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伽利略在研究自由落体运动时遇到了一个问题：速度的变化怎样才算“均匀”?他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，另一种是速度的变化对位移来说是均匀的,伽利略猜想前者的运动规律更为简单.然后通过实验与逻辑推理得出速度与时间成正比，即加速度恒定，就是匀变速直线运动.高中物理中还出现了很多变加速直线运动问题，深入研究变加速直线运动问题通常要运用微积分知识，高中数学课并没有教微积分，只介绍了导数，求导就是积分的逆运算.本文将在高中数学范围内利用导数运算讨论三类常见的变加速直线运动问题.
1导数的物理意义
在数学上，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数，记做f ′(x)，也是函数f(x)图象在x=x0处的切线的斜率.高中生要掌握基本导数公式、导数的四则运算法则，应用导数求斜率、函数增减性的方法.高中物理中经常研究物理量的变化率，也就是其导数.其中一类是物理量对时间的导数，如位移对时间的一阶导数表示速度；速度对时间的一阶导数表示加速度，那么加速度就是位移对时间的二阶导数.如果速度的变化对时间是均匀的，那么速度对时间的导数是常数；如果速度的变化对位移是均匀的，那么速度对位移的导数是常数.另一类是物理量对位移的导数，如功对位移的导数就是力，电势对位移的导数是场强.
高中物理中多处出现了变加速直线运动的问题，在教学上通常要求学生能定性分析这类问题中质点运动的速度或加速度随时间变化的关系，并确定最终的状态.考虑到高中生的数学能力，如果涉及此类问题的定量计算，一般也能采用特殊方法计算特定的物理量，不要求用函数对整个运动过程做详细描述.
牛顿力学认为，一个系统的初始状态一旦确定，此后的运动过程就必然确定了.用高中生所学的导数运算也能建立变加速直线运动问题中位移、速度和加速度随时间(或位移)变化的函数关系式.如质点运动的加速度a=kt(k为常数，且k≠0)，因为kt22 b的导数是kt，所以速度v=kt22 b，根据初速度可确定常数b.又因为kt36 bt c的导数是kt22 b，所以位移x=kt36 bt c，根据初位移可确定常数c.下面用此方法来分析三类常见的变加速直线运动问题.
2加速度a=kv b(k、b为常数，且k≠0)问题的求解
例题1如图1所示，假设质量为250 kg的赛艇在水中航行时受到的总阻力与它的速度成正比，赛艇受恒定的牵引力由静止开始加速，当赛艇速度为v1=5 m/s时加速度为4 m/s2，赛艇能达到的最大速度为v2=10 m/s.求赛艇的牵引力?
由于赛艇在水中航行时受到的总阻力与它的速度成正比，可设阻力系数c，再设牵引力为F，可建立方程组：F-cv1=ma；F-cv2=0,解得牵引力F=2000 N，阻力系数c=200 Ns/m.下面研究赛艇运动过程中速度和加速度随时间变化的函数关系.
这一问题中赛艇加速度a=F-cvm随速度均匀变化，即加速度a=kv b，(k、b为常数，k≠0).设速度为时间的函数：v=f(t)，则加速度a=f ′(t)=kf(t) b.在基本导数公式表中只有函数(sx)′=sxlns (s为常数)，对应k=lns，b=0的情况.所以可设v=k1sk2t k3，根据边界条件t=0时速度为0，t→∞时v=10 m/s可得k1=-10，k3=10，那么v=-10sk2t 10，再对其求导得加速度a=v′=-10k2sk2tlns，再根据边界条件t=0时加速度为a=Fm=8 m/s2,可得k2=-4/5lns.所以得v=-10s-4t/5lns 10，a=8s-4t/5lns，同样方法可得位移x=25s-4t/5lns2 10t-252.在赛艇加速阶段的某时刻，如果知道位移、速度或加速度中的任意一个量就可以确定常数s，这样赛艇的运动情况就完全清楚了.还有一些物理量的变化规律也满足此类函数，如导体棒在安培力作用下的速度和加速度变化规律，电容器充电时电量随时间的变化规律.
3加速度a=kx b(k、b为常数，且k≠0)问题的求解
例题2(第29届全国中学生物理竞赛)设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的均质正方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触.已知湖水的密度为ρ；物块边长为b，密度为ρ′,且ρ′<ρ.在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需时间.
我们先来讨论弹簧振子的周期公式.假设一水平弹簧振子模型，小球质量为m，轻弹簧劲度系数为k，振幅为A，如何用导数求简谐振动的周期呢？
这一模型中小球的加速度随位移均匀变化，即加速度为a=-kx/m (k、b为常数，且k≠0).设离开平衡位置的位移为时间的函数x=f(t)，则加速度为其二阶导数a=f ″(t)=-kf(t)/m，在基本导数公式中有函数(sx)″=sx和(sinx)″=-sinx，但前者不符合边界条件与周期性.所以可设x=Asin(ωt φ)，根据边界条件t=0时位移x=A，得φ=π/2，x=Asin(ωt π/2).得速度x=Aωcos(ωt π/2)，加速度a=-Aω2sin(ωt π/2)=-kf(t)/m，得ω=k/m，所以周期T=2πm/k，与振幅无关.单摆的周期公式也可用此推导.
例题2中正方体物体的运动与弹簧振子同为简谐振动，等效劲度系数k=F/x=ρb2xg/x=ρb2g，所以振动周期为T=2πρ′b/ρg.此题还有正方体物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下的情况，此处不做讨论.
利用高中生熟悉的导数运算研究变加速直线运动的问题，得到了位移、速度和加速度随时间(或位移)变化的关系式，让学生对这类问题的认识从定性上升到了定量.在教学中适时介绍一点导数在物理中的应用有助于学生对物理概念的深刻认识，增强学生应用数学处理物理问题的能力.同时让学生认识了物理与数学的紧密联系，激发了学生学习物理和数学的兴趣.
1导数的物理意义
在数学上，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数，记做f ′(x)，也是函数f(x)图象在x=x0处的切线的斜率.高中生要掌握基本导数公式、导数的四则运算法则，应用导数求斜率、函数增减性的方法.高中物理中经常研究物理量的变化率，也就是其导数.其中一类是物理量对时间的导数，如位移对时间的一阶导数表示速度；速度对时间的一阶导数表示加速度，那么加速度就是位移对时间的二阶导数.如果速度的变化对时间是均匀的，那么速度对时间的导数是常数；如果速度的变化对位移是均匀的，那么速度对位移的导数是常数.另一类是物理量对位移的导数，如功对位移的导数就是力，电势对位移的导数是场强.
高中物理中多处出现了变加速直线运动的问题，在教学上通常要求学生能定性分析这类问题中质点运动的速度或加速度随时间变化的关系，并确定最终的状态.考虑到高中生的数学能力，如果涉及此类问题的定量计算，一般也能采用特殊方法计算特定的物理量，不要求用函数对整个运动过程做详细描述.
牛顿力学认为，一个系统的初始状态一旦确定，此后的运动过程就必然确定了.用高中生所学的导数运算也能建立变加速直线运动问题中位移、速度和加速度随时间(或位移)变化的函数关系式.如质点运动的加速度a=kt(k为常数，且k≠0)，因为kt22 b的导数是kt，所以速度v=kt22 b，根据初速度可确定常数b.又因为kt36 bt c的导数是kt22 b，所以位移x=kt36 bt c，根据初位移可确定常数c.下面用此方法来分析三类常见的变加速直线运动问题.
2加速度a=kv b(k、b为常数，且k≠0)问题的求解
例题1如图1所示，假设质量为250 kg的赛艇在水中航行时受到的总阻力与它的速度成正比，赛艇受恒定的牵引力由静止开始加速，当赛艇速度为v1=5 m/s时加速度为4 m/s2，赛艇能达到的最大速度为v2=10 m/s.求赛艇的牵引力?
由于赛艇在水中航行时受到的总阻力与它的速度成正比，可设阻力系数c，再设牵引力为F，可建立方程组：F-cv1=ma；F-cv2=0,解得牵引力F=2000 N，阻力系数c=200 Ns/m.下面研究赛艇运动过程中速度和加速度随时间变化的函数关系.
这一问题中赛艇加速度a=F-cvm随速度均匀变化，即加速度a=kv b，(k、b为常数，k≠0).设速度为时间的函数：v=f(t)，则加速度a=f ′(t)=kf(t) b.在基本导数公式表中只有函数(sx)′=sxlns (s为常数)，对应k=lns，b=0的情况.所以可设v=k1sk2t k3，根据边界条件t=0时速度为0，t→∞时v=10 m/s可得k1=-10，k3=10，那么v=-10sk2t 10，再对其求导得加速度a=v′=-10k2sk2tlns，再根据边界条件t=0时加速度为a=Fm=8 m/s2,可得k2=-4/5lns.所以得v=-10s-4t/5lns 10，a=8s-4t/5lns，同样方法可得位移x=25s-4t/5lns2 10t-252.在赛艇加速阶段的某时刻，如果知道位移、速度或加速度中的任意一个量就可以确定常数s，这样赛艇的运动情况就完全清楚了.还有一些物理量的变化规律也满足此类函数，如导体棒在安培力作用下的速度和加速度变化规律，电容器充电时电量随时间的变化规律.
3加速度a=kx b(k、b为常数，且k≠0)问题的求解
例题2(第29届全国中学生物理竞赛)设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的均质正方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触.已知湖水的密度为ρ；物块边长为b，密度为ρ′,且ρ′<ρ.在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需时间.
我们先来讨论弹簧振子的周期公式.假设一水平弹簧振子模型，小球质量为m，轻弹簧劲度系数为k，振幅为A，如何用导数求简谐振动的周期呢？
这一模型中小球的加速度随位移均匀变化，即加速度为a=-kx/m (k、b为常数，且k≠0).设离开平衡位置的位移为时间的函数x=f(t)，则加速度为其二阶导数a=f ″(t)=-kf(t)/m，在基本导数公式中有函数(sx)″=sx和(sinx)″=-sinx，但前者不符合边界条件与周期性.所以可设x=Asin(ωt φ)，根据边界条件t=0时位移x=A，得φ=π/2，x=Asin(ωt π/2).得速度x=Aωcos(ωt π/2)，加速度a=-Aω2sin(ωt π/2)=-kf(t)/m，得ω=k/m，所以周期T=2πm/k，与振幅无关.单摆的周期公式也可用此推导.
例题2中正方体物体的运动与弹簧振子同为简谐振动，等效劲度系数k=F/x=ρb2xg/x=ρb2g，所以振动周期为T=2πρ′b/ρg.此题还有正方体物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下的情况，此处不做讨论.
利用高中生熟悉的导数运算研究变加速直线运动的问题，得到了位移、速度和加速度随时间(或位移)变化的关系式，让学生对这类问题的认识从定性上升到了定量.在教学中适时介绍一点导数在物理中的应用有助于学生对物理概念的深刻认识，增强学生应用数学处理物理问题的能力.同时让学生认识了物理与数学的紧密联系，激发了学生学习物理和数学的兴趣.