默读，人脑的神经系统也会以语言为载体接受、存储、调集、判断、反馈庞大的信息流。这种认识导致了我国数学教育大量的以听、抄、背为主的学习方式，将实践、探究、合作的学习方式和经历、体验等数学学习活动拒之门外。
现在，随着影视技术和多媒体技术的介入，在网络、出版和教学方面，以直观性为主的读图时代已经到来。大型展演、高速交流和海量学习，都需要快速度阅读和直观性浏览。过去那种对文字精品细读和字斟句酌的阅读习惯逐渐受到大容量和高速度信息的威胁。因此，我们的数学教育需要一个将人们的认知方式从哲学层面把思维方式来一个图形化的提升，即过去以读文字和听语音信息吸纳方式扩展到语言、文字和图形并行的多元信息吸纳方式，以适应当前乃至今后一段时期的学习需要。
如今很多学生认为数学难学，常常产生厌学情绪，很大程度上就是因为我们数学教育中的信息传播方式不适应学生认知习惯。因为目前的影视技术和网络、多媒体技术的介入，直观阅读和直观思维，占据了学生的大部分头脑。因此，《数学》“2011年版课标”指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”这里明确告诉我们，数学教育也需要具有几何意义的直观化。因此，我们在备课时，除了考虑数学问题生活化的时候，不要忘记数学问题需要带有几何元素的直观化思考。（作者单位：四川省成都市龙泉驿区教育研究培训中心）■