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[摘 要]教学活动都是基于一定的材料展开的，当材料为学生的学习提供了很好的支持时，就具有了学材的意义。教师要结合教学实例，较为全面地阐释从“素材”到“教材”，从“教材”到“学材”，从“学材”到“学堂”的变换逻辑，探寻小学数学学材开发的价值，以此指导实践。
[关键词]教材 学材 数学 重构
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）26-003
学校每周有一次教研组活动，五年级的小周老师执教《圆的周长》。上课铃响后，小周老师出示圆形茶杯盖。
师：这个圆形的周长在哪里？谁能上来指一指？（一生上台指）
师：如何知道这个圆的周长是多少？
生1：用棉线绕茶杯盖一圈，拉直棉线在直尺上量一下就知道了。
师：很聪明的办法。其他人还有不同办法吗？
生2：把茶杯盖直接放在直尺上滚一周，就能量出周长。
师：这也是一个聪明的办法。
生3：老师，他们的办法书上都有，不是他们自己想出来的。
学生突如其来的“告状”，让老师有点尴尬，他略带责备地说：“这说明他们课前认真预习了，要向他们学习才对。”
接着，老师让大家拿出事先准备好的三个大小不同的圆形纸片，先量出每个圆的直径，再用自己喜欢的方法量出每个圆的周长，用周长除以直径，看看有什么发现。大家都在忙，一个学生端坐不动。集中交流时，他的手举得最高，老师示意他回答。
生4：我发现圆的周长总是它直径的3倍多一些。
生5：老师，他没有量，更没有算，他是照着书上说的。
老师又一次陷入尴尬……
到了评课研课环节，老师们不约而同聚焦到课上两个尴尬场景，都说在自己的课堂上也经历过类似的尴尬。有的老师说从来都不要学生预习，以保留新课的神秘感。有的老师说学生自己有课本，他们自己会提前看书的，谈什么神秘。最后大家聚焦到学生手里都有的课本上，有的老师说书上明明写着“观察上面算式，看看你有什么发现”，下面紧接着就是结论。有的老师说自己挖空心思设计了精美的课件，后来还是让教材上现成的结论打垮了。预习是一个好的学习习惯，值得提倡，但课本上有现成的数学结论，学生无需动脑，无需思考，就能“发现”结论，这实际上还是传统的“填鸭式”教育，只不过变“人填”为“书填”，学生发现的仅仅是书本上现成的数学知识。缺失了真探究，没有了真思考，哪来的数学真发现？最后大家一致期盼：要是教材有疑问，有例题，不呈现结论就好了，那样学生才有真探究、真思考，才能发现自己的数学，课堂才会呈现出更多意想不到的精彩，学生的创造力才能得到更好的激发与培养。
一、从“素材”到“教材”：教材使用现状调查
学生和老师手里都有的教科书，对学生而言称之为课本，对老师而言称之为教材。教科书是课程领导、学科专家、教学名师围绕课程标准精选素材，精心改编，精致打造的，对落实课程标准的教学要求起到了积极的作用。在教学中，教科书的使用情况究竟如何呢？一线老师的评价和建议是什么？笔者为此进行了一次网络微调查。调查结果与笔者的预测惊人一致：80%以上的老师在教学新知时不要学生阅读课本；90%以上的老师在展示课上从头到尾不要学生打开课本；95%以上的老师认为数学教材编排科学严谨，绝大多数例题选用的素材，符合学生的年龄特点，具有启发性，但是教材在解题思路上引导过细，局限了学生的思维，规律、法则、公式等结论赫然在目，学生无需思考。教材的探究性、结论的神秘性丧失，对培养学生积极自主的探究能力是不利的。主要表现在以下几个方面。
1.方法越位，数学探究变得虚空
新颖的学习材料能激发学生强烈的学习热情和探究欲望，促使学生积极调动已有的知识经验，对问题作出反应与加工，从而创造性地解决问题。然而现行教材，往往在呈现问题后，有很多越位的铺垫、方法的提示、解法的引导，学生无需进行独立深入的思考，就可以按照教科书上提示的步骤进行所谓的“探究”。如学习《圆的认识》，教材上要求学生想办法画一个圆。但是课本紧接着出示的三幅图，把常用的三种画法一一呈现出来。（见下图）第一种，沿着圆形物体周边描一圈；第二种，用图钉、细线和铅笔，固定图钉，拉直细线，笔尖绕一圈，可以画出一个圆；第三种，用圆规画圆。学生不需要动脑筋、想办法，照着书上的提示去做就可以，学生的自主探究和独立思考成为一纸空文。
2.结论外显，数学发现流于形式
教材上现成的结论，让学生的数学发现流于形式。学生对新知的学习是一种“复制”型的感知过程，就是理解与不理解、懂与不懂的区别，习得的是间接经验，是书本在灌输。如《圆的认识》一课，“圆和以前学过的三角形、长方形等多边形相比，有什么相同之处？有什么不同？”本来这个问题是非常具有探索性和挑战性的，目的是让学生把现在学习的圆与之前已学的五种平面图形作对比。但是教材在问题下面赫然显示的是三个结论：圆和多边形都是平面图形；多边形由线段围成，有顶点；圆由曲线围成，没有顶点。（见下图）
面对课本给定的现成的数学结论，学生无需独立思考，严重压缩了学生的创新思维空间。如此，学生数学思维的独特性、求异性和批判性如何得到积极培养？
3.脱离生活，数学学习变得茫然
数学抽象的规律、定理、法则等知识需要借助直观具体、生动形象的现实外壳，才能落地生根，为学生理解和掌握，才能成为学生自己的数学。学生也正是在对具体形象的数学材料进行再加工、再创造的过程中实现对数学的再认识和再建构。如《圆的面积》一课中，书上呈现的例题是：一个自动旋转喷水器的最远喷水距离大约是5米，它旋转一周喷灌的面积大约是多少平方米？ 自动旋转喷水器是什么样子？喷出的水是线状还是点状？不要说学生感觉陌生，很多老师也不太清楚。这样远离学生生活经验的素材就不是一个好素材。毋庸置疑，现行教材在数学材料现实化、生活化、趣味化等方面已经作出了积极的成功改革，但很多背离现实的数学材料依然大量充斥着数学教材，我们教学时需要根据地域特点和学生生活实际创生符合学生认知的学材，调动学生积极的认知情感。
二、从“教材”到“学材”：学材开发的教育意蕴
《数学课程标准》在实施建议中强调：“创造性地使用教材，积极开发和利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。”这就要求我们转变观念，变“教材”为“学材”，让学习活起来。所谓“学材”，是基于儿童视角和立场，对以教材为主的教学资源进行再创造的材料，是教师依据自己的学科理解和教学风格，从学生已有的认知出发，对教学资源进行开掘、整合、拓展后形成的适合学生自主学习的材料。学材是人与知识对话的纽带，是“文本课程”向“体验课程”转化的新媒介。
有了学材视角，就能弱化教材“法定知识”的权威，从教师“教教材”转变为教师“用教材”教，学生“用学材”学，以学生的发展为目标，加强学材与学生世界的联系，引导学生由“被动学”转变为“主动求知”，以唤起学生学习的主动性为最终目标。那学材开发的教育意蕴何在？
1.凸显开放性的学材观
学生的学习材料应该是开放的，是学生实践的直接经验和书本的间接经验整合的结果。随着科学技术的发展，教学手段日趋现代化，教学内容也日新月异，所以学材不仅包括现有的教科书，还包括各种配套视听教材，各类指导书和补充读物，以及其他教学辅助用具及教学程序软件包等。
2.凸显发现式的教学观
弗赖登塔尔曾说：“泄露一个可以由学生自己发现的‘秘密’，那是‘坏’的教学方法，甚至是罪恶。”从本质上讲，当前大多数版本的教材编写基调还是“接受式学习”，而不是“发现式学习”。体现探究性发现学习的学材，应该有大量留白，用开放的呈现方式，让学生在互动对话中做数学，用数学。所有的结论性的规律、法则、定理、性质、公式，以及探究解决问题的方法，不在学材上呈现，给学生留有100%的思考、探究空间。这些数学结论在教师使用的教材上呈现。学材上辅助一些认知框架提示语，如“对于××，我已经知道了什么？”“在生活中，哪些地方我曾经见过？”“我的设想”“我的发现”“我的解题过程”等，课本上没有方法暗示，没有现成答案，其过程要求学生自己来完成，因而课本既是预设的，又是生成的，是把课本与学生的笔记合二为一的个性化的产品，让学生在预习过程中或学习过程中“DIY”，生成个性化的课本。
3.凸显主体化的学生观
学生是真正的学习主体，一节课的优劣不是看教师教得多精彩，而是看学生是否得到了充分的发展，如果学生不想学、不会学、学不好，那么无论多好的教材，无论教师讲得多精彩都是徒劳。建构主义理论认为，学习不是教师把知识简单地传授给学生的过程，而是学生自己主动建构的过程，即每个学习者都以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识、理解和编码，建构自己的知识结构。所以，开发学材时，要注意落实学生的主体地位，考虑学生原有知识与新知识的衔接与组织，寻求学生旧知与新知之间最佳发展的中间地带，力求把新知识的教学按学生的认知规律与特点组织嫁接到学生原有的经验中。
三、从“学材”到“学堂”：学材开发的实践建构
提起教室，大家就会想起，台上教师滔滔不绝，台下学生正襟危坐，课堂成为教师的讲堂。如今，教室正发生着悄然的变化：教师不再口若悬河，学生也不再唯唯诺诺，教师成为学生学习的组织者、引导者、合作者，学生善学善问，敢说敢为，课堂上经常看到学生积极展示自我，表达观点，发表见解。以儿童视角审视内容，积极与内容对话，抓其本质，掘其思想，能将学习内容以最适合学生进行主动探究学习的方式进行重组，将“以知识为中心的课本”转化为“以学习为中心的学堂”，让预设的“学材”走进现实的“学堂”。笔者结合自己的实践探索，略谈以下几种“学材”开发与“学堂”实施的方式。
1.生活型学材——返回生活世界，探寻数学本源
“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战的。”学习内容的现实性要求数学来源于生活，取材于现实，让数学学习内容有现实意义，生活根基。我们要努力开掘那些发生在学生身边的，学生非常熟悉的，同时暗含着某种数学现象或数学规律的实际问题，以此为突破口进行学材设计。如《四则混合运算》一课，笔者舍弃了教材中的“纯数学”，选择游乐园活动这一方式展开学习情境。以学生熟悉喜爱的生活情景作为背景，提出一系列的实际问题，从计算游玩时的费用，引出四则混合运算题就水到渠成了。学生围绕这一问题深入展开探讨与分析，以两积之和为载体，主动探索发现可以简化计算步骤，实现生活与数学的紧密联系，摆脱传统计算课的教学模式。显而易见，当学习内容从“科学世界”的概念状态进入“生活世界”的经验状态后，不仅能有效地激活学生思维，还能促进新信息与已有经验的整合，实现思维内化。
生活型学材取材范围广泛，教师要有效嫁接数学与生活，有效对接儿童与数学，因地制宜，因人而异，积极尝试，大胆探索，给学生源于生活的绿色环保的新鲜的数学。
2.游戏型学材——激发学习兴趣，感知数学的趣味性
马丁·加德纳说：“唤醒学生的最好方法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。”儿童视游戏为生命，游戏也是成人不可或缺的生活方式。数学游戏为学生学习数学提供了感性材料和愉悦的平台，符合儿童的年龄特征。创生开掘游戏型学材，在儿童具体形象思维和抽象数学知识之间架起一座桥梁，为他们感知数学的趣味做积极的铺垫。如一年级学习“分类”时，我创生设计了“整理书包”的游戏，让学生在整理书包的过程中，探索解决问题的思路：先把书包里的文具分类放好，初步感知简单的分类——把一样的东西放在一起。学生在操作中，自主探索发现，可按颜色分类，也可以按照形状分类，发现分类标准不一样，分类结果也不一样。在教学“圆的认识”时创生设计“投篮比赛”，课前带领学生围成长方形、正方形、等边三角形进行投篮游戏，并拍视频，课上播放视频，引发学生思考：如何设计公平公正的投篮比赛？让学生在游戏中、情境中深入思考，优化调整，解决问题。通过游戏活动，学生自主发现只有围成圆形投篮才最公平，同时学生还能感受到数学其实蛮好玩的，从而培养数学学习兴趣。 再如，学习“有余数的除法”时设计6人抢5张凳子的“抢凳子”游戏，学习“四则混合计算”时开展“巧算24点”游戏。这些都是很好的游戏型学材。
3.探究型学材——经历探究过程，发现数学规律
把学过的内容作适当拓展，突出探究性、挑战性，可以开拓学生思维，激发学习情感。如在学习了“大数的认识”后，开发数学探究课“对折的力量”。上课时，出示一张普通的A4纸，告知前提条件为“一张普通A4纸的厚度大约为0.01毫米”。接着，抛出大问题：如果把一张足够大的A4纸对折30次，它的高度有多少？先让学生猜一猜，写下自己的估算结果，再让学生动手折一折，从简单中找规律，推理发现结果。学生纷纷动手对折，发现当纸对折到第8次时，就折不动了。这时，教师启发学生回过头去，从对折次数与纸张层数之间找规律，学生探索发现，每对折一次，纸的层数是原来层数的2倍，再通过推算，发现对折30次时，所达到的高度远远超过了珠穆朗玛峰的高度，这让全班同学不敢相信。学生在一系列的数学活动中，综合应用所学知识解决数学问题，培养了数感。学生纷纷感叹道：“想不到一张白纸经过若干次对折，竟比珠穆朗玛峰还高！”“对折的力量可真大呀！”这节课让我们看到了学生对数学探究的兴趣，看到了学生在探究中的快乐，更重要的是让学生感受体验到科学的探究方法和探究精神。探究型学材开发案例还有很多，比如：（1）在平面上画20条直线，这些直线最多能形成多少个交点？（2）南京到北京之间有15个高铁站，需要印制多少种火车票？（3）有一张纸形状是长方形的，第1次把这个长方形剪开成5个长方形；第2次在5个剪成的长方形中任取一个，也剪成5个长方形；第3次再在第2次剪成的5个长方形中任取一个，也剪成5个长方形……照这样剪20次，一共有多少个长方形？（4）50边形的内角和是多少度？
4.文化型学材——渗透数学文化，感悟数学思想
学材的开发还可以结合学习内容介绍有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，使学生了解数学发展的历史，渗透数学文化，开阔视野，启迪思维。如结合五年级学习内容，我们开发了数学文化课——“数字黑洞”：任选三个不同的数字，分别组成一个最大数和最小数，求出两数之差（如果差不够三位数，用0补足），并照上面的方法不断重复运算。学生举例试算后发现一个神奇而有趣的现象：三个不同的数字，按照以上规则进行运算，最后结果都是495，无论是哪三个数字，结果都如此，仿佛掉进了495这个数字黑洞一样。接着，教师引发学生猜想：四个不同的数字，照这样的规则运算，是不是也会掉进数字黑洞呢？还是495吗？学生跃跃欲试，个个动笔举例验证，连平时听课睡觉、作业不交的人也在埋头算运。大家经历猜想和验证，发现：四个不同数字的黑洞是6174。最后，教师补充拓展：数学家们还发现了其他数字黑洞，如数字黑洞123、数字黑洞153等，让学生了解设定不同的规则，可以得出不同的数字黑洞，拓展学生的数学视野，提升学生的数学素养。
文化型学材案例，如：兔子繁殖与斐波那契数列、吝啬财主与智慧长工的翻倍问题、韩信点兵与中国剩余定理、刘徽与割圆术、祖冲之与圆周率、李白喝酒与倒推策略、印度河内塔与世界末日、高斯速算与配对求和、哥德巴赫猜想与陈景润、九宫格与洛书、杨辉三角中的规律、毕达哥拉斯定理、莫比乌斯圈等，都可以配合教学内容，开掘为学生喜爱的数学文化型学材，用以拓展学生的数学视野，帮助学生感悟数学思想和数学文化。
总之，我们要正确树立儿童立场研究儿童，用儿童视角研究数学，研究教法，努力寻找数学与儿童的最佳结合点开发学材，寻找数学知识结构和认知规律的中间地带发展儿童，体现基于儿童、为了儿童和发展儿童的生命教育哲学，给儿童既“好吃”又有“营养”的数学学材和生命化的学堂，让儿童发现自己的数学，让儿童体验好玩的数学，让儿童培植自己生长的数学，使儿童的数学学习成为他们快乐童年的重要组成部分。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 教育部.数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012（1）.
[2] 李星云.论小学数学学材的开发与运用[J].教育评论，2008（1）.
[3] 米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].成都四川教育出版社，1986.
[4] 蒋玉琴.创生学材的实践与思考[J].江苏教育，2004（7）.
[5] 波利亚.数学的发现[M].北京：科学出版社，2006.
（责编 童 夏）
[关键词]教材 学材 数学 重构
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）26-003
学校每周有一次教研组活动，五年级的小周老师执教《圆的周长》。上课铃响后，小周老师出示圆形茶杯盖。
师：这个圆形的周长在哪里？谁能上来指一指？（一生上台指）
师：如何知道这个圆的周长是多少？
生1：用棉线绕茶杯盖一圈，拉直棉线在直尺上量一下就知道了。
师：很聪明的办法。其他人还有不同办法吗？
生2：把茶杯盖直接放在直尺上滚一周，就能量出周长。
师：这也是一个聪明的办法。
生3：老师，他们的办法书上都有，不是他们自己想出来的。
学生突如其来的“告状”，让老师有点尴尬，他略带责备地说：“这说明他们课前认真预习了，要向他们学习才对。”
接着，老师让大家拿出事先准备好的三个大小不同的圆形纸片，先量出每个圆的直径，再用自己喜欢的方法量出每个圆的周长，用周长除以直径，看看有什么发现。大家都在忙，一个学生端坐不动。集中交流时，他的手举得最高，老师示意他回答。
生4：我发现圆的周长总是它直径的3倍多一些。
生5：老师，他没有量，更没有算，他是照着书上说的。
老师又一次陷入尴尬……
到了评课研课环节，老师们不约而同聚焦到课上两个尴尬场景，都说在自己的课堂上也经历过类似的尴尬。有的老师说从来都不要学生预习，以保留新课的神秘感。有的老师说学生自己有课本，他们自己会提前看书的，谈什么神秘。最后大家聚焦到学生手里都有的课本上，有的老师说书上明明写着“观察上面算式，看看你有什么发现”，下面紧接着就是结论。有的老师说自己挖空心思设计了精美的课件，后来还是让教材上现成的结论打垮了。预习是一个好的学习习惯，值得提倡，但课本上有现成的数学结论，学生无需动脑，无需思考，就能“发现”结论，这实际上还是传统的“填鸭式”教育，只不过变“人填”为“书填”，学生发现的仅仅是书本上现成的数学知识。缺失了真探究，没有了真思考，哪来的数学真发现？最后大家一致期盼：要是教材有疑问，有例题，不呈现结论就好了，那样学生才有真探究、真思考，才能发现自己的数学，课堂才会呈现出更多意想不到的精彩，学生的创造力才能得到更好的激发与培养。
一、从“素材”到“教材”：教材使用现状调查
学生和老师手里都有的教科书，对学生而言称之为课本，对老师而言称之为教材。教科书是课程领导、学科专家、教学名师围绕课程标准精选素材，精心改编，精致打造的，对落实课程标准的教学要求起到了积极的作用。在教学中，教科书的使用情况究竟如何呢？一线老师的评价和建议是什么？笔者为此进行了一次网络微调查。调查结果与笔者的预测惊人一致：80%以上的老师在教学新知时不要学生阅读课本；90%以上的老师在展示课上从头到尾不要学生打开课本；95%以上的老师认为数学教材编排科学严谨，绝大多数例题选用的素材，符合学生的年龄特点，具有启发性，但是教材在解题思路上引导过细，局限了学生的思维，规律、法则、公式等结论赫然在目，学生无需思考。教材的探究性、结论的神秘性丧失，对培养学生积极自主的探究能力是不利的。主要表现在以下几个方面。
1.方法越位，数学探究变得虚空
新颖的学习材料能激发学生强烈的学习热情和探究欲望，促使学生积极调动已有的知识经验，对问题作出反应与加工，从而创造性地解决问题。然而现行教材，往往在呈现问题后，有很多越位的铺垫、方法的提示、解法的引导，学生无需进行独立深入的思考，就可以按照教科书上提示的步骤进行所谓的“探究”。如学习《圆的认识》，教材上要求学生想办法画一个圆。但是课本紧接着出示的三幅图，把常用的三种画法一一呈现出来。（见下图）第一种，沿着圆形物体周边描一圈；第二种，用图钉、细线和铅笔，固定图钉，拉直细线，笔尖绕一圈，可以画出一个圆；第三种，用圆规画圆。学生不需要动脑筋、想办法，照着书上的提示去做就可以，学生的自主探究和独立思考成为一纸空文。
2.结论外显，数学发现流于形式
教材上现成的结论，让学生的数学发现流于形式。学生对新知的学习是一种“复制”型的感知过程，就是理解与不理解、懂与不懂的区别，习得的是间接经验，是书本在灌输。如《圆的认识》一课，“圆和以前学过的三角形、长方形等多边形相比，有什么相同之处？有什么不同？”本来这个问题是非常具有探索性和挑战性的，目的是让学生把现在学习的圆与之前已学的五种平面图形作对比。但是教材在问题下面赫然显示的是三个结论：圆和多边形都是平面图形；多边形由线段围成，有顶点；圆由曲线围成，没有顶点。（见下图）
面对课本给定的现成的数学结论，学生无需独立思考，严重压缩了学生的创新思维空间。如此，学生数学思维的独特性、求异性和批判性如何得到积极培养？
3.脱离生活，数学学习变得茫然
数学抽象的规律、定理、法则等知识需要借助直观具体、生动形象的现实外壳，才能落地生根，为学生理解和掌握，才能成为学生自己的数学。学生也正是在对具体形象的数学材料进行再加工、再创造的过程中实现对数学的再认识和再建构。如《圆的面积》一课中，书上呈现的例题是：一个自动旋转喷水器的最远喷水距离大约是5米，它旋转一周喷灌的面积大约是多少平方米？ 自动旋转喷水器是什么样子？喷出的水是线状还是点状？不要说学生感觉陌生，很多老师也不太清楚。这样远离学生生活经验的素材就不是一个好素材。毋庸置疑，现行教材在数学材料现实化、生活化、趣味化等方面已经作出了积极的成功改革，但很多背离现实的数学材料依然大量充斥着数学教材，我们教学时需要根据地域特点和学生生活实际创生符合学生认知的学材，调动学生积极的认知情感。
二、从“教材”到“学材”：学材开发的教育意蕴
《数学课程标准》在实施建议中强调：“创造性地使用教材，积极开发和利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。”这就要求我们转变观念，变“教材”为“学材”，让学习活起来。所谓“学材”，是基于儿童视角和立场，对以教材为主的教学资源进行再创造的材料，是教师依据自己的学科理解和教学风格，从学生已有的认知出发，对教学资源进行开掘、整合、拓展后形成的适合学生自主学习的材料。学材是人与知识对话的纽带，是“文本课程”向“体验课程”转化的新媒介。
有了学材视角，就能弱化教材“法定知识”的权威，从教师“教教材”转变为教师“用教材”教，学生“用学材”学，以学生的发展为目标，加强学材与学生世界的联系，引导学生由“被动学”转变为“主动求知”，以唤起学生学习的主动性为最终目标。那学材开发的教育意蕴何在？
1.凸显开放性的学材观
学生的学习材料应该是开放的，是学生实践的直接经验和书本的间接经验整合的结果。随着科学技术的发展，教学手段日趋现代化，教学内容也日新月异，所以学材不仅包括现有的教科书，还包括各种配套视听教材，各类指导书和补充读物，以及其他教学辅助用具及教学程序软件包等。
2.凸显发现式的教学观
弗赖登塔尔曾说：“泄露一个可以由学生自己发现的‘秘密’，那是‘坏’的教学方法，甚至是罪恶。”从本质上讲，当前大多数版本的教材编写基调还是“接受式学习”，而不是“发现式学习”。体现探究性发现学习的学材，应该有大量留白，用开放的呈现方式，让学生在互动对话中做数学，用数学。所有的结论性的规律、法则、定理、性质、公式，以及探究解决问题的方法，不在学材上呈现，给学生留有100%的思考、探究空间。这些数学结论在教师使用的教材上呈现。学材上辅助一些认知框架提示语，如“对于××，我已经知道了什么？”“在生活中，哪些地方我曾经见过？”“我的设想”“我的发现”“我的解题过程”等，课本上没有方法暗示，没有现成答案，其过程要求学生自己来完成，因而课本既是预设的，又是生成的，是把课本与学生的笔记合二为一的个性化的产品，让学生在预习过程中或学习过程中“DIY”，生成个性化的课本。
3.凸显主体化的学生观
学生是真正的学习主体，一节课的优劣不是看教师教得多精彩，而是看学生是否得到了充分的发展，如果学生不想学、不会学、学不好，那么无论多好的教材，无论教师讲得多精彩都是徒劳。建构主义理论认为，学习不是教师把知识简单地传授给学生的过程，而是学生自己主动建构的过程，即每个学习者都以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识、理解和编码，建构自己的知识结构。所以，开发学材时，要注意落实学生的主体地位，考虑学生原有知识与新知识的衔接与组织，寻求学生旧知与新知之间最佳发展的中间地带，力求把新知识的教学按学生的认知规律与特点组织嫁接到学生原有的经验中。
三、从“学材”到“学堂”：学材开发的实践建构
提起教室，大家就会想起，台上教师滔滔不绝，台下学生正襟危坐，课堂成为教师的讲堂。如今，教室正发生着悄然的变化：教师不再口若悬河，学生也不再唯唯诺诺，教师成为学生学习的组织者、引导者、合作者，学生善学善问，敢说敢为，课堂上经常看到学生积极展示自我，表达观点，发表见解。以儿童视角审视内容，积极与内容对话，抓其本质，掘其思想，能将学习内容以最适合学生进行主动探究学习的方式进行重组，将“以知识为中心的课本”转化为“以学习为中心的学堂”，让预设的“学材”走进现实的“学堂”。笔者结合自己的实践探索，略谈以下几种“学材”开发与“学堂”实施的方式。
1.生活型学材——返回生活世界，探寻数学本源
“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战的。”学习内容的现实性要求数学来源于生活，取材于现实，让数学学习内容有现实意义，生活根基。我们要努力开掘那些发生在学生身边的，学生非常熟悉的，同时暗含着某种数学现象或数学规律的实际问题，以此为突破口进行学材设计。如《四则混合运算》一课，笔者舍弃了教材中的“纯数学”，选择游乐园活动这一方式展开学习情境。以学生熟悉喜爱的生活情景作为背景，提出一系列的实际问题，从计算游玩时的费用，引出四则混合运算题就水到渠成了。学生围绕这一问题深入展开探讨与分析，以两积之和为载体，主动探索发现可以简化计算步骤，实现生活与数学的紧密联系，摆脱传统计算课的教学模式。显而易见，当学习内容从“科学世界”的概念状态进入“生活世界”的经验状态后，不仅能有效地激活学生思维，还能促进新信息与已有经验的整合，实现思维内化。
生活型学材取材范围广泛，教师要有效嫁接数学与生活，有效对接儿童与数学，因地制宜，因人而异，积极尝试，大胆探索，给学生源于生活的绿色环保的新鲜的数学。
2.游戏型学材——激发学习兴趣，感知数学的趣味性
马丁·加德纳说：“唤醒学生的最好方法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。”儿童视游戏为生命，游戏也是成人不可或缺的生活方式。数学游戏为学生学习数学提供了感性材料和愉悦的平台，符合儿童的年龄特征。创生开掘游戏型学材，在儿童具体形象思维和抽象数学知识之间架起一座桥梁，为他们感知数学的趣味做积极的铺垫。如一年级学习“分类”时，我创生设计了“整理书包”的游戏，让学生在整理书包的过程中，探索解决问题的思路：先把书包里的文具分类放好，初步感知简单的分类——把一样的东西放在一起。学生在操作中，自主探索发现，可按颜色分类，也可以按照形状分类，发现分类标准不一样，分类结果也不一样。在教学“圆的认识”时创生设计“投篮比赛”，课前带领学生围成长方形、正方形、等边三角形进行投篮游戏，并拍视频，课上播放视频，引发学生思考：如何设计公平公正的投篮比赛？让学生在游戏中、情境中深入思考，优化调整，解决问题。通过游戏活动，学生自主发现只有围成圆形投篮才最公平，同时学生还能感受到数学其实蛮好玩的，从而培养数学学习兴趣。 再如，学习“有余数的除法”时设计6人抢5张凳子的“抢凳子”游戏，学习“四则混合计算”时开展“巧算24点”游戏。这些都是很好的游戏型学材。
3.探究型学材——经历探究过程，发现数学规律
把学过的内容作适当拓展，突出探究性、挑战性，可以开拓学生思维，激发学习情感。如在学习了“大数的认识”后，开发数学探究课“对折的力量”。上课时，出示一张普通的A4纸，告知前提条件为“一张普通A4纸的厚度大约为0.01毫米”。接着，抛出大问题：如果把一张足够大的A4纸对折30次，它的高度有多少？先让学生猜一猜，写下自己的估算结果，再让学生动手折一折，从简单中找规律，推理发现结果。学生纷纷动手对折，发现当纸对折到第8次时，就折不动了。这时，教师启发学生回过头去，从对折次数与纸张层数之间找规律，学生探索发现，每对折一次，纸的层数是原来层数的2倍，再通过推算，发现对折30次时，所达到的高度远远超过了珠穆朗玛峰的高度，这让全班同学不敢相信。学生在一系列的数学活动中，综合应用所学知识解决数学问题，培养了数感。学生纷纷感叹道：“想不到一张白纸经过若干次对折，竟比珠穆朗玛峰还高！”“对折的力量可真大呀！”这节课让我们看到了学生对数学探究的兴趣，看到了学生在探究中的快乐，更重要的是让学生感受体验到科学的探究方法和探究精神。探究型学材开发案例还有很多，比如：（1）在平面上画20条直线，这些直线最多能形成多少个交点？（2）南京到北京之间有15个高铁站，需要印制多少种火车票？（3）有一张纸形状是长方形的，第1次把这个长方形剪开成5个长方形；第2次在5个剪成的长方形中任取一个，也剪成5个长方形；第3次再在第2次剪成的5个长方形中任取一个，也剪成5个长方形……照这样剪20次，一共有多少个长方形？（4）50边形的内角和是多少度？
4.文化型学材——渗透数学文化，感悟数学思想
学材的开发还可以结合学习内容介绍有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，使学生了解数学发展的历史，渗透数学文化，开阔视野，启迪思维。如结合五年级学习内容，我们开发了数学文化课——“数字黑洞”：任选三个不同的数字，分别组成一个最大数和最小数，求出两数之差（如果差不够三位数，用0补足），并照上面的方法不断重复运算。学生举例试算后发现一个神奇而有趣的现象：三个不同的数字，按照以上规则进行运算，最后结果都是495，无论是哪三个数字，结果都如此，仿佛掉进了495这个数字黑洞一样。接着，教师引发学生猜想：四个不同的数字，照这样的规则运算，是不是也会掉进数字黑洞呢？还是495吗？学生跃跃欲试，个个动笔举例验证，连平时听课睡觉、作业不交的人也在埋头算运。大家经历猜想和验证，发现：四个不同数字的黑洞是6174。最后，教师补充拓展：数学家们还发现了其他数字黑洞，如数字黑洞123、数字黑洞153等，让学生了解设定不同的规则，可以得出不同的数字黑洞，拓展学生的数学视野，提升学生的数学素养。
文化型学材案例，如：兔子繁殖与斐波那契数列、吝啬财主与智慧长工的翻倍问题、韩信点兵与中国剩余定理、刘徽与割圆术、祖冲之与圆周率、李白喝酒与倒推策略、印度河内塔与世界末日、高斯速算与配对求和、哥德巴赫猜想与陈景润、九宫格与洛书、杨辉三角中的规律、毕达哥拉斯定理、莫比乌斯圈等，都可以配合教学内容，开掘为学生喜爱的数学文化型学材，用以拓展学生的数学视野，帮助学生感悟数学思想和数学文化。
总之，我们要正确树立儿童立场研究儿童，用儿童视角研究数学，研究教法，努力寻找数学与儿童的最佳结合点开发学材，寻找数学知识结构和认知规律的中间地带发展儿童，体现基于儿童、为了儿童和发展儿童的生命教育哲学，给儿童既“好吃”又有“营养”的数学学材和生命化的学堂，让儿童发现自己的数学，让儿童体验好玩的数学，让儿童培植自己生长的数学，使儿童的数学学习成为他们快乐童年的重要组成部分。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 教育部.数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012（1）.
[2] 李星云.论小学数学学材的开发与运用[J].教育评论，2008（1）.
[3] 米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].成都四川教育出版社，1986.
[4] 蒋玉琴.创生学材的实践与思考[J].江苏教育，2004（7）.
[5] 波利亚.数学的发现[M].北京：科学出版社，2006.
（责编 童 夏）