中图分类号:G633.6文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2010)05-130-01
　　
　　现行高中数学课本中,一般都是给出椭圆、双曲线两种定义,即
　　椭圆定义1:平面内与两定点F1,F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
　　双曲线定义1:平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
　　椭圆定义2:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e( )的点的轨迹叫做椭圆。
　　双曲线定义2:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e( )的点的轨迹叫做双曲线。
　　其实椭圆双曲线还其它定义,本文列举几种,以加深读者对这两种二次曲线认识,更深刻地体会这两个数学概念的本质属性。(下文都是在平面内讨论问题)
　　命题1:设动点P到点F1,F2的距离分别为
　　=2c
　　1°若存在常数b,满足 =b,则P的轨迹是椭圆,F1,F2是两个焦点,
　　2°若存在常数b ,满足 ,则P的轨迹是双曲线, F1,F2是两个焦点。
　　证:以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1,F2的中点为坐标原点建立直角坐标系,则可设。
　　在△F1PF2中由余弦定理得,
　　
　　∴
　　即
　　∵ =b
　　∴ 为定值,即P到F1,F2的距离之和为定值,由椭圆定义1, 知P点轨迹是椭圆,F1,F2是焦点。
　　至此已证1°;
　　仿1°可证2°,故我们可给出:
　　椭圆的定义3:设动点P到点F1,F2的距离分别为
　　若存在常数b,满足 =b ,则P点的轨迹叫做椭圆,F1,F2叫椭圆两个焦点。
　　双曲线定义3:设动点P到定点F1,F2的距离分别为
　　=2c
　　若存在常数b ,满足 ,则P的轨迹叫做双曲线, F1,F2叫双曲线两个焦点。
　　命题2: 设A,B为坐标平面内两定点,C为动点,
　　 ,则当时p0,C点的轨迹(包括A,B两点)是一椭圆,当时,C点的轨迹(包括A,B两点)是一双曲线。
　　证:设 则由题意可得
　　整理得:
　　
　　故p0时,C的轨迹为椭圆;p0时,C的轨迹为双曲线。
　　于是我们还可以给出
　　椭圆,双曲线的定义4:设A,B为坐标平面内两定点,C为动点,(p为常数且),则当时,C点的轨迹(包括A,B两点)叫做椭圆,特别地p=-1时,C点的轨迹叫圆;则当时,C点的轨迹(包括A,B两点)叫做双曲线,特别地p=1时,C点的轨迹叫等轴双曲线。
　　命题3:设A,B为定点,C为动点,C在直线AB上的射影为D,存在常数p0 ,使得,若D都在线段AB内(包括AB两端点),则C点的轨迹是椭圆;若D不在线段AB内(包括AB两端点),则C点的轨迹是双曲线
　　证设A(-a,0),B(a,0), C(x,y),
　　当-a≤x≤a时,
　　由 可知
　　整理得此时C点的轨迹为椭圆当
　　或时,
　　由 可知 或
　　两种情形都有整理得: , 此时C点的轨迹为双曲线
　　椭圆,双曲线的定义5:设A,B为定点,C为定点,C在直线AB上的射影为D,存在常数,p0使得 ,若D都在线段AB内(包括AB两端点),则C点的轨迹叫做椭圆,特别地p=-1时,C的轨迹叫圆,若D不在线段AB内,则C点的轨迹叫做双曲线,特别地p=1时C点的轨迹叫做等轴双曲线。
　　命题4:若⊙O1在⊙O2内,且无公共点,且⊙O1与⊙O2无公共点,则与⊙O1,⊙O2中一外切一个内切的圆的圆心的轨迹是一个椭圆,O1,O2为椭圆的两个焦点。
　　证:设⊙O1的半径为R1,⊙O2的半径为R2,C(x,y) 为的轨迹上任一点,设⊙C的半径为R,则⊙C必⊙O1与外切,与⊙O2内切,故
　　∴为定值。
　　故由椭圆的定义1知,轨迹C为椭圆,为其两焦点。于是有
　　椭圆的定义6: 设⊙O1在⊙O2内部且两无公共点,则与⊙O1,⊙O2中一个外切一个内切的圆的圆心的轨迹是椭圆,O1,O2称其两个焦点。特别地,若⊙O1与⊙O2同心,则C的轨迹是圆。
　　命题5:若⊙O1在⊙O2内部,且两圆无公共点,则与⊙O1,⊙O2都内切的圆的圆心的轨迹是椭圆,O1,O2是它的两个焦点。