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摘要：数形结合作为重要的数学思想方法，在数学解题中起着举足轻重的作用。本文介绍了数形结合的思想方法在函数、几何、方程与不等式、数列、集合等方面的应用，为进一步提高学生的解题能力抛砖引玉。
关键词：数形结合 思想方法 解题
1、问题的提出
数学问题的解决是数学教学中的一个重要部分，尤其是解题能力的培养，成为数学教学中不可缺少的一部分。解决数学问题的方法有很多，其中数形结合的思想方法是中学数学教学中常用的一种解题方法，教师更应该很好的掌握和研究这一思想方法，为培养学生的解题能力打下坚实的基础。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形。如何将数与形有机的结合起来，是学好数学的关键。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质等；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到完美的解答。
2、数形结合解题教学中应注意的几个方面
在运用数形结合的思想方法分析和解决问题时，藏汉双语数学教师要注意以下五点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数联想其形，以形建立数之间的关系式，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围，切忌忽视隐含条件；第四要挖掘数学概念的内涵和外延，防止发生扩大内涵、缩小外延或缩小内涵、扩大外延的错误；第五要注意代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则会出现漏洞。
3、数行结合的思想方法在数学解题中的应用
3.1 在函数教学中的应用
函数是中小学数学教学的一条主线，也是学生最难掌握的部分。在解题过程中要始终将数与形有机结合起来分析思考问题，用几何的眼光体察分析函数，建立数与形之间的一一对应关系。把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。如表示有序实数与平面上的点之间所具有的一一对应关系的平面坐标系；二元一次方程与直线；锐角三角函数的定义；任意角的三角函数的定义等。在这类问题的教学中，特别要突出形，让学生学会如何通过形去分析问题、解决问题。通过对部分高中学生的调查发现40%左右的学生不喜欢数学，原因是函数太抽象。其根源主要是教师没有很好的向学生讲清楚数与形的关系问题，从而抑制了学生学习数学的积极性。
例1：证明：如果函数 满足 ，则 的图像关于直线 对称。
证明：在 的图像上任取一点 ，P点关于 的对称点为 ，则据已知可得
故Q点的坐标满足 ，即点Q也在曲线上。
因此 的图像关于直线 对称。
3.2在解方程和不等式上的应用
利用数形结合的思想方法解方程问题就是把方程整理成等式两边各能形成一个初等函数的新方程。在同一坐标系内画两个函数的图象。由图象的交点情况，就可以确定原方程根的情况。数形结合解不等式，就是把不等式的两边设为两个函数，在同一坐标系中画二者的图象，图象位置的上、下关系就反应了不等式的两边的大小关系，然后找出相应的x的取值区间，就得不等式的解集区间。
例2：求方程 的近似解。
分析：求解方程，可以把方程的根设计成两个初等函数的图象的交点的横坐标来求。
解：将 化为
在同一坐标系内画 及 的图象，求得交点的横坐标 。这个 近似满足方程 ，所以它就是方程 的近似解。
例3：不等式 对 恒成立，求 取值的范围。
解：将原不等式变为
作 和 的图像。
的图象是抛物线，的图象是过点（4，0）、斜率为 的直线系。
显然，使 对 恒成立的 取值范围是
3.3 在数列问题上的应用
数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。如：
例4：已知等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，若 ， 。（1）比较 与 ， 与 的大小关系。（2）猜想并证明 与的大小关系。
解：由题意知 ， ，根据函数 和 的图像可知， 与 处有两个公共点，则 ，并可判断当 时有 ，再可结合比较法及数学归纳法证明（略）
3.4在集合问题中的应用
在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
例5：已知全集 ， 、 为全集 的子集，且 , , ,求集合
分析：因题目涉及了十个元素及 、 、 、 、 五个集合.若不借助图形，容易出现错误，故借助韦氏图求解集合 可知
4、结束语
利用数形结合的思想方法往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了，获得快捷的解题方法。同时可以激发学生学习数学的兴趣。但是数形结合能力的形成与发展是一个长期积累的过程，不能操之过急，教师应指导学生多思考、多想象，逐步提高能力，为学生形成良好的数学思维品质奠定坚实的基础。
参考文献：
【1】张雄，李得虎 .数学方法论与解题研究 .高等教育出版社. 2003.8
【2】徐涛. 四抓数列的函数“情结”，构建数列的解题思路..数学教学.2007.8
【3】邓善菅.数形结合解题的几个常见误区..数学通讯.2010.1
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词：数形结合 思想方法 解题
1、问题的提出
数学问题的解决是数学教学中的一个重要部分，尤其是解题能力的培养，成为数学教学中不可缺少的一部分。解决数学问题的方法有很多，其中数形结合的思想方法是中学数学教学中常用的一种解题方法，教师更应该很好的掌握和研究这一思想方法，为培养学生的解题能力打下坚实的基础。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形。如何将数与形有机的结合起来，是学好数学的关键。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质等；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到完美的解答。
2、数形结合解题教学中应注意的几个方面
在运用数形结合的思想方法分析和解决问题时，藏汉双语数学教师要注意以下五点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数联想其形，以形建立数之间的关系式，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围，切忌忽视隐含条件；第四要挖掘数学概念的内涵和外延，防止发生扩大内涵、缩小外延或缩小内涵、扩大外延的错误；第五要注意代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则会出现漏洞。
3、数行结合的思想方法在数学解题中的应用
3.1 在函数教学中的应用
函数是中小学数学教学的一条主线，也是学生最难掌握的部分。在解题过程中要始终将数与形有机结合起来分析思考问题，用几何的眼光体察分析函数，建立数与形之间的一一对应关系。把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。如表示有序实数与平面上的点之间所具有的一一对应关系的平面坐标系；二元一次方程与直线；锐角三角函数的定义；任意角的三角函数的定义等。在这类问题的教学中，特别要突出形，让学生学会如何通过形去分析问题、解决问题。通过对部分高中学生的调查发现40%左右的学生不喜欢数学，原因是函数太抽象。其根源主要是教师没有很好的向学生讲清楚数与形的关系问题，从而抑制了学生学习数学的积极性。
例1：证明：如果函数 满足 ，则 的图像关于直线 对称。
证明：在 的图像上任取一点 ，P点关于 的对称点为 ，则据已知可得
故Q点的坐标满足 ，即点Q也在曲线上。
因此 的图像关于直线 对称。
3.2在解方程和不等式上的应用
利用数形结合的思想方法解方程问题就是把方程整理成等式两边各能形成一个初等函数的新方程。在同一坐标系内画两个函数的图象。由图象的交点情况，就可以确定原方程根的情况。数形结合解不等式，就是把不等式的两边设为两个函数，在同一坐标系中画二者的图象，图象位置的上、下关系就反应了不等式的两边的大小关系，然后找出相应的x的取值区间，就得不等式的解集区间。
例2：求方程 的近似解。
分析：求解方程，可以把方程的根设计成两个初等函数的图象的交点的横坐标来求。
解：将 化为
在同一坐标系内画 及 的图象，求得交点的横坐标 。这个 近似满足方程 ，所以它就是方程 的近似解。
例3：不等式 对 恒成立，求 取值的范围。
解：将原不等式变为
作 和 的图像。
的图象是抛物线，的图象是过点（4，0）、斜率为 的直线系。
显然，使 对 恒成立的 取值范围是
3.3 在数列问题上的应用
数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。如：
例4：已知等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，若 ， 。（1）比较 与 ， 与 的大小关系。（2）猜想并证明 与的大小关系。
解：由题意知 ， ，根据函数 和 的图像可知， 与 处有两个公共点，则 ，并可判断当 时有 ，再可结合比较法及数学归纳法证明（略）
3.4在集合问题中的应用
在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
例5：已知全集 ， 、 为全集 的子集，且 , , ,求集合
分析：因题目涉及了十个元素及 、 、 、 、 五个集合.若不借助图形，容易出现错误，故借助韦氏图求解集合 可知
4、结束语
利用数形结合的思想方法往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了，获得快捷的解题方法。同时可以激发学生学习数学的兴趣。但是数形结合能力的形成与发展是一个长期积累的过程，不能操之过急，教师应指导学生多思考、多想象，逐步提高能力，为学生形成良好的数学思维品质奠定坚实的基础。
参考文献：
【1】张雄，李得虎 .数学方法论与解题研究 .高等教育出版社. 2003.8
【2】徐涛. 四抓数列的函数“情结”，构建数列的解题思路..数学教学.2007.8
【3】邓善菅.数形结合解题的几个常见误区..数学通讯.2010.1
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文