众所周知，子空间的性质在整个线性空间 上被完全继承下来，则子空间可以作为研究整个线性空间的一个强有力的工具，以帮助我们更好地、有效地认识整个线性空间的结构及性质。因此系统地研究关于子空间的判定及其运算是非常必要的。关于子空间的交与和以及有关性质所有高等代数教材都有详细阐述，然而都仅限于有限个子空间的交与和，对无限个子空间的交与和没有讨论。这两个问题是我们在学习高等代数过程中很自然会联想到的问题，因此很有必要对其进行讨论。当把子空间作为线性空间的子集，其并集、差集、补集等能否作成子空间？作成子空间的条件是什么？它们还有什么性质等问题却很少有教材对其进行讨论。另外，在 维线性空间 中，对于子空间交与和的维数与基的确定，本文将给出一个确定的求法和一般的表示方法，本文将通过具体实例，作详尽论述，其目的是使我们对这一方法能更加熟练掌握。最后，进一步研究了线性变换的不变子空间和特征子空间的性质。
　　一、子空间的定义和运算性质
　　在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间。也就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。
　　（一）、子空间的定义
　　（二）、子空间的运算性质
　　1、子空间的交
　　2、子空间的和
　　结论：上例说明了子空间的和的概念不能推广到无限多个子空间的情形。从子空间的和的定义来看，和空间的每一向量都是组成其和空间的每一子空间的某些向量作加法的结果。有限个向量相加由结合律知其结果仍是向量空间中唯一确定的向量。而无限个向量相加就不能保证其结果仍是该向量空间中向量。这也是“量变产生质变”在向量空间中的体现。
　　3、子空间的并
　　关于子空间的并能否作成子空间，我们有如下结论：
　　由此可见，子空间的和与子空间的并是完全不同的两个概念，其性质也完全不同。
　　4、子空间的差与子空间的补
　　关于子空间的差与子空间的补，我们有如下结论：
　　定理5
　　二、子空间的分类讨论
　　（一）、按子空间所含元素多少的划分
　　1、平凡子空间
　　在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间叫做平凡子空间。
　　2、非平凡子空间
　　在线性空间中，除了零子空间和线性空间本身，其他的线性子空间叫做非平凡子空间。
　　3、真子空间
　　除线性空间 本身以外的子空间均为真子空间。
　　（二）、子空间的交与和的基与维数
　　1、维数定理
　　2、子空间的交与和的基与维数
　　三、线性变换的不变子空间与特征子空间
　　（一）、不变子空间
　　五、结束语
　　本文通过对无限多个子空间的交与和，子空间的并、差所进行的讨论，使我们在学习过程中常常联想到的问题有了确切的结论，这对我们更好地理解线性空间理论应该是有帮助的。